2023-2024学年云南省下关一中教育集团高一(下)期中数学试卷

2023-2024学年云南省下关一中教育集团高一（下）期中数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）设z＝﹣1+2i，则z的实部与虚部之和为（）A．﹣1 B．2 C．1 D．﹣22．（5分）设a∈R，则“2＜a＜3”是“（a+1）（a﹣6）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．f(x)=−log12xC．f（x）＝2﹣x D．f（x）＝﹣x2+x4．（5分）已知|a→|=6，|b→|=3，A．23a→ B．13a→5．（5分）已知f（x）＝ex﹣eax是奇函数，则a＝（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．36．（5分）已知某圆锥的底面半径为2，体积为43A．1 B．2 C．5 D．57．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+c2﹣b2＝ac，ac＝4，则AB→•BCA．3 B．−3 C．2 8．（5分）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图1，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min．游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，如图以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式为（）A．H=55sin(π15t−π2B．H=55sin(π15t+π2C．H=55sin(π15t+π2D．H=55sin(π15t−π二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)（多选）9．（5分）已知梯形ABCD，按照斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′，如图，其中A′D′＝2，B′C′＝4，A′B′＝1，下列说法正确的有（）A．AD线段平行于x轴 B．AB＝2 C．梯形ABCD是直角梯形 D．梯形ABCD的面积是3（多选）10．（5分）下列结论正确的是（）A．圆柱的每个轴截面都是全等矩形 B．长方体是直四棱柱，直四棱柱也是长方体 C．用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台 D．四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体（多选）11．（5分）下列命题中，正确的有（）A．x+4xB．“a＞1”是“a2＞a“的充分不必要条件 C．若a＞b，则1aD．函数y＝loga（x﹣3）+2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P（4，2）（多选）12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+1）是偶函数，当x∈[0，1]，f（x）＝x2+x，则下列说法中正确的有（）A．函数f（x）的图象关于直线x＝1对称 B．4是函数f（x）的周期 C．f（2023）+f（2024）＝0 D．方程f（x）＝|lnx|恰有4个不同的根三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知θ∈(0，π2)，且sin(θ+π214．（5分）某圆柱的侧面展开图是面积为4π2的正方形，则该圆柱底面的半径为．15．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的12条棱中，与AB异面的棱有条．16．（5分）已知xx2+x+1=a（a≠0且a≠12四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知向量a→=(1，2)，（1）若a→+2b→与（2）若λa→−b→18．（12分）已知函数f(x)=23（1）把f（x）化为y＝Asin（ωx+φ）的形式，并求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的单调递增区间．19．（12分）如图，在正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，E是DD1的中点．（1）求证：A1C1∥平面ACE；（2）设正方体的棱长为1，求三棱锥B﹣AEC的体积．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a（sinB+cosB）＝c．（1）求A；（2）若c=2，a=5，D为21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣ax+3，a∈R．（1）若f（x）≥0在R上恒成立，求a的取值范围；（2）若方程f（x）＝2在[12，3]22．（12分）设O为坐标原点，定义非零向量OM→=(a，b)的“相伴函数”为f（x）＝asinx+bcosx（x∈R），OM→=(a，b)称为函数f（x）＝asinx+（1）设函数g(x)=2sin(π3−x)−cos(π6+x)，求函数（2）记OM→=(0，2)的“相伴函数”为f（x），若方程f(x)=k+1−23|sinx|在区间x∈[0，2

2023-2024学年云南省下关一中教育集团高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）设z＝﹣1+2i，则z的实部与虚部之和为（）A．﹣1 B．2 C．1 D．﹣2【考点】复数的实部与虚部．【答案】C【分析】由复数实部、虚部的概念分别计算实部、虚部，求和得到答案．【解答】解：z＝﹣1+2i的实部为﹣1，虚部为2，则z的实部与虚部之和为﹣1+2＝1．故选：C．2．（5分）设a∈R，则“2＜a＜3”是“（a+1）（a﹣6）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件与必要条件．【答案】A【分析】利用集合观点，子集是全集的充分条件，只有真子集才是全集的充分不必要条件，就可以得到答案．【解答】解：由（a﹣6）（a+1）＜0，得﹣1＜a＜6，因为（2，3）是（﹣1，6）的真子集，所以2＜a＜3是﹣1＜a＜6的充分不必要条件．故选：A．3．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．f(x)=−log12xC．f（x）＝2﹣x D．f（x）＝﹣x2+x【考点】由函数的单调性求解函数或参数．【答案】C【分析】根据各选项中函数式，直接判断单调性即得．【解答】解：函数f(x)=−log12幂函数f(x)=x12函数f（x）＝2﹣x在（0，+∞）上单调递减，C是；函数f（x）＝﹣x2+x在(0，12]故选：C．4．（5分）已知|a→|=6，|b→|=3，A．23a→ B．13a→【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的投影向量；平面向量数量积的含义与物理意义．【答案】D【分析】根据题意，由投影向量定义直接求解即可．【解答】解：根据题意，|a→|=6，|则|b→|cos〈故向量b→在向量a→方向上的投影向量为故选：D．5．（5分）已知f（x）＝ex﹣eax是奇函数，则a＝（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．3【考点】奇函数偶函数的性质．【答案】A【分析】利用奇函数的性质可得f（﹣x）＝﹣f（x），求得a的值．【解答】解：由题意得f（﹣x）＝﹣f（x），即e﹣x﹣e﹣ax＝eax﹣ex，由对应项相等可得，从而a＝﹣1．故选：A．6．（5分）已知某圆锥的底面半径为2，体积为43A．1 B．2 C．5 D．5【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积．【答案】C【分析】根据圆锥的体积求出圆锥的高，根据勾股定理即可求得答案．【解答】解：设圆锥的高为h，则由圆锥的底面半径为2，体积为43可得13π×2所以该圆锥的母线长为22故选：C．7．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+c2﹣b2＝ac，ac＝4，则AB→•BCA．3 B．−3 C．2 【考点】平面向量数量积的性质及其运算；余弦定理．【答案】D【分析】根据余弦定理可得B=π【解答】解：由余弦定理得cosB=a又因为B∈（0，π），所以B=π故AB→故选：D．8．（5分）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图1，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min．游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，如图以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式为（）A．H=55sin(π15t−π2B．H=55sin(π15t+π2C．H=55sin(π15t+π2D．H=55sin(π15t−π【考点】三角函数应用．【答案】D【分析】由题意可得游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周，大约需要15min，摩天轮最高点距离地面高度为120m，进而利用正弦函数的性质逐项验证即可得解．【解答】解：由题意游客转一周大约需要30min，可得游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周，大约需要15min，又摩天轮最高点距离地面高度为120m，可得当t＝15时，H＝120，对于A，当t＝15时，H=55sin(π对于B，当t＝15时，H=55sin(π对于C，当t＝15时，H=55sin(π对于D，当t＝15时，H=55sin(π故选：D．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)（多选）9．（5分）已知梯形ABCD，按照斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′，如图，其中A′D′＝2，B′C′＝4，A′B′＝1，下列说法正确的有（）A．AD线段平行于x轴 B．AB＝2 C．梯形ABCD是直角梯形 D．梯形ABCD的面积是3【考点】斜二测法画直观图；平面图形的直观图．【答案】ABC【分析】将直观图还原为原图形，得到各边长和梯形面积，即可进行判断．【解答】解：把直观图A′B′C′D′还原为原图形，是直角梯形ABCD，如图所示：其中AD＝A′D′＝2，BC＝B′C′＝4，AB＝2A′B′＝2，AD线段平行于x轴，所以选项A、B、C正确；梯形ABCD的面积为12×(2+4)×2=6，选项故选：ABC．（多选）10．（5分）下列结论正确的是（）A．圆柱的每个轴截面都是全等矩形 B．长方体是直四棱柱，直四棱柱也是长方体 C．用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台 D．四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体【考点】棱台的结构特征；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积；棱柱的结构特征；棱锥的结构特征．【答案】AD【分析】利用几何体的定义，可以对各选项进行判断．【解答】解：由矩形绕着它的一条边旋转一周形成一个圆柱，可得圆柱的每个轴截面都是全等矩形，选项A正确；长方体是直四棱柱，直四棱柱的底面不一定是长方形，所以不一定是长方体，选项B错误；用一个平行于底面的平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台，选项C错误；四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体，选项D正确．故选：AD．（多选）11．（5分）下列命题中，正确的有（）A．x+4xB．“a＞1”是“a2＞a“的充分不必要条件 C．若a＞b，则1aD．函数y＝loga（x﹣3）+2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P（4，2）【考点】对数函数的图象；充分条件与必要条件；不等关系与不等式；基本不等式及其应用．【答案】BD【分析】举出反例检验选项A，C，结合充分必要条件检验选项B，结合对数函数的性质检验选项D．【解答】解：当x＜0时，A显然错误；当a＞1时，a2＞a一定成立，即充分性成立，但a2＞a时，a＞1或a＜0，即必要性不成立，B正确；当a＝1，b＝﹣1时，C显然错误；根据对数函数的性质及函数的图象平移可知，y＝loga（x﹣3）+2可由y＝logax向右平移3个单位，向上平移2个单位，即过定点（4，2），D正确．故选：BD．（多选）12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+1）是偶函数，当x∈[0，1]，f（x）＝x2+x，则下列说法中正确的有（）A．函数f（x）的图象关于直线x＝1对称 B．4是函数f（x）的周期 C．f（2023）+f（2024）＝0 D．方程f（x）＝|lnx|恰有4个不同的根【考点】函数的奇偶性．【答案】ABD【分析】利用g（x）＝f（x+1）是偶函数，可得f（1﹣x）＝f（1+x），f（x）关于x＝1对称，又因为f（x）是奇函数，即f（x）是双对称函数，从而可证明f（x）是周期函数，这样可以由x∈[0，1]的图象，根据f（x）关于x＝1对称，作出x∈[1，2]，再根据f（x）关于点（2，0）对称，作出x∈[2，4]，这样就有了一个完整周期为4的图象，再利用周期为4进行不断的延伸，这样后面的选项就可以利用数形结合来分析解决．【解答】解：对于A：令g（x）＝f（x+1）是偶函数，则g（﹣x）＝g（x），即f（1﹣x）＝f（1+x），所以f（x）关于x＝1对称，故A正确；对于B：因为f（1﹣x）＝f（1+x），所以f（2+x）＝f[1﹣（1+x）]＝f（﹣x）＝﹣f（x），即f（x+4）＝﹣f（x+2）＝﹣（﹣f（x））＝f（x），即周期T＝4，故B正确；对于C：f（2023）＝f（3）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，f（2024）＝f（0）＝0，所以f（2023）+f（2024）＝﹣2≠0，故C错误；对于D：因为x∈[0，1]，f（x）＝x2+x，且f（x）关于直线x＝1对称，根据对称性可以作出x∈[1，2]上的图象，又f（x+4）＝f（x）＝﹣f（﹣x），可知f（x）关于点（2，0）对称，又可作出x∈[2，4]上的图象，又f（x）的周期T＝4，作出y＝f（x）的图象与y＝|lnx|的图象，如图所示：所以f（x）与y＝|lnx|有4个交点，故D正确．故选：ABD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知θ∈(0，π2)，且sin(θ+π2)=1【考点】同角三角函数间的基本关系；两角和与差的三角函数．【答案】3．【分析】利用诱导公式变形，结合特殊角的三角函数值求出θ即可．【解答】解：由sin(θ+π2)=而θ∈(0，π因此θ=π所以tanθ=3故答案为：3．14．（5分）某圆柱的侧面展开图是面积为4π2的正方形，则该圆柱底面的半径为1．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【答案】1．【分析】根据圆柱的侧面展开图可知底面圆的周长等于正方形的边长，即可求出底面圆的半径．【解答】解：因为圆柱的侧面展开图是面积为4π2的正方形，所以正方形的边长为2π，设底面圆的半径为r，则底面圆的周长2πr＝2π，得r＝1．故答案为：1．15．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的12条棱中，与AB异面的棱有4条．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；异面直线的判定．【答案】4．【分析】利用异面直线的定义，结合正方体的结构特征，列举出所有结果即可．【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1的12条棱中，与AB异面的棱有：A1D1，B1C1，DD1，CC1，共4条．故答案为：4．16．（5分）已知xx2+x+1=a（a≠0且a≠12），则x【考点】有理数指数幂及根式．【答案】a2【分析】根据指数幂的运算性质即可得x+1x=【解答】解：由xx2+x+1=a且a≠0知x≠0，于是从而x4由于a≠12，因此故答案为：a2四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知向量a→=(1，2)，（1）若a→+2b→与（2）若λa→−b→【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量的相等与共线；平面向量共线（平行）的坐标表示．【答案】（1）12（2）12【分析】（1）根据向量的坐标运算求a→+2b（2）根据向量的坐标运算求λa【解答】解：（1）a→=(1，2)，b→=(λ，1)，则又∵a→+2b→与2a→−2（2）由已知可得λa∵λa→−b→与b→垂直，∴0×18．（12分）已知函数f(x)=23（1）把f（x）化为y＝Asin（ωx+φ）的形式，并求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的单调递增区间．【考点】正弦函数的单调性；三角函数的周期性．【答案】（1）f（x）＝2sin（2x+π6），f（x）的最小正周期为（2）[−π3+kπ，π6+kπ【分析】（1）结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期公式即可求解；（2）结合正弦函数的单调性即可求解．【解答】解：（1）f(x)=23sinxcosx+cos2x−sin2x=故f（x）的最小正周期为π；（2）令−π2+2kπ≤2x+π6则−π3+kπ≤x≤π6故f（x）的单调递增区间为[−π3+kπ，π6+kπ19．（12分）如图，在正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，E是DD1的中点．（1）求证：A1C1∥平面ACE；（2）设正方体的棱长为1，求三棱锥B﹣AEC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行．【答案】（1）证明见解析；（2）112【分析】（1）先证A1C1∥AC，再用直线与平面平行的判定定理证明A1C1∥平面ACE；（2）利用等体积法，求三棱锥B﹣AEC的体积．【解答】解：（1）证明：因为在正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，AA1∥CC1，AA1＝CC1，所以四边形AA1C1C为平行四边形，所以A1C1∥AC，又因为A1C1⊄平面ACE，AC⊂平面ACE，所以A1C1∥平面ACE．（2）因为正方体的棱长是1，E是DD1的中点，所以ED=1三角形ABC的面积S=1三棱锥B﹣AEC的体积VB−AEC20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a（sinB+cosB）＝c．（1）求A；（2）若c=2，a=5，D为【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】（1）A＝45°；（2）172【分析】（1）根据正弦定理可得角A；（2）可根据向量关系求得AD．【解答】解：（1）根据正弦定理得sinA（sinB+cosB）＝sinC，在△ABC中，sinC＝sin（A+B），则有sinA（sinB+cosB）＝sin（A+B），∴sinAsinB+sinAcosB＝sinAcosB+cosAsinB，∴sinAsinB＝cosAsinB，sinB≠0，∴sinA＝cosA，∴A＝45°；（2）根据余弦定理有a2＝b2+c2﹣2bccosA，则有5＝b2+2﹣2b，解之得b＝3，b＝﹣1（舍去），∵D为BC的中点，则AD→=1AD→2=14（AB→2+AC→2+2AB21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣ax+3，a∈R．（1）若f（x）≥0在R上恒成立，求a的取值范围；（2）若方程f（x）＝2在[12，3]【考点】函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系；二次函数的性质与图象．【答案】（1）[−23（2）(2，5【分