2023-2024学年云南省昭通一中教研联盟高二(下)期末数学试卷(b卷)

2023-2024学年云南省昭通一中教研联盟高二（下）期末数学试卷（B卷）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若复数z＝3﹣i，则|z|＝（）A．10 B．10 C．25 2．（5分）已知集合M＝{x|﹣3＜x＜1}，N＝{x|﹣1≤x＜4}，则M∪N＝（）A．{x|﹣1≤x＜1} B．{x|x＞﹣3} C．{x|﹣3＜x＜4} D．{x|x＜4}3．（5分）命题p：∀x＞0，x2﹣ax+2＞0的否定是（）A．∀x＞0，x2﹣ax+2≤0 B．∀x≤0，x2﹣ax+2＞0 C．∃x0＞0，x02−axD．∃x0≤0，x02−4．（5分）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a3+a7＝6，则S9＝（）A．27 B．272 C．54 5．（5分）设a＝log0.60.8，b＝1.10.8，c＝log1.10.8，则（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b6．（5分）为了得到函数f(x)=sin(2x−π4)的图象，只需要把函数yA．先将横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移π4B．先将横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移π8C．先向左平移π4个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）D．先向右平移π87．（5分）已知圆E：x2﹣ax+y2﹣2y﹣2＝0关于直线l：x﹣y＝0对称，则a＝（）A．0 B．1 C．2 D．48．（5分）某记者与参加会议的5名代表一起合影留念（6人站成一排），则记者站两端，且代表甲与代表乙不相邻的排法种数为（）A．72 B．96 C．144 D．240二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）（多选）9．（6分）若Sn为数列{an}的前n项和，且SnA．S2＝3 B．a1＝﹣1 C．数列{an}是等比数列 D．数列{Sn+1}是等比数列（多选）10．（6分）关于(x+2A．所有的二项式系数和为16 B．所有项的系数和为243 C．只有第3项的二项式系数最大 D．x的系数为40（多选）11．（6分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是DD1的中点，则下列选项中正确的是（）A．AC⊥B1E B．B1C∥平面A1BD C．三棱锥C1﹣B1CE的体积为16D．异面直线B1C与BD所成的角为45°三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．（5分）已知k∈R，a→=（2，5），b→=(6，k)，a→∥13．（5分）已知m，n∈（0，+∞），1m+n=4，则m+914．（5分）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆中心，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：x2a+1+y2a=1(a＞0)的蒙日圆方程为x2+四、解答题（共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝7，c＝8．（1）若sinC=47，求角（2）若b＝5，求AC边上的高．16．（15分）已知函数f(x)=alnx+bx2−7x+12在点（1，f（1）求a，b；（2）求f（x）的单调区间和极值．17．（15分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BB1的中点．（1）求证：BC1⊥平面A1CD；（2）求直线D1C与平面AD1E所成角的余弦值．18．（17分）第19届亚运会于2023年9月23日在我国杭州举行，浙江某大学举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，讲好浙江故事”的知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了100人，统计发现他们的竞赛成绩分数均分布在[450，950]内，根据调查的结果绘制了学生分数频率分布直方图，如图所示．高于850分的学生被称为“特优选手”．（1）求a的值，并估计该校学生分数的第70百分位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现采用分层抽样的方式从分数在[750，850），[850，950）内的两组学生中共抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记被抽取的4名学生中是“特优选手”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．19．（17分）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞b＞0）经过点(23，−6)和(−6，62)，A（4，1），B（1，0），M，N分别在双曲线C的左、右两支上，P为双曲线左支上一点，且M，B，（1）求双曲线C的标准方程；（2）求证：k1+k2为定值；（3）试判断直线MP是否过定点，若是，请求出定点坐标，若不是，请说明理由．

2023-2024学年云南省昭通一中教研联盟高二（下）期末数学试卷（B卷）参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若复数z＝3﹣i，则|z|＝（）A．10 B．10 C．25 【考点】复数的模．【答案】A【分析】根据复数模的定义求解．【解答】解：由题意，|z|=3故选：A．2．（5分）已知集合M＝{x|﹣3＜x＜1}，N＝{x|﹣1≤x＜4}，则M∪N＝（）A．{x|﹣1≤x＜1} B．{x|x＞﹣3} C．{x|﹣3＜x＜4} D．{x|x＜4}【考点】求集合的并集．【答案】C【分析】利用并集定义、不等式性质求解．【解答】解：集合M＝{x|﹣3＜x＜1}，N＝{x|﹣1≤x＜4}，则M∪N＝{x|﹣3＜x＜4}．故选：C．3．（5分）命题p：∀x＞0，x2﹣ax+2＞0的否定是（）A．∀x＞0，x2﹣ax+2≤0 B．∀x≤0，x2﹣ax+2＞0 C．∃x0＞0，x02−axD．∃x0≤0，x02−【考点】求全称量词命题的否定．【答案】C【分析】根据题意，由全称命题和特称命题的关系，分析可得答案．【解答】解：根据题意，命题p：∀x＞0，x2﹣ax+2＞0的否定∃x0＞0，x02−故选：C．4．（5分）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a3+a7＝6，则S9＝（）A．27 B．272 C．54 【考点】等差数列的前n项和．【答案】A【分析】由等差数列{an}的性质可得：a3+a7＝a1+a9，再利用求和公式即可得出．【解答】解：由等差数列{an}的性质可得：a3+a7＝6＝a1+a9，则S9=9(故选：A．5．（5分）设a＝log0.60.8，b＝1.10.8，c＝log1.10.8，则（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b【考点】对数值大小的比较．【答案】C【分析】利用对数函数、指数函数的单调性求解．【解答】解：0＝log0.61＜a＝log0.60.8＜log0.60.6＝1，b＝1.10.8＞1.10＝1，c＝log1.10.8＜log1.11＝0，∴c＜a＜b．故选：C．6．（5分）为了得到函数f(x)=sin(2x−π4)的图象，只需要把函数yA．先将横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移π4B．先将横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移π8C．先向左平移π4个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）D．先向右平移π8【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【答案】B【分析】直接利用平移变换和周期变换的规则来判断．【解答】解：为了得到函数f(x)=sin(2x−π4)的图象，只需要把函数y＝sinx图象，先向右平移π4个单位，再将横坐标缩短到原来的12也可以先将横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移π8个单位，故A错误，故选：B．7．（5分）已知圆E：x2﹣ax+y2﹣2y﹣2＝0关于直线l：x﹣y＝0对称，则a＝（）A．0 B．1 C．2 D．4【考点】关于点、直线对称的圆的方程．【答案】C【分析】由题意根据圆心在直线上，求得a的值．【解答】解：由于圆E：x2﹣ax+y2﹣2y﹣2＝0关于直线l：x﹣y＝0对称，故圆心（a2，1）在直线l：x﹣y＝0上，∴a2−故选：C．8．（5分）某记者与参加会议的5名代表一起合影留念（6人站成一排），则记者站两端，且代表甲与代表乙不相邻的排法种数为（）A．72 B．96 C．144 D．240【考点】部分元素不相邻的排列问题．【答案】C【分析】先安排，代表甲与代表乙以外的3个代表，利用插空法，安排代表甲与代表乙，最后安排记者即可．【解答】解：第一步代表甲与代表乙以外的3个代表的排法有：A33种；第二步利用插空法，安排代表甲与代表乙，方法为A4共有A3故选：C．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）（多选）9．（6分）若Sn为数列{an}的前n项和，且SnA．S2＝3 B．a1＝﹣1 C．数列{an}是等比数列 D．数列{Sn+1}是等比数列【考点】数列递推式；等比数列的性质．【答案】BC【分析】根据an=S1，n=1Sn−Sn−1，n≥2，作差得到{an}是以﹣1为首项，2为公比的等比数列，即可求出an与【解答】解：因为Sn＝2an+1，当n＝1时，S1＝2a1+1，解得a1＝﹣1，故B正确；当n＝2时，S2＝2a2+1，即a1+a2＝2a2+1，解得a2＝﹣2，所以S2＝a1+a2＝﹣3，故A错误；当n≥2时，Sn﹣1＝2an﹣1+1，所以Sn﹣Sn﹣1＝2an+1﹣（2an﹣1+1），即an＝2an﹣2an﹣1，所以an＝2an﹣1，所以{an}是以﹣1为首项，2为公比的等比数列，所以an=−1×2则Sn所以Sn+1=−2所以数列{Sn+1}不是等比数列，故D错误．故选：BC．（多选）10．（6分）关于(x+2A．所有的二项式系数和为16 B．所有项的系数和为243 C．只有第3项的二项式系数最大 D．x的系数为40【考点】二项式定理．【答案】BD【分析】直接利用二项式的展开式以及赋值法的应用求出结果．【解答】解：对于A：所有的二项式系数和为25＝32，故A错误；对于B：令x＝1时，所有项的系数和为35＝243，故B正确；对于C：由于展开式一共有6项，故第3和第4的二项式系数最大，故C错误；对于D：根据(x+2x)5的展开式故(x+2x)故选：BD．（多选）11．（6分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是DD1的中点，则下列选项中正确的是（）A．AC⊥B1E B．B1C∥平面A1BD C．三棱锥C1﹣B1CE的体积为16D．异面直线B1C与BD所成的角为45°【考点】棱锥的体积；直线与平面平行．【答案】ABC【分析】对于A，由已知可得AC⊥平面BB1D1D，从而可得AC⊥B1E；对于B，利用线面平行的判定定理可判断；对于C，由VC1−B1CE=VB1−C1CE进行求解即可；对于D，由于BD∥B1【解答】解：如图：因为BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥BB1，因为AC⊥BD，AC⊥BB1，BD∩BB1＝B，BD⊂平面BDD1B1，BB1⊂平面BDD1B1，所以AC⊥平面BDD1B1，又B1E⊂平面BDD1B1，所以AC⊥B1E，故A正确；因为B1C∥A1D，A1D⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD，故B正确；三棱锥C1﹣B1CE的体积为VC1−因为BD∥B1D1，所以∠CB1D1是异面直线B1C与BD所成的角，又△CB1D1是等边三角形，所以异面直线B1C与BD所成的角为60°，故D错误．故选：ABC．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．（5分）已知k∈R，a→=（2，5），b→=(6，k)，a→∥【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的相等与共线．【答案】15．【分析】根据向量平行的坐标表示，列方程求解即可．【解答】解：由a→=(2，5)，b→可得2k﹣5×6＝0，解得k＝15．故答案为：15．13．（5分）已知m，n∈（0，+∞），1m+n=4，则m+9【考点】基本不等式及其应用．【答案】4．【分析】由已知利用乘1法，结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为m，n∈（0，+∞），1m则m+9n=14（m+9n）（1m+n）当且仅当mn＝3时取等号．故答案为：4．14．（5分）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆中心，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：x2a+1+y2a=1(a＞0)的蒙日圆方程为x2+【考点】椭圆的几何特征．【答案】12【分析】取椭圆的右顶点和上顶点作椭圆的两条切线，求出交点坐标C(a+1，a)，又因为C(a+1，a)在【解答】解：由椭圆C：x2a+1+上顶点为B(0，a)，过A，则交点坐标为C(a+1因为椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，所以C(a+1，a)在x2所以a+1+a＝7，解得：a＝3，则椭圆C的离心率为e=1−故答案为：12四、解答题（共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝7，c＝8．（1）若sinC=47，求角（2）若b＝5，求AC边上的高．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】（1）π6；（2）4【分析】（1）由正弦定理求得sinA，再判断角A的范围，即可求得角A；（2）先由余弦定理求出角C，再借助于直角三角形中三角函数的定义计算即得．【解答】解：（1）由正弦定理，asinA=c因a＜c，故A＜C，即A是锐角，故A=π（2）如图，由余弦定理，cosC=a知角C是锐角，则sinC=1−co作BH⊥AC于点H，在Rt△BCH中，BH=asinC=7×4即AC边上的高是4316．（15分）已知函数f(x)=alnx+bx2−7x+12在点（1，f（1）求a，b；（2）求f（x）的单调区间和极值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【答案】（1）a=2（2）单调递增区间为(0，13)，（2，+∞），单调递减区间为(13【分析】（1）计算出f（1）＝﹣5，求导，根据切线斜率得到方程，求出a，b的值；（2）在（1）的基础上，解不等式，得到函数单调区间和极值．【解答】解：（1）定义域为（0，+∞），f′(x)=a将点（1，f（1））代入2x+y+3＝0中，2×1+f（1）+3＝0，∴f（1）＝﹣5．f(1)=b−7+1（2）f(x)=2lnx+3f′(x)=2x(0，113(12（2，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）递增极大值递减极小值递增f（x）的单调递增区间为(0，13)f（x）的极大值为f(13)=−17．（15分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BB1的中点．（1）求证：BC1⊥平面A1CD；（2）求直线D1C与平面AD1E所成角的余弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直．【答案】（1）证明见详解；（2）22【分析】（1）要证BC1⊥平面A1CD，可证BC（2）以AD→方向为x轴正方向，AB→方向为y轴正方向，AA1→方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，求出D1C→和平面AD1E的法向量，由向量的夹角公式求出D【解答】解：（1）连接A1D，A1C，因为几何体为正方体，所以D1C1∥AB且D1C1＝AB，四边形ABC1D1为平行四边形，所以BC1∥AD1，因为AD1⊥DA1，所以BC1⊥A1D，又CD⊥BC，CD⊥CC1，BC∩CC1＝C，BC⊂平面BCC1B1，CC1⊂平面BCC1B1，所以CD⊥平面BCC1B1，又BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥CD，CD∩A1D＝D，CD⊂平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，所以BC1⊥平面A1CD；（2）以AD→方向为x轴正方向，AB→方向为y轴正方向，AA1不妨设正方体棱长为1，则A(0，0，0)，C(1，1，0)，D1(1，0，1)，E(0，1，AD1→=(1，0，1)，AE→=(0，1，则n→⋅AD1→=0n→⋅AE设直线D1C与平面AD1E所成角为θ，则sinθ=|cos〈D即θ=π4，所以故直线D1C与平面AD1E所成角的余弦值为2218．（17分）第19届亚运会于2023年9月23日在我国杭州举行，浙江某大学举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，讲好浙江故事”的知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了100人，统计发现他们的竞赛成绩分数均分布在[450，950]内，根据调查的结果绘制了学生分数频率分布直方图，如图所示．高于850分的学生被称为“特优选手”．（1）求a的值，并估计该校学生分数的第70百分位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现采用分层抽样的方式从分数在[750，850），[850，950）内的两组学生中共抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记被抽取的4名学生中是“特优选手”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【答案】（1）a＝0.0035，第70百分位数为730，平均数为670；（2）分布列见解析，85【分析】（1）利用频率分布直方图的特征、百分位数、平均数的计算公式计算即可；（2）根据分层抽样的法则先确定两组抽取到的人数，再由离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可．【解答】解：（1）由频率分布直方图知（0.0015×2+a+0.0025+0.0010）×100＝1，解得a＝0.0035，设第70百分位数为x，前两组所占频率为（0.0015+0.0035）×100＝0.5，前三组所占频率为（0.0015+0.0035+0.0025）×100＝0.75，则x位于第三组数据中，所以x−65070%−50%平均数x=(500×0.0015+600×0.0035+700×0.0025+800×0.0015+900×0.0010)×（2）由（1）知分数在[750，850），[850，950）内的两组学生分别有：100×0.0015×100＝15人，100×0.0010×100＝10人，所以各自抽取的人数分别为10×15所以X可取0，1，2，3，4，则P(X=0)=CP(X=3)=C所以X分布列为：X01234P114821374351210E(X)=0×119．（17分）已知双曲线C：x2