2023-2024学年浙江省北斗联盟高二(下)期中数学试卷

2023-2024学年浙江省北斗联盟高二（下）期中数学试卷一、单选题（每小题5分共40分）1．（5分）集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x∈N|2＜x＜5}，则A∩B＝（）A．{2，3，4} B．{3，4} C．{3，4，5} D．{2，3，4，5}2．（5分）已知空间两条不同直线m、n，两个不同平面α、β，下列命题正确的是（）①m⊥α，n⊥α，则m∥n②m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n③m⊥α，m⊥β，则α∥β④n⊥α，n∥β，则α⊥βA．①③ B．②④ C．①③④ D．①④3．（5分）已知非零向量a→，b→，则“两向量a→，b→数量积大于0”是“两向量A．必要 B．充分 C．充要 D．既不充分也不必要4．（5分）东阳市一米阳光公益组织主要进行“敬老”和“助学”两项公益项目，某周六，组织了七名大学生开展了“筑梦前行，阳光助学”活动后，大家合影留念，其中米一同学想与佳艳、刘西排一起，且要排在她们中间，则全部排法有（）种．A．120 B．240 C．480 D．7205．（5分）已知等差数列{an}，前n项和为Sn，a5、a2020是方程x2﹣2x﹣3＝0两根，则S2024＝（）A．2020 B．2022 C．2023 D．20246．（5分）空间点A（﹣1，1，1），B（﹣1，2，3），C（1，2，4），则点A到直线BC的距离d＝（）A．255 B．5 C．2157．（5分）已知tanθ=−43，θ∈（3π，4π），则sinA．45 B．−45 C．38．（5分）三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC=3，AC=AB=1，∠CAB=120°，则三棱锥P﹣A．9π B．9π2 C．18π D．36二、多选题（每小题6分，共18分，多选．错选0分少选则根据比例得分）（多选）9．（6分）已知直线l1：A1x+B1y+C1＝0和直线l2：A2x+B2y+C2＝0，则下列说法正确的是（）A．若A2＝0，则l2表示与x轴平行或重合的直线 B．直线l1可以表示任意一条直线 C．若A1B2﹣A2B1＝0，则l1∥l2 D．若A1A2+B1B2＝0，则l1⊥l2（多选）10．（6分）已知正项等比数列{an}的公比为q（q＞0），前n项积为Tn，且满足a7＞1，a7a8＜1，则下列说法正确的是（）A．0＜q＜1 B．q＞1 C．T14＜1＜T13 D．{Tn}存在最大值（多选）11．（6分）已知定义域为R的函数f（x）不恒为零，满足等式xf′（x）＝（x+2）f（x），则下列说法正确的是（）A．f（0）＝0 B．f（x）在定义域上单调递增 C．f（x）是偶函数 D．函数f′（x）有两个极值点三、填空题（每小题5分共15分）12．（5分）复数z＝3+4i，则z2+i的虚部为13．（5分）一学校对高二女生身高情况进行采样调查，抽取了10个同学的身高：161，160，152，155，170，157，178，175，172，162，则估计这些女生的上四分位数是．四、解答题（共77分）14．（13分）函数f(x)=12x2−x−2lnx，x∈[1，3]15．（15分）如图多面体ABCDEF，底面ABCD为菱形，EF∥AB，AB＝AF＝2EF＝2，∠FAB＝120°，∠ABC＝60°，平面ABEF⊥平面ABCD．（1）求证：BD⊥CE；（2）求平面BDE与平面ADF所成锐角的余弦值．16．（15分）（1）求圆O：x2+y2＝1和圆M：x2+y2﹣6y+8＝0的公切线l；（2）若l与抛物线y217．（17分）在高等数学中对于二阶线性递推式an+2＝pan+1+qan求数列通项，有一个特殊的方法特征根法：我们把递推数列an+2＝pan+1+qan的特征方程写为x2＝px+q①，若①有两个不同实数根α，β，则可令an=c1αn−1+c2βn−1；若①有两个相同的实根α，则可令an=(c1+n（1）斐波那契数列（Fibonaccisequence），又称黄金分割数列，因出自于意大利数学家斐波那契的一道兔子繁殖问题而得名．斐波那契数列指的是形如{Fn}＝{1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144⋯}的数列，这个数列的前两项为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和，请求出斐波那契数列的通项公式；（2）已知数列{an}中a1＝2，a2＝1，an+2＝an+1+2an，数列{bn}满足bn=log2(an−(−1)n−1)，数列{c18．（17分）已知点P（﹣2，1）为焦点在x轴上的等轴双曲线上的一点．（1）求双曲线的方程；（2）已知直线l⊥PO且l交双曲线右支于M，N两点，直线PM，PN分别交该双曲线斜率为正的渐近线于E，F两点，设四边形EFNM和三角形PEF的面积分别为S1和S2，求S1

2023-2024学年浙江省北斗联盟高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（每小题5分共40分）1．（5分）集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x∈N|2＜x＜5}，则A∩B＝（）A．{2，3，4} B．{3，4} C．{3，4，5} D．{2，3，4，5}【考点】求集合的交集．【答案】B【分析】结合交集的定义，即可求解．【解答】解：A＝{1，2，3，4}，B＝{x∈N|2＜x＜5}＝{3，4}，则A∩B＝{3，4}．故选：B．2．（5分）已知空间两条不同直线m、n，两个不同平面α、β，下列命题正确的是（）①m⊥α，n⊥α，则m∥n②m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n③m⊥α，m⊥β，则α∥β④n⊥α，n∥β，则α⊥βA．①③ B．②④ C．①③④ D．①④【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．【答案】C【分析】根据线面和面面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解．【解答】解：若m⊥α，n⊥α，由线面垂直的性质，垂直同一个平面的两条直线平行，则m∥n，故①正确；若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n或m与n相交或异面，故②错误；若m⊥α，m⊥β，由垂直同一条直线的两个平面平行，则α∥β，故③正确；若n⊥α，n∥β，由线面垂直和线面平行的性质可得α⊥β，故④正确．故选：C．3．（5分）已知非零向量a→，b→，则“两向量a→，b→数量积大于0”是“两向量A．必要 B．充分 C．充要 D．既不充分也不必要【考点】数量积表示两个平面向量的夹角；充分条件与必要条件．【答案】A【分析】根据数量积的计算公式及充分条件和必要条件的定义即可得出正确的答案．【解答】解：“两向量a→，b→的数量积大于0”得不出“两向量a→“两向量a→，b→的夹角是锐角”时，a→所以“两向量a→，b→数量积大于0”是“两向量a→故选：A．4．（5分）东阳市一米阳光公益组织主要进行“敬老”和“助学”两项公益项目，某周六，组织了七名大学生开展了“筑梦前行，阳光助学”活动后，大家合影留念，其中米一同学想与佳艳、刘西排一起，且要排在她们中间，则全部排法有（）种．A．120 B．240 C．480 D．720【考点】简单排列问题．【答案】B【分析】根据米一同学想与佳艳、刘西排一起，且在他们中间，将米、佳艳、刘西捆绑在一起，与剩余4个同学作为5个元素全排列，由排列数公式计算可得答案．【解答】解：因为米一同学想与佳艳、刘西排一起，所以捆绑在一起，与剩余4个同学作为5个元素全排列有A5又因为米一同学想与佳艳、刘西排一起，且在他们中间，则佳艳、刘西全排列有A2所以全部排法有：A5故选：B．5．（5分）已知等差数列{an}，前n项和为Sn，a5、a2020是方程x2﹣2x﹣3＝0两根，则S2024＝（）A．2020 B．2022 C．2023 D．2024【考点】等差数列的前n项和．【答案】D【分析】利用韦达定理求得a5+a2020＝2，然后利用等差数列通项性质求得a1+a2024＝2，从而利用求和公式求解即可．【解答】解：因为a5，a2020是方程x2﹣2x﹣3＝0两根，所以a5+a2020＝2，所以a1+a2024＝2a1+2023d＝a5+a2020＝2，所以S2024故选：D．6．（5分）空间点A（﹣1，1，1），B（﹣1，2，3），C（1，2，4），则点A到直线BC的距离d＝（）A．255 B．5 C．215【考点】空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离．【答案】D【分析】求出AB→，BC→，利用空间向量夹角余弦公式求出【解答】解：由题意得AB→所以cos＜AB→，所以sin∠ABC=1−所以点A到直线BC的距离d=|AB故选：D．7．（5分）已知tanθ=−43，θ∈（3π，4π），则sinA．45 B．−45 C．3【考点】同角正弦、余弦的平方和为1．【答案】B【分析】由题意利用同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：因为tanθ=−43＜0，θ∈（3π所以θ∈（3π+π2，4可得sinθ＜0，cosθ＞0，因为sinθcosθ则sinθ=−4故选：B．8．（5分）三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC=3，AC=AB=1，∠CAB=120°，则三棱锥P﹣A．9π B．9π2 C．18π D．36【考点】球的表面积．【答案】B【分析】先根据条件求出底面△ABC的半径r，进而利用直角△OBO′求出外接球的半径为R，代入表面积公式即可求出结果．【解答】解：如图：在△ABC中，AC＝AB＝1，∠CAB＝120°，由余弦定理得BC=A设底面△ABC的外心为O′，△ABC外接圆的半径为r，由正弦定理BCsin120°=2r，则连结PO1，此时P﹣ABC的外接球的球心O在PO′上，利用直角△PAO1可得PO′=P设P﹣ABC的外接球的半径为R，此时，在直角△OBO1中，O′O2+O′B2＝OB2，即(2解得R=3所以，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积S=4πR故选：B．二、多选题（每小题6分，共18分，多选．错选0分少选则根据比例得分）（多选）9．（6分）已知直线l1：A1x+B1y+C1＝0和直线l2：A2x+B2y+C2＝0，则下列说法正确的是（）A．若A2＝0，则l2表示与x轴平行或重合的直线 B．直线l1可以表示任意一条直线 C．若A1B2﹣A2B1＝0，则l1∥l2 D．若A1A2+B1B2＝0，则l1⊥l2【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．【答案】ABD【分析】利用线线平行、线线垂直的性质可直接判断．【解答】解：对于A，当A2＝0时，l2斜率为0，与x轴平行或重合，故A正确；对于B，当B1＝0时，l1斜率不存在，当B1≠0时，l1斜率存在，能表示任意直线，故B正确；对于C，若A1B2﹣A2B1＝0，且A1C2﹣A2C1≠0或B1C2﹣B2C1≠0，则l1∥l2，故C错误；对于D，若B1B2≠0，则由A1A2+B1B2＝0可得斜率之积为﹣1，故l1⊥l2，若B1＝0（B2＝0），可得A2＝0（A1＝0），此时满足A1A2+B1B2＝0，此时两条直线一条斜率为0，一条斜率不存在，故l1⊥l2，故D正确．故选：ABD．（多选）10．（6分）已知正项等比数列{an}的公比为q（q＞0），前n项积为Tn，且满足a7＞1，a7a8＜1，则下列说法正确的是（）A．0＜q＜1 B．q＞1 C．T14＜1＜T13 D．{Tn}存在最大值【考点】等比数列的性质．【答案】ACD【分析】先通过条件确定a8和q的取值情况判断AB，然后利用等比数列的性质计算T13，T14即可判断C，再根据数列的单调性判断D．【解答】解：由已知a7a8=a7所以0＜a8＜1，0＜q＜1，A正确，B错误；T13T14=(a1a14)(a2因为0＜q＜1且a1＞0，所以等比数列{an}递减数列，于是a1＞a2＞⋯＞a7＞1＞a8＞a9＞⋯，则Tn的最大值为T7，D正确．故选：ACD．（多选）11．（6分）已知定义域为R的函数f（x）不恒为零，满足等式xf′（x）＝（x+2）f（x），则下列说法正确的是（）A．f（0）＝0 B．f（x）在定义域上单调递增 C．f（x）是偶函数 D．函数f′（x）有两个极值点【考点】利用导数研究函数的单调性．【答案】AD【分析】令x＝0可判断A；令x＝﹣3，结合f（0）＝0和单调性可推出f′（﹣3）＜0，得到矛盾，进而可判断B；假设f（x）是偶函数，根据已知推导可得2xf（x）＝0，可判断C；令g(x)=f′(x)=(1+2x)f(x)，求导后消去f′（x），整理得g′(x)=【解答】解：对于A，令x＝0得2f（0）＝0，即f（0）＝0，A正确；对于B，若f（x）在定义域上单调递增，当x＜0时，f（x）＜f（0）＝0，令x＝﹣3，得﹣3f′（﹣3）＝﹣f（﹣3）＞0，即f′（﹣3）＜0，与f（x）在定义域上单调递增矛盾，故B错误；对于C，若f（x）是偶函数，则f（﹣x）＝f（x），且f′（﹣x）＝﹣f′（x），因为xf′（x）＝（x+2）f（x），所以﹣xf′（﹣x）＝（﹣x+2）f（﹣x），所以（x+2）f（x）＝（﹣x+2）f（﹣x），即2xf（x）＝0，得x＝0或f（x）＝0，又f（0）＝0，所以f（x）＝0恒成立，矛盾，故C错误；对于D，当x≠0时，f′(x)=(x+2)f(x)记g(x)=f′(x)=(1+2则g′(x)=(−所以g′(x)=(2令x2+4x+2＝0解得x1=−2−2因为f（x）不恒为零，所以在x1，x2两边g′（x）异号，所以x1，x2为g（x）的极值点，所以函数f′（x）有两个极值点，D正确．故选：AD．三、填空题（每小题5分共15分）12．（5分）复数z＝3+4i，则z2+i的虚部为1【考点】复数的运算．【答案】见试题解答内容【分析】把z＝3+4i代入z2+i【解答】解：∵z＝3+4i，∴z2+i则z2+i故答案为：1．13．（5分）一学校对高二女生身高情况进行采样调查，抽取了10个同学的身高：161，160，152，155，170，157，178，175，172，162，则估计这些女生的上四分位数是172．【考点】百分位数．【答案】见试题解答内容【分析】根据百分位数的定义求解．【解答】解：10个数据从小到大排列为：152，155，157，160，161，162，170，172，175，178，因为10×75%＝7.5，所以上四分位数是第8个数据，即172．故答案为：172．四、解答题（共77分）14．（13分）函数f(x)=12x2−x−2lnx，x∈[1，3]【考点】利用导数求解函数的最值．【答案】见试题解答内容【分析】利用导数求出函数的单调区间，从而求最值即可．【解答】解：函数f(x)=1则f′(x)=x−1−2∴x∈[1，2]时f′（x）＜0，f（x）递减；x∈[2，3]时f′（x）＞0，f（x）递增，且f(1)=−1∴f（1）﹣f（3）＝2ln3﹣2＞0，∴f(x)f（x）min＝f（2）＝﹣2ln2．15．（15分）如图多面体ABCDEF，底面ABCD为菱形，EF∥AB，AB＝AF＝2EF＝2，∠FAB＝120°，∠ABC＝60°，平面ABEF⊥平面ABCD．（1）求证：BD⊥CE；（2）求平面BDE与平面ADF所成锐角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用余弦定理求出AE，即可得到AE⊥EF，则AE⊥AB，由面面垂直的性质得到AE⊥平面ABCD，即可得到BD⊥AE，再由BD⊥AC，证明BD⊥平面ACE，即可得证；（2）取BC中点G，连接AG，即可得到AG⊥BC，则AG⊥AD，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得．【解答】（1）证明：在△AFE中，EF＝1，AF＝2，由∠FAB＝120°，EF∥AB，所以∠AFE＝60°，由余弦定理可得AE==2所以AE2+EF2＝AF2，所以∠AEF＝90°，即AE⊥EF，又EF∥AB，所以AE⊥AB，又平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD＝AB，AE⊂平面ABEF，所以AE⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，所以BD⊥AE，在菱形ABCD中，BD⊥AC，又AE∩AC＝A，AE，AC⊂平面ACE，所以BD⊥平面ACE，又CE⊂平面ACE，所以BD⊥CE；（2）解：菱形ABCD中，∠ABC＝60°，所以△ABC为等边三角形，取BC中点G，连接AG，所以AG⊥BC，又AD∥BC，所以AG⊥AD，又AE⊥平面ABCD，故以AG，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B(3，−1，0)，D（0，2，0），所以BD→=(−3，3，0)，DE→设F（x1，y1，z1），则EF→=(x所以(−3所以x1=−32y设平面BDE的一个法向量为n→=(x，y，z)，由n→则有n→⋅BD设平面ADF的一个法向量m→=(a，b，c)，由m→则有m→⋅AD设平面BDE与平面ADF的夹角为θ，则cosθ=|所以平面BDE与平面ADF所成锐角的余弦值为2516．（15分）（1）求圆O：x2+y2＝1和圆M：x2+y2﹣6y+8＝0的公切线l；（2）若l与抛物线y2【考点】直线与抛物线的综合；两圆的公切线条数及方程的确定；抛物线的焦点与准线．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径求解；（2）将切线方程与抛物线方程联立，利用弦长公式求解．【解答】解：（1）当斜率存在时，设公切线为y＝kx+n，因为与两圆相切，所以|n−3|k2+1∴切线y=±5当斜率不存在时，x＝±1也符合题意，综上：公切线为：y=±52x+（2）当切线x＝﹣1和y=5当切线为x＝1时，求得弦长为1，当切线为y=−52x+得：5x由韦达定理得x1所以由弦长公式得：l=1+=1+综上：弦长为1或31+1217．（17分）在高等数学中对于二阶线性递推式an+2＝pan+1+qan求数列通项，有一个特殊的方法特征根法：我们把递推数列an+2＝pan+1+qan的特征方程写为x2＝px+q①，若①有两个不同实数根α，β，则可令an=c1αn−1+c2βn−1；若①有两个相同的实根α，则可令an=(c1+n（1）斐波那契数列（Fibonaccisequence），又称黄金分割数列，因出自于意大利数学家斐波那契的一道兔子繁殖问题而得名．斐波那契数列指的是形如{Fn}＝{1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144⋯}的数列，这个数列的前两项为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和，请求出斐波那契数列的通项公式；（2）已知数列{an}中a1＝2，a2＝1，an+2＝an+1+2an，数列{bn}满足bn=log2(an−(−1)n−1)，数列{