2023-2024学年重庆市名校联盟高三(上)期中数学试卷

2023-2024学年重庆市名校联盟高三（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{﹣2，﹣1，1，2，4}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1} B．{﹣1，2} C．{1，2} D．{1，2，4}2．（5分）设a＞0，则的最小值为（）A． B．2 C．4 D．53．（5分）已知，则的值等于（）A． B． C． D．4．（5分）函数的图象大致是（）A． B． C． D．5．（5分）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图2所示其外框是边长为2的正六边形ABCDEF，内部圆的圆心为该正六边形的中心O，圆O的半径为1，点P在圆O上运动，则的最小值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．26．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，外接圆半径为R，若，且△ABC的面积为2R2sinB（1﹣cos2A），则cosB＝（）A． B． C． D．7．（5分）已知函数，函数y＝f（x）﹣a有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则x1x2+x3+x4的取值范围为（）A．（5，3+e] B．[4，4+e） C．[4，+∞） D．（﹣∞，4]8．（5分）已知函数，下列命题正确的有（）A．f1（2x）在区间[0，π]上有3个零点 B．要得到f1（2x）的图象，可将函数图象上的所有点向右平移个单位长度 C．f3（x）的值域为 D．f6（x）的最小正周期为，最小值为二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．（5分）在下列向量组中，可以把向量＝（3，2）表示出来的是（）A．＝（0，0），＝（1，2） B．＝（﹣1，2），＝（5，﹣2） C．＝（3，5），＝（6，10） D．＝（2，﹣3），＝（﹣2，3）（多选）10．（5分）下列不等式中成立的是（）A．0.60.8＜0.80.8 B．0.60.8＜0.80.6 C．log0.80.6＞log0.60.8 D．log0.80.6＜0.80.6（多选）11．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的是（）A．若acosA＝bcosB，则△ABC是等腰三角形 B．若，∠B＝45°，AC＝3，则满足条件的三角形有且只有一个 C．若△ABC不是直角三角形，则tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC D．若•＝0，则△ABC为钝角三角形（多选）12．（5分）设函数，数列{an}满足an+1＝f（an），则（）A．当时，1＜an＜2 B．若{an}为常数数列，则a1＝1或2 C．若{an}为递减数列，则1＜a1＜2 D．当a1＝3时，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）复数（其中i为虚数单位），则||＝．14．（5分）＝．15．（5分）已知数列{an}满足，则数列{an}的前10项和为．16．（5分）已知函数f（x）＝ex﹣ax2（a∈R）有两个极值点x1，x2，且x1＞2x2，则a的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcosA＝ccosA+acosC．（1）求A；（2）若a＝4，求△ABC面积的最大值．18．（12分）函数的一段图象如图所示．（1）求函数y＝f（x）的解析式；（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，得到y＝g（x）的图象，求函数y＝f（x）+g（x）在的值域．19．（12分）已知函数．（1）判断函数f（x）的奇偶性并加以证明；（2）∀x∈（1，2），不等式f（ax2+2）+f（2x﹣1）＞0成立，求实数a的取值范围．20．（12分）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从重庆市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动．（1）若数学组的12名学员中恰有5人来自A中学，从这12名学员中选取3人，ξ表示选取的人中来自A中学的人数，求ξ的分布列和数学期望；（2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为p1，p2，且，假设每轮答题结果互不影响，如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得6轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？21．（12分）设数列{an}的前n项之积为Tn，满足2an+Tn＝1（n∈N+）．（1）设，求数列{bn}的通项公式bn；（2）设数列{an}的前n项之和为Sn，证明：．22．（12分）已知函数f（x）＝xcosx，g（x）＝asinx．（1）若a＝1，证明：当x∈（0，π）时，x＞g（x）＞f（x）；（2）当x∈（﹣π，0）∪（0，π）时，，求a的取值范围．

2023-2024学年重庆市名校联盟高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{﹣2，﹣1，1，2，4}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1} B．{﹣1，2} C．{1，2} D．{1，2，4}【考点】交集及其运算．【答案】C【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜4}，{﹣2，﹣1，1，2，4}，∴A∩B＝{1，2}．故选：C．2．（5分）设a＞0，则的最小值为（）A． B．2 C．4 D．5【考点】函数的最值及其几何意义．【答案】D【分析】根据题意，化简，再结合基本不等式求解即可．【解答】解：∵a＞0，∴＝a+1+≥1+2＝1+4＝5，当且仅当a＝，即a＝2时，等号成立．故选：D．3．（5分）已知，则的值等于（）A． B． C． D．【考点】两角和与差的三角函数；运用诱导公式化简求值．【答案】B【分析】根据诱导公式求解即可．【解答】解：因为，所以．故选：B．4．（5分）函数的图象大致是（）A． B． C． D．【考点】函数的图象与图象的变换．【答案】D【分析】根据函数的奇偶性，函数值的变化情况判断即可．【解答】解：x≠0，＝＝﹣f（x），则f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，A，B项不符合；当x→+∞时，f（x）＞0，且→0．故选：D．5．（5分）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图2所示其外框是边长为2的正六边形ABCDEF，内部圆的圆心为该正六边形的中心O，圆O的半径为1，点P在圆O上运动，则的最小值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】D【分析】建立平面直角坐标系，设点P（cosθ，sinθ）（0≤θ＜2π），利用平面向量的数量积和三角函数的性质即可求解．【解答】解：如图以O为坐标原点，BE所在直线为x轴，AE的垂直平分线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设点P（cosθ，sinθ）（0≤θ≤2π），由题意知，E（2，0），O（0，0），则，，所以，当cosθ＝1，即θ＝0时取最小值2，故选：D．6．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，外接圆半径为R，若，且△ABC的面积为2R2sinB（1﹣cos2A），则cosB＝（）A． B． C． D．【考点】正弦定理；余弦定理．【答案】D【分析】由结合正弦定理⇒b2﹣a2＝ac①，由△ABC的面积为2R2sinB（1﹣cos2A）＝a2sinB，⇒acsinB＝a2sinB，即c＝2a，代入①得，b2＝2a2，再由余弦定理即可得出答案．【解答】解：因为，所以由正弦定理得，b2﹣a2＝ac①，因为△ABC的面积为2R2sinB（1﹣cos2A）＝a2sinB，所以acsinB＝a2sinB，则c＝2a，代入①得，b2＝2a2，由余弦定理得，cosB＝＝＝．故选：D．7．（5分）已知函数，函数y＝f（x）﹣a有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则x1x2+x3+x4的取值范围为（）A．（5，3+e] B．[4，4+e） C．[4，+∞） D．（﹣∞，4]【考点】函数的零点与方程根的关系．【答案】A【分析】根据导函数判断函数f（x）的单调性，画出函数图像，将y＝f（x）﹣a有四个零点转化为y＝f（x）的图像与y＝a有四个不同交点，分析可知1＜a≤e，由韦达定理可得x1x2+x3+x4＝4+a﹣lna，设g（a）＝4+a﹣lna，1＜a≤e，由导函数分析函数单调性，即可求出范围．【解答】解：∵x≤0时，，∴，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增，f（﹣1）＝1，f（0）＝e，∵x＞0时，，∴f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，f（2）＝1，画出f（x）的图像如图，y＝f（x）﹣a有四个零点即y＝f（x）的图像与y＝a有四个不同交点，由图可得1＜a≤e，x1，x2是方程，即x2+2x+1﹣lna＝0的两根，x3，x4是方程，即x2﹣（3+a）x+4＝0的两根，∴x1x2＝1﹣lna，x3+x4＝3+a，则x1x2+x3+x4＝1﹣lna+3+a＝4+a﹣lna（1＜a≤e），设g（a）＝4+a﹣lna，1＜a≤e，则，∴g（a）在（1，e）上单调递增，∴当1＜a≤e时，g（1）＜g（a）≤g（e），即5＜g（a）≤3+e，所以x1x2+x3+x4的取值范围为（5，3+e]．故选：A．8．（5分）已知函数，下列命题正确的有（）A．f1（2x）在区间[0，π]上有3个零点 B．要得到f1（2x）的图象，可将函数图象上的所有点向右平移个单位长度 C．f3（x）的值域为 D．f6（x）的最小正周期为，最小值为【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；命题的真假判断与应用．【答案】D【分析】由题意，利用辅助角公式化简函数f1（2x），结合函数零点及图象平移变换判断AB；化简函数f3（x），借助导数求出值域判断C；化简函数f6（x），再利用余弦函数性质判断D．【解答】解：对于A，依题意，，由0≤x≤π，得．由f1（2x）＝0，得或，解得或，所以f1（2x）在区间[0，π]上有2个零点，故A错误．对于B，由选项A知，，将函数图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数，故B错误．对于C，＝＝．令，﹣1≤t≤1，，求导得．由g′（t）＞0，得，于是函数g（t）在上单调递增．由g′（t）＜0，得或，于是g（t）在，上单调递减．且，，，，因此当时，g（t）取得最小值﹣1；当时，g（t）取得最大值1，所以f3（x）的值域为[﹣1，1]，故C错误．对于D，依题意，＝，所以f6（x）的周期，最小值为，故D正确．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．（5分）在下列向量组中，可以把向量＝（3，2）表示出来的是（）A．＝（0，0），＝（1，2） B．＝（﹣1，2），＝（5，﹣2） C．＝（3，5），＝（6，10） D．＝（2，﹣3），＝（﹣2，3）【考点】平面向量的基本定理；向量的概念与向量的模．【答案】B【分析】根据向量的坐标运算，，计算判别即可．【解答】解：根据，选项A：（3，2）＝λ（0，0）+μ（1，2），则3＝μ，2＝2μ，无解，故选项A不能；选项B：（3，2）＝λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3＝﹣λ+5μ，2＝2λ﹣2μ，解得，λ＝2，μ＝1，故选项B能．选项C：（3，2）＝λ（3，5）+μ（6，10），则3＝3λ+6μ，2＝5λ+10μ，无解，故选项C不能．选项D：（3，2）＝λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3＝2λ﹣2μ，2＝﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能．故选：B．（多选）10．（5分）下列不等式中成立的是（）A．0.60.8＜0.80.8 B．0.60.8＜0.80.6 C．log0.80.6＞log0.60.8 D．log0.80.6＜0.80.6【考点】对数值大小的比较；不等关系与不等式；指数函数的单调性与特殊点．【答案】ABC【分析】根据已知条件，结合指数函数、对数函数的单调性，即可求解．【解答】解：y＝x0.8，在（0，+∞）上单调递增，故0.60.8＜0.80.8，故A正确；函数y＝0.6x在R上单调递减，则0.60.8＜0.60.6，函数y＝x0.6在（0，+∞）上单调递增，则0.60.6＜0.80.6，故0.60.8＜0.80.6，故B正确；函数y＝log0.8x单调递减，则log0.80.6＞log0.80.8＝1＝log0.60.6＞log0.60.8，故C正确；，故D错误．故选：ABC．（多选）11．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的是（）A．若acosA＝bcosB，则△ABC是等腰三角形 B．若，∠B＝45°，AC＝3，则满足条件的三角形有且只有一个 C．若△ABC不是直角三角形，则tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC D．若•＝0，则△ABC为钝角三角形【考点】解三角形；三角形的形状判断；平面向量数量积的性质及其运算；正弦定理．【答案】BC【分析】对于A，结合正弦定理，即可求解，对于B，结合余弦定理，即可求解，对于C，结合正切函数的两角和公式，即可求解，对于D，结合平面向量的数量积公式，即可求解．【解答】解：对于A，∵acosA＝bcosB，∴由正弦定理可得，sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A+2B＝π，即A＝B或A+B＝，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形，故A错误，对于B，∵，∠B＝45°，AC＝3，∴cosB＝＝＝，解得BC＝，故BC＝2+，满足条件的三角形有一个，故B正确，对于C，∵△ABC不是直角三角形，A＝π﹣（B+C），∴tanA＝﹣tan（B+C）＝﹣，∴tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC，故C正确，对于D，＝0，则，故△ABC为直角三角形，故D错误．故选：BC．（多选）12．（5分）设函数，数列{an}满足an+1＝f（an），则（）A．当时，1＜an＜2 B．若{an}为常数数列，则a1＝1或2 C．若{an}为递减数列，则1＜a1＜2 D．当a1＝3时，【考点】数列与函数的综合．【答案】ABD【分析】由题意，结合一次函数和二次函数的图象与性质，根据数列递推关系式、常数列以及递减数列的概念即可判断选项A，B，C，再利用递推关系以及裂项求和即可判断选项D．【解答】解：已知函数，若数列{an}满足an+1＝f（an），对于选项A：当时，a1∈（1，2），所以，可得a3＝f（a2）∈（1，2），同理a4∈（1，2），…an∈（1，2），故选项A正确；对于选项B：若{an}为常数数列，此时an+1＝an，当an≤0时，an+1＝f（an）＝an﹣1＝an，无解；当an＞0时，，解得an＝1或an＝2，故选项B正确；对于选项C：若{an}为递减数列，此时an+1＜an，可得an+1﹣an＜0，当an≤0时，an+1﹣an＝an﹣1﹣an＝﹣1＜0，当an＞0时，，则0＜an＜1或an＞2，故选项C错误；对于选项D：当a1＝3＞2时，，又，所以an+1﹣2＝an（an﹣2），可得，则，此时＝，故选项D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）复数（其中i为虚数单位），则||＝．【考点】复数的模；复数的运算．【答案】．【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．【解答】解：，则||＝|z|＝＝．故答案为：．14．（5分）＝1．【考点】对数的运算性质．【答案】1．【分析】根据对数和指数的运算性质计算即可．【解答】解：＝＝＝2﹣9+8＝1．故答案为：1．15．（5分）已知数列{an}满足，则数列{an}的前10项和为．【考点】数列的求和．【答案】．【分析】根据给定的递推公式，利用裂项相消法及分组求和作答．【解答】解：依题意，当n为奇数时，，当n为偶数时，，所以数列{an}的前10项和a1+a2+a3+a4+⋯+a9+a10＝（a1+a3+⋯+a9）+（a2+a4+⋯+a10）＝＝．故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）＝ex﹣ax2（a∈R）有两个极值点x1，x2，且x1＞2x2，则a的取值范围为．【考点】利用导数研究函数的极值．【答案】．【分析】将极值点问题转化为导函数的零点问题，再将零点问题转化为方程的解的问题，构造函数求解即可．【解答】解：∵f（x）＝ex﹣ax2（a∈R），∴f′（x）＝ex﹣2ax，∵函数f（x）＝ex﹣ax2（a∈R）有两个极值点x1，x2，∴f′（x1）＝f′（x2）＝0，又f′（0）＝e0﹣0＝1≠0，∴x1，x2≠0，∴x1，x2是ex﹣2ax＝0，即的两个不相等的实数根，令，则，①当x＜0时，，g（x）在区间（﹣∞，0）单调递减，且，②当0＜x＜1时，，g（x）在区间（0，1）单调递减，且，③当x＞1时，，g（x）在区间（1，+∞）单调递增，且，∴g（x）在x＝1处取得极小值g（1）＝e，g（x）的图象大致如下，若有两个不相等的实数根x1，x2，则2a＞e，即，且x1，x2＞0，令，则x1＝tx2，且x1＞2x2，∴，又，∴，∴，则，∴，设，则，令，则，当t＞2时，，∴在t∈（2，+∞）上单调递减，∴当t＞2时，，∴当t＞2时，，在t∈（2，+∞）上单调递减，∴，即x2＜ln2．又∵在区间（0，1）上单调递减，，0＜x2＜ln2＜1，∴，即．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcosA＝ccosA+acosC．（1）求A；（2）若a＝4，求△ABC面积的最大值．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由正弦定理将边化为角，结合三角函数的两角和的正弦公式，可求得答案；（2）由余弦定理结合基本不等式可求得bc≤16，再利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：（1）根据正弦定理及2bcosA＝ccosA+acosC，得2sinBcosA＝sinCcosA+sinAcosC＝sin（A+C）＝sinB，∵sinB≠0，∴，∵0＜A＜π，∴；（2）由（1）知，又a＝4，由余弦定理得，即b2+c2﹣bc＝16，∵b2+c2≥2bc，∴2bc﹣bc≤16，即bc≤16，当且仅当b＝c＝4时取等号，∴，∴S△ABC的最大值为．18．（12分）函数的一段图象如图所示．（1）求函数y＝f（x）的解析式；（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，得到y＝g（x）的图象，求函数y＝f（x）+g（x）在的值域．【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【答案】（1）．（2）（﹣1，2]．【分析】（1）根据图象可求得A与周期T，进而求得ω，再利用正弦函数性质求出φ即可．（2）先根据平移变换求出y＝g（x）的解析式，再利用辅助角公式化简，并求出函数值域得解．【解答】解：（1）观察图象，得A＝2，函数f（x）的周期，解得ω＝2，即f（x）＝2sin（2x+φ）．由，得，即，而，则，所以函数y＝f（x）的解析式是．（2）由（1）得，则＝，当时，，有，于是，所以所求值域为（﹣1，2]．19．（12分）已知函数．（1）判断函数f（x）的奇偶性并加以证明；（2）∀x∈（1，2），不等式f（ax2+2）+f（2x﹣1）＞0成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质与判断．【答案】（1）f（x）是奇函数，证明见解析；（2）．【分析】（1）化简可得f（﹣x）＝﹣f（x），即可得出f（x）是奇函数；（2）分析出f（x）的单调性，结合函数奇偶性，即可转化为y＝ax2+2x+1＞0对于（1，2）恒成立，进而转化为利用含参的二次函数最值求解即可．【解答】解：（1）由题知，f（x）定义域为R，关于原点对称，因为，所以f（x）是奇函数．（2）由，因为y＝ex+1在定义域上单调递增，且ex+1＞1，所以在定义域内单调递减，在定义域内单调递增，即f（x）在R内单调递增，若∀x∈（1，2），不等式f（ax2+2）+f（2x﹣1）＞0成立，即f（ax2+2）＞﹣f（2x﹣1），又f（x）为奇函数，即f（﹣x）＝﹣f（x），可得f（ax2+2）＞f（1﹣2x），则等价于ax2+2＞1﹣2x恒成立，即y＝ax2+2x+1＞0对于（1，2）恒成立，当a＝0时，2x+1＞0，即，符合；当a＞0，，此时只需a+2+1＞0，a＞﹣3，可得a＞0；当a＜0，若，即a＜﹣1时，此时4a+2×2+1＞0，，可得；若，即时，此时a+2+1＞0，a＞﹣3，可得；若，即时，x＝1时，y＝a+3，x＝2时，y＝4a+5，a+3＝4a+5时，，所以若时，4a+2×2+1＞0，，可得；若时，a+2+1＞0，a＞﹣3，可得；若时，，解得，因为，，故符合．综上，a的取值范围为．20．（12分）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从重庆市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动．（1）若数学组的12名学员中恰有5人来自A中学，从这12名学员中选取3人，ξ表示选取的人中来自A中学的人数，求ξ的分布列和数学期望；（2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为p1，p2，且，假设每轮答题结果互不影响，如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得6轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【答案】（1）分布列见解析，；（2）理论上至少要进行11轮答题．【分析】（1）根据超几何分布列分布列计算数学期望即可；（2）先求每轮答题中取得胜利的概率的最大值，再应用独立重复实验数学期望的范围进行求解即可．【解答】解：易知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，此时，，，，则ξ的分布列如下：ξ0123P所以；（2）他们在每轮答题中取得胜利概率为＝，因为0≤p1≤1，0≤p2≤1，又，所以，此时，可得，不妨令，此时，当时，，要使答题轮数取最小值，此时每轮答题中取得胜利的概率取最大值，不妨设他们小组在n轮答题中取得胜利的次数为X，可得，易得，因为E（X）≥6，所以，解得n≥10.125，因为n∈N*，所以Qmax＝11，故理论上至少要进行11轮答题．21．（12分）设数列{an}的前n项之积为Tn，满足2an+Tn＝1（n∈N+）．（1）设，求数列{bn}的通项公式bn；（2）设数列{an}的前n项之和为Sn，证明：．【考点】数列的求和；数列递推式．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）数列{an}的前n项之积为Tn，满足2an+Tn＝l（n∈N+），n＝1时，2a1+a1＝1，解得a1．n≥2时，，变形为，结合，即可得出bn．（2）由（1）可得：，解得Tn，当n≥2时，，可得，需要证明，即证明，设，t∈（0，1），令f（t）＝lnt+1﹣t，t∈（0，1），利用导数研究函数的单调性即可得出结论．【解答】解：（1）因为数列{an}的前n项之积为Tn，满足2an+Tn＝l（n∈N+），所以当n＝1时，2a1+a1＝1，解得．当n≥2时，，化为，变形为，又，所以bn＝2bn﹣1，即且，则数列{bn}是以b1＝4为首项，2为公比的等比数列所以．（2）证明：由（1）可得：，解得，当n≥2时，．∴，需要证明，即证明，设，t∈（0，1），则，设f（t）＝lnt+1﹣t，t∈（0，1），f′（t）＝﹣1＝＞0，则函数f（t）在t∈（0，1）上单调递增，所以f（t）＜f（1）＝0，即，所以．22．（12分）已知函数f（x）＝xcosx，g（x）＝asinx．（1）若a＝1，证明：当x∈（0，π）时，x＞g（x）＞f（x）；（2）当x∈（﹣π，0）∪（0，π）时，，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的最值．【答案】（1）证明见解析．（2）[1，+∞）．【分析】（1）利用作差法比较，构造函数G（x）＝x﹣g（x），F（x）＝g（x）﹣f（x），然后分别求导后利用其单调性，证明G（x）＞0，F（x）＞0在x∈（0，π）上恒成立，从而证明．（2）由题意要证，在x∈（﹣π，0）⋃（0，π）时恒成立，即可构造函数恒成立，然后通过放缩变形证明H（x）＞0恒成立，从而求解．【解答】解：（1）证明：当a＝1时，g（x）＝asinx＝sinx，当x∈（0，π）时，要证x＞g（x）＞f（x），即等价于证明x﹣g（x）＝x﹣sinx＞0恒成立和g（x）﹣f（x）＝sinx﹣xcosx＞0恒成立，设G（x）＝x﹣g（x）＝x﹣sinx