2023届安徽省合肥市高三下学期第一次教学质量检测数学试题

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页安徽省合肥市2023届高三下学期第一次教学质量检测数学试题一、单选题1．已知复数满足，则复数的虚部为（

）A． B． C． D．2．设集合，，则（

）A． B．C． D．3．核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为99%．若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为（

）A．0.495% B．0.9405% C．0.99% D．0.9995%4．将函数图像上各点横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位得到曲线C．若曲线C的图像关于轴对称，则的值为（

）A． B． C． D．5．已知p：，q：，则p是q的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知线段PQ的中点为等边三角形ABC的顶点A，且，当PQ绕点A转动时，的取值范围是（

）A． B． C． D．7．抛物线E：的焦点为F，曲线l：交抛物线E于A，B两点，则的面积为（

）A．4 B．6 C． D．88．已知正方体的棱长为4，M，N分别是侧面和侧面的中心，过点M的平面与直线ND垂直，平面截正方体所得的截面记为S，则S的面积为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知，函数的图象可能是（

）A． B．C． D．10．已知数列满足．若对，都有成立，则整数的值可能是（

）A． B． C．0 D．111．已知圆锥SO(O是底面圆的圆心,S是圆锥的顶点)的母线长为7,高为3.若P,Q为底面圆周上任意两点,则下列结论正确的是 ()A．三角形SPQ面积的最大值为23B．三棱锥O-SPQ体积的最大值为2C．四面体SOPQ外接球表面积的最小值为11πD．直线SP与平面SOQ所成角的余弦值的最小值为2112．已知函数是偶函数，且．当时，，则下列说法正确的是（

）A．是奇函数B．在区间上有且只有一个零点C．在上单调递增D．区间上有且只有一个极值点三、填空题13．函数在点处的切线与直线平行，则实数______．14．二项式展开式中，的系数是______．15．已知AB为圆C：的一条弦，M为线段AB的中点．若（O为坐标原点），则实数m的取值范围是______．16．已知双曲线E：的左右焦点分别为，，A为其右顶点，P为双曲线右支上一点，直线与轴交于Q点．若，则双曲线E的离心率的取值范围为______．四、解答题17．已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，．(1)求的通项公式；(2)求证：．18．如图，正方体的棱长为4，点M为棱的中点，P，Q分别为棱，上的点，且，PQ交于点N．(1)求证：平面ABCD；(2)求多面体的体积．19．已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且．(1)若，求A的大小；(2)当取得最大值时，试判断的形状．20．已知曲线C：，从曲线C上的任意点作压缩变换得到点．(1)求点所在的曲线E的方程；(2)设过点的直线交曲线E于A，B两点，试判断以AB为直径的圆与直线的位置关系，并写出分析过程．21．研究表明，温度的突然变化会引起机体产生呼吸道上皮组织的生理不良反应，从而导致呼吸系统疾病的发生或恶化．某中学数学建模社团成员欲研究昼夜温差大小与该校高三学生患感冒人数多少之间的关系，他们记录了某周连续六天的温差，并到校医务室查阅了这六天中每天高三学生新增患感冒而就诊的人数，得到资料如下：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天昼夜温差x（℃）47891412新增就诊人数y（位）参考数据：，．(1)已知第一天新增患感冒而就诊的学生中有7位女生，从第一天新增的患感冒而就诊的学生中随机抽取3位，若抽取的3人中至少有一位男生的概率为，求的值；(2)已知两个变量x与y之间的样本相关系数，请用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程，据此估计昼夜温差为15℃时，该校新增患感冒的学生数（结果保留整数）．参考公式：，．22．已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若关于x的方程有两个实数解，求a的最大整数值．

参考答案1．【答案】A【分析】根据复数的除法运算可求得，即可求得结果.【详解】由可得，所以复数的虚部为.故选：A2．【答案】B【分析】根据两集合中的元素特征可知，集合分别表示的是的奇数倍和整数倍，根据补集运算可知表示的应是的偶数倍.【详解】由题意可知，，可知集合表示的是的奇数倍，而由可知，集合表示的是的整数倍，即，所以.故选：B3．【答案】A【分析】根据条件概率的乘法公式即可求解.【详解】记感染新冠病毒为事件,感染新冠病毒的条件下,标本为阳性为事件则,故某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为，故选：A4．【答案】B【分析】先根据图像变化得到曲线C为：，由图像关于轴对称得，进而可求得答案.【详解】由题意得变化后的曲线C为：，曲线C的图像关于轴对称，故，又，即当，故选：B.5．【答案】C【分析】令,结合该函数的奇偶性，单调性判断不等式是否成立.【详解】令，，且，故为奇函数，时，递增，则也递增，又为奇函数，则在上递增，，若，则，则，即即；，若，则等价于，即，由在上递增，则，即，故p是q的充要条件，故选：C.6．【答案】D【分析】以点为原点，建立直角坐标系，可知两点都是圆上的动点，当直线斜率不存在时，可得，直线斜率存在时，可得到或，再讨论与的大小关系，即可求解.【详解】以点为原点，以与平行的直线为轴，与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，，，易知两点都是圆上的动点，当直线斜率不存在时，，此时，，则当直线斜率不存在时，可设直线的方程为，当时，联立，解得，，则，，；同理，当时，，，，综上所述，的取值范围是，故答案选：D.7．【答案】D【分析】根据题意，分别联立直线与抛物线方程得到点的坐标，然后结合两点间距离公式以及点到直线的距离公式即可得到结果.【详解】因为曲线l：，当时，；当时，，当时，联立直线与抛物线，解得，设，当时，联立直线与抛物线，解得，设，又因为，则，则可得，即点到直线的距离为，,则故选:D8．【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量确定截面形状，再计算截面面积作答.【详解】正方体的棱长为4，建立如图所示的空间直角坐标系，侧面的中心，侧面的中心，而，有，显然点M在平面与平面的交线上，设为这条交线上任意一点，，而平面，则，即，令，得点，令，得点，连，平面与平面必相交，设为这条交线上任意一点，，由，即，令，得点，连，因为平面平面，则平面与平面的交线过点G，与直线FE平行，过G作交于，，由得，即，显然平面与平面都相交，则平面与直线相交，令交点为，，由得，连接得截面五边形，即截面为五边形，，取中点，连接，则，在中，，的面积，在中，，边上的高，梯形面积，所以S的面积为.故选：C【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.9．【答案】ABC【分析】根据给定的函数，按分类探讨，结合函数的单调性及函数增长速度的大小判断作答.【详解】当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减，因此函数在上单调递增，而，函数图象为曲线，A可能；当时，函数在上的图象是不含端点的射线，B可能；当时，取，有，即函数图象与x轴有两个公共点，又，随着的无限增大，函数呈爆炸式增长，其增长速度比的大，因此存在正数，当时，恒成立，即，C可能，D不可能.故选：ABC10．【答案】BC【详解】由可得，若对，都有成立，即，整理可得，所以对都成立；当为奇数时，恒成立，所以，即；当为偶数时，恒成立，所以，即；所以的取值范围是，则整数的值可能是.故选BC.11．【答案】BD【解析】经典题型：圆锥的性质、三棱锥的体积、四面体外接球的表面积、直线与平面所成角如图,由题意得圆锥的底面半径PO=SP2−SO对于A,由于S△SPQ=12×7×7×sin∠PSQ=72sin∠PSQ,当sin∠PSQ=1,即PQ=14时(提示:因为直径长为4,PQ=14必能取到),△SPQ面积的最大值为72,故对于B,因为S△OSP=12×2×3=3(提示:求棱锥体积的最大值的关键是找出定面积或定高线),则当OP⊥OQ时,三棱锥O-SPQ的体积取得最大值,所以(VO-SPQ)max=(VQ-OSP)max=13×3×2=233,对于C,设∠POQ=θ(0<θ<π),则△POQ外接圆的半径为OP2sinπ−θ2=1cosθ2.设四面体SOPQ外接球的球心为O',△POQ外接圆的圆心为A,则O'A=12SO=32,所以O'O2=O'A2+AO2=34+1cos2θ2=34+21+cosθ.因为0<θ<对于D,由线面角的定义,可得当OP⊥平面SOQ时,直线SP与平面SOQ所成角的余弦值最小,即为SOSP=37=217,故D正确.【思路导引】利用勾股定理求出圆锥底面半径→利用三角形面积公式求出△SPQ面积的最大值→判断A转化为求(VQ-OSP)max→根据OP⊥OQ求出最大值→判断B利用正弦定理求出△POQ外接圆的半径→利用勾股定理求外接球半径→求范围→判断C由线面角的定义,得OP⊥平面SOQ时,直线SP与平面SOQ所成角的余弦值最小→求出最小的余弦值→判断D12．【答案】ACD【分析】A选项，由是偶函数，故，结合，推导出，A正确；B选项，求出的一个周期为4，从而只需求在区间上的零点个数，结合函数性质得到，B错误；C选项，求导得到，换元后得到，，再次求导，得到的单调性，结合，，得到在上恒成立，得到在上单调递增；D选项，与C选项一样得到的单调性，结合零点存在性定理得到隐零点，进而得到的单调性，求出区间上有且只有一个极值点.【详解】函数是偶函数，故，因为，所以，故，将替换为，得到，故为奇函数，A正确；因为，故，故，所以的一个周期为4，故在区间上的零点个数与在区间上的相同，因为，而，故，其中，故在区间至少有2个零点，B错误；时，，则，令，，当时，所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减，又，，故在上恒成立，所以在上恒成立，故在上单调递增，C正确；D选项，时，，故，令，，当时，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，因为，，，由零点存在性定理，，使得，当时，，当时，，时，，单调递减，时，，单调递增，所以区间上有且只有一个极值点，D正确.故选：ACD【点睛】设函数，，，．（1）若，则函数的周期为2a；（2）若，则函数的周期为2a；（3）若，则函数的周期为2a；（4）若，则函数的周期为2a；（5）若，则函数的周期为；（6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为；（7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为；（8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为；（9）若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为2a；（10）若函数是奇函数，且其图象关于直线对称，则的周期为2a.13．【答案】5【分析】根据导数的几何意义结合平行关系分析运算.【详解】∵，则，∴，若切线与直线平行，则，解得.故答案为：5.14．【答案】15【分析】由，利用二项式展开式的通项公式求解.【详解】解：二项式，二项式展开式的通项公式为，所以在二项式展开式中，的系数是，故答案为：1515．【答案】【分析】根据题意，设，由列出方程，从而得到的取值范围，然后再检验即可.【详解】设，因为圆C的圆心为，所以，所以又因为，则所以，即即，当时，表示点，圆，因为M为线段AB的中点，所以在圆内，即，满足题意；当时，表示点，圆，则，满足题意；当时，在以为圆心，为半径的圆上，且，所以圆的圆心在圆的内部，且圆的半径，即小于圆的半径，故圆与圆必相交，满足在圆内，故，所以实数m的取值范围是故答案为:16．【答案】【分析】根据题意设点并解出Q点坐标为，再根据可得，即可解得，由P为双曲线右支上一点可得，解不等式即可求得离心率的取值范围.【详解】如下图所示，根据题意可得，设，则直线的方程为，所以直线与轴的交点，由可得，即，整理得，即；又因为P为双曲线右支上一点，所以，当时，共线与题意不符，即；可得，整理得，即，解得或（舍）；即双曲线E的离心率的取值范围为.故答案为：17．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）设出等差数列的公差，利用已知列出方程组，即可求解作答.（2）利用（1）的结论，结合裂项相消法求和推理作答.【详解】（1）设等差数列的公差为d，由，，得，而，解得，，所以的通项公式．（2）由（1）知，，所以．18．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）方法一：由题意证得，再由线面平行的判定定理即可证明；方法二：建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量的坐标表示求出，即可证明；（2）方法一：由设多面体BDMPQ的体积为V，连接DP，则，代入计算即可求出答案；方法二：建立空间直角坐标系，由空间向量夹角公式求出的值，即可求出，表示出，再求出点到平面的距离，即可得出答案.【详解】（1）方法一：∵，，∴．∴，即点N为线段的中点．过点N作于点E，则，且，∴，且，∴四边形AMNE为平行四边形，∴．又∵平面ABCD，平面ABCD，∴平面ABCD．方法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，∴，．∵，，∴点N为的中点，则，∴，∴与，共面，且平面ABCD，∴平面ABCD．（2）方法一：设多面体BDMPQ的体积为V，连接DP，则．方法二：∵，，，，则，∴，且，∴四边形PQDM为平行四边形，且，．∵，，∴，∴，∴．设为平面DMPQ的法向量，则令，则，，即，∴点到平面的距离为，∴四棱B-DMPQ的体积为．19．【答案】(1)(2)为直角三角形【分析】（1）根据题意利用正弦定理、余弦定理进行边化角结合三角恒等变换化简整理可得，运算求解即可得结果；（2）根据题意结合化简整理得，再利用基本不等式运算求解.【详解】（1）∵，即，则，可得，故，则，∴，当时，则，又∵，∴．（2）由（1）知，，∴，，当且仅当，即当，时，等号成立，∴的最大值为，又∵，则的最大值为，此时，∴．∴为直角三角形．20．【答案】(1)(2)以AB为直径的圆与直线相离，分析过程见解析【分析】(1)直接利用伸缩变换的应用和变换前的关系式的应用求出结果；(2)分斜率存在和不存在两种情况讨论，利用圆心到直线的距离与半径比较大小，即可进行判断.【详解】（1）由得，代入得，曲线E的方程为．（2）由题知，当直线l的斜率存在时，设l：，由消去y整理得，．设，，则，以AB为直径的圆的圆心横坐标为．又，以AB为直径的圆的半径为，圆心到直线的距离为，，即，以AB为直径的圆与直线相离．当直线l的斜率不存在时，易知以AB为直径的圆的半径为，圆的方程是，该圆与直线相离．综上可知，以AB为直径的圆与直线相离．21．【答案】(1)(2)33人【分析】（1）根据题意由求解；（2）根