考研数学三（线性代数）模拟试卷36

考研数学三(线性代数)模拟试卷36

一、选择题(本题共4题，每题7.0分，共4分。)

1、设A为n阶可逆矩阵，入是A的一个特征根，则A的伴随矩阵A*的特征值之

一是

A、X-1|A|n

B、煌|A|

C、X|A|

D、X|A|n

标准答案：B

知识点解析：因为大为可逆方阵A的特征值，故混0,且存在列向量x，0,使

Ax=Xx,用A*左乘两端并利用A"A=|A|E,得|A|X=/A+X,两端同乘

得・由特征值的定义即知:

4X=J|AI*

AAA为A的一个特征值且x为对应

的一个特征向量，故只有(B)正确。

2、n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的

A、充分必要条件

B、充分而非必要条件

C、必要而非充分条件

D、既非充分也非必要条件

标准答案：B

知识点解析：因为，Abn相似于对角阵0A有n个线性无关特征向量，故备选项

(A)不对，若Amxn有n个互不相同的特征值，则A必有n个线性无关的特征向

量，因而A必相似于对角阵；但与对角阵相似的方阵A也可能有重特征值，故(B)

正确。

3、设n阶矩阵A与B相似，E为n阶单位矩阵，则

A、XE一A=XE-B

B、A与B有相同的特征值和特征向量

C、A和B都相似于一个对角矩阵

D、对任意常数［,1E—A与正一B相似

标准答案：D

知识点解析：由已知条件，存在可逆矩阵P,使得P"AP=B所以p」(tE—A)p=tE

一P/AP=tE-B这说明tE—A与tE—B相似，相似矩阵虽然有相同的特征值，但

却未必有相同的特征向量。例如，两个相似矩阵

■o1-…；H：K

.00.

有相同的构征值斯=A,=0•但4的全部精在向量为x-*［：］,其中人为任章非塞常敷；B的全部将把向量

「2［一

为y=/.其中/为任章非零常数,星然有Xfh般各选g（B）也不时.

.—3.

故（D）正确。

4、设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量a是A的属于特

征值人的特征向量.则矩阵（P」AP）T属干特征值入的特征向量是

A、P-1a

B、PTa

C、Pa

D、（P-1）Ta

标准答案：B

知识点解析：由条件有AT=A,Aa=Xa,故有（p/AP）T（pTa）=pTA（pT）-

ipTa=pTAa=pTM=MpT（x）因为pT（#0（否则pT（x=0,两端左乘（Pr）"，得a=0,这与

特征向量必为非零向量矛盾），故由特征值与特征向量的定义，即知非零向量PTa

是方阵（P」AP）」的属于特征值大的特征向量。因此，（B）正确。

二、填空题（本题共I题，每题1.0分，共I分。）

_1_J_±±

5、设4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为"'?'彳'7则行列式|B“一

E|=o

标准答案：24

X±±±

知识点解析：由于相似矩阵有相同的特征值，故B的特征值为：彳''三'

因此，B”的特征值为：2,3,4,5.从而知B」-E的特征值为：1,2,3,4.由

特征值的性质，得|B"—E|=1x2x3x4=24

三、解答题（本题共79题，每题1.0分，共79分。）

-3-121

A0-14

6、求矩阵--101-1的实特征值及对应的特征向量。

A+31-2

IAE-AI02+1—4(；-1)(A:+4A+5)=0

标准答案:0A-l得A有

唯一实特征值入=1.解齐次线性方程组(E—A)x=O,由

41-21n00■

E-A—021-2

o。」得其基础解系为自=(0,2,l)To故对应于特

.100JLo

征值九=1的全部特征向量为x=k(0,2,l)T(k为任意非零常数)。

知识点解析：本题考查特征值与特征向量的求法。注意，A的属于特征值前的特

征空间的基就是齐次方程组(ME—A)x=0的基础解系。所以，如果求出了此基础解

系：号，…，&,则A的属于及)的全部特征向量为x=k[&+…+k&,其中k1，…，

k”是任意一组不全为零的常数。

--122,

A=2-1-2

设矩阵L2—2—1,

7、求A的特征值；

标准答案：由A的特征方程

=(A-1)(A2-F4A-5)=。一】AQ+5)=0

得A的全部特征值为Ai=%=l.Aj=-5.

知识点解析：暂无解析

8、利用(1)的结果，求矩阵E+A」的特征值，其中E是3阶单位矩阵。

11、求可逆矩阵P,使p"AP=B。

标准答案：

-200-r-1oo1

由(1)知4=202B=020

.311.,00-2_

且4的全部特征值为Q=-1.船=2,工一2,计算可得对应的特征向信分别可取为

(0,2,—1)11=(0,bl)T.《3=(1»0»—1)

故可逆矩阵

-001-

P=够金金］=210

-11-1.

满足P'1AP=Bo

知识点解析：暂无解析

■0or

A=1】y

12、设L100」有3个线性无关的特征向量，求x和y应满足的条件。

标准答案：由A的特征方程

A0-1

IAE-A|=一”A-1->=(4-1»(4+1)=0

°A得A的全部特征值为

入1=入2口，入3二一L因为不同特征值所对应的特征向量线性无关，且对应于单特征

值％二一1有且仅有一个线性无关的特征向量，故A有3个线性无关的特征向量㈡

对应于2重特征值大产船一1必须有2个线性无关的特征向量0齐次方程组(E—

A)x=0的基础解系含2个向量03—r(E-A)—2Qr(E—A)=l.矩阵

■1o—nr1o-r

E-A=~x0-y-x0-y

Li0］「1000」的秩必须等于i,故

1-1

=-y-x—0*

一”—,于是得x+y=0,而且当x+y=0时，E+A的秩的确为1,

故x和y应满足条件x+y=0.

知识点解析：本题主要考查特征值和特征向量的性质及齐次方程组的基础解系的理

论。注意，对于n阶方阵A,当A有n个互不相同特征值时，A必有n个线性无关

的特征向量；当A有重特征值时，A有n个线性无关的特征向量0对应于A的每

个特征值的线性无关特征向量个数正好等于该特征值的重数，这其实也是n阶方阵

A相似于对角阵的充分必要条件。

ro1ooi

1000

A=

00y1

设矩阵I。。一.

13、已知A的一个特征值为3,试求y；

标准答案：因为

所以y=2,于是

-0100-

1000

A=

0021

D012.

知识点解析：暂无解析

14、求可逆矩阵P,使(AP)T(AP)为对角矩阵。

1000-

0100

A2=

0054

045」以下欲求

标准答案：由Ar=A,得(AP)[AP)二P「A2p。而矩阵10

矩阵P,使P「A2P为对由矩阵，可以考虑二次型

rz2

XAX=宕+z；+5xj+5x<+8xjj-«=x?+x：H-5(x3+)+

4,

令V=为♦>：=4，M=4+14•得

-1000

y\

0100

工2yz

4

001T%

芈

00i.

-100o

010o

取P4

001.T

L0001

000'

000

T

则有(AP)(AP)0050

1

000y.

因为A2为实对称矩阵，所以存在正交矩阵P,使得JA2P=pTA2P为对角矩阵，下

(0»0»—,)T

面来求这样的正交矩阵P。首先求出A?undefined

令矩阵

-1000-

000

一11

P=[A同的AJ=o0石

1

00

则有

PTA:P=(AP)T(AP)=

9」

知识点解析：本题是关于特征值的基本概念题。利用矩阵运算得到

(AP)T(AP)=PTA2P,从而将问题归结为实对称矩阵A2合同于对角矩阵的问题，这

是本题求解的关键。由此自然想到利用二次型的配方法或用正交矩阵P化A2为对

角矩阵。注意求矩阵A2的属于3重特征值九已入2=入3=1的特征向量的方法：解齐

■0000■■0011-

00000000

E-/

00-4—40000

次方程组(E—A2)X=0,由.00—4—4..0000.系数矩阵

的秩为1，故只有1个约束未知量，选X3为约束未知量，则X1，X2，X4为自由未

知量(虽然方程X3+X4=0中未出现X1,X2,但约束未知量以外的未知量都是自由未

知量)，则得方程组的用自由未知量表示的通解为X3=—X4(X],X2,X4任意),

Ta

令分别为:0o

」」代入上述通解，则得方程组的基础解系、即属于特

9.JO-

TT

征值1的线性无关特征向量:ai=(l,0,0,0),a2=(0,1,0,0),a3=(0,0,

一1,1)丁

设3阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3；矩阵A的属于特征值1,2的特征向量

分别是四二(-1,—1,1)T»a2=(l,一2,—l)To

15、求A的属于特征值3的特征向量；

T

标准答案：设A的属于特征值3的恃征向量为a3=(X],x2,X3)O因对于实对称矩

阵，属于不同特征值的特征向量相互正交,所以aJa3=0,a2Ta3=0,即(xi，x2,

/一工I-与+0=0

X3)T是齐次方I©-2*2—0

知识点解析：暂无解析

16、求矩阵Ao

标准答案：令矩阵

由于

--1/3-1/31/3'

k=1/6-1/3-1/6

.1/201/2.

所以

知识点解析：本题主要考查实时称矩阵的性质及方阵A相似于对角阵D的反问题

——由p/AP=D来求矩阵A。注意，由于四，a2,自两两正交，故再单位化，即得

A的标准正交的特征向量：

•定子)<=iff=(去晦),

因此，可取正义赃阵

-1/6I/V61/72

—1/V3-2/V6

.1/V3-1/V6

则有rlAP=PJAP=

由此可得

13-25-

-2102

.5213.

这样作法虽然多了单位叱的步骤，但不必计算P"(因为对于正交阵P，有丁

3)。

设向量a=(ai(X2，…，an),，B=(bi，b2，…，加),都是非零向量，且满足条件

aTp=0.记n阶矩阵A=apTo求：

17、A2；

标准答案：由户忏。,<pTa=0.由A=a(f,有A2=AA=((邓丁)(邱丁尸a(0Ta)pT一

(pTa)(apT)=0即A?为n阶零矩阵。

知识点解析：本题主要考查矩阵乘法，注意这里首先由『0是1阶方阵，知其转置

不变，得匹亡忏砂伊丁邛'％；其次，在求A?时，利用了矩阵乘法的结合律，并利

用已推得的-a=0,很快推得A2=(),而并没有具体计算A并进而计算A2,可见作

矩阵运算时一般要先作“字母运算”进行化简。

18、矩阵A的特征值和特征向量。

标准答案：设九为A的任一特征值，x(#))为对应的特征向量，则Ax=M,两端左

乘A,A2X=XAX=X2X,因为A24,所以-X=0,又x#),故A0.即矩阵A的特

征值全为零。不妨设向量a，。中分量ai#)，bi^O.对齐次方程组(0E—A)x=O的

系数矩阵施行初等行变未：

由此可得方程组(OE-A)x=0的基础解系为：

a(=(―T2-,1.0,—,0)T*az=.a„.|=(-3,0,0•…・】)丁

仇仇。】

于是，A的属于特征值『0的全部特征向量为：ciai

知识点解析：本题主要考查事零方阵(即满足A"1。的方阵A,其中m为正整数)的

特征值的计算及方阵特征向量的求法，注意a邦，屏0,故a,。的分量不全为零，

而假设a/0,b#0,对于消元最为简单。

A=1020]

19、设矩阵L°J矩阵B=(kE+A)2,其中足为实数，E为单位矩阵。求对

角矩阵A,使B与A相似；并求k为何值时，B为正定矩阵。

A-10

IAE-A|=0A-2

标准答案：由一1°得A的特征值为

J,

X1=X=2,九3=0.记对角矩阵L

2。」因A是实对称矩阵，故存在正交矩

阵P，使得P-IAP=PTAP=D所以A=PDP-1于是B=(kE+A)2=(kPP”+PDP-

1)2=[P(kE+D)P-1]2=P(kE+D)P-1P(kE+D)"

Z+2'2「("I*'

=P(kE+D)xp-1=PA+2=pa+2)，p-l

k]Lk1.

由此可得

「*+2户-

A=a+2)'

Lki.

亦可由A的特征值为：2,2,0,得kE+A的特征值为：k+2,k+2,k,进而得

B=(kE+A)2的特征值为：(k+2)2,(k+2)2.kL从而得实对称矩阵B相似于对角阵

Ao由上面的结果立刻得到：当k#一2,且k翔时，B的特征值均为正数，这时B

为正定矩阵。

知识点解析：本题主要考查实对称矩阵及其多项式相似于对角矩阵的问题。注意，

若方阵A相似于对角阵，则A的多项也必相似于对角阵。事实上，若存在可逆矩

P-'AP=D=A：

阵P,使人」则对任意正整数m,有9小件=(「

A?

A?

1AP)m=D,n=芍」，由此可知A的任一多项式也必相似于对角阵。例如，

由P」(A3+2A-3E)P=P/A3P+2P“AP-3E

At+2AI—3

=A]-2A：—3

-"+2人-3」即知A的多项式A?+2A—3E相似于

对角阵。本题只要求求出B的相似对角矩阵，不必求出相似变换的矩阵P。

a-1c

A=5b3

20、设矩阵Ll-c0一」同|川二一1,又设A的伴随矩阵A*有特征值

猊，属于X的特征向量为a=(—1,一1,l)To求a,b,c及X的值。

标准答案：由Aa=Xoa，AA*=|A|E=一E有AA*a=ioAa,从而有一a=XoAa或

即

俨。（-a+1+c）=l（1）

<Ao（-5—64-3）=81（2）

，Ao（—14-c—a）=­1（3）

由（1）和（3）解得A-1.将上=1分别代入（2）和（D,得b=-3,Q=c.由IA1=-1和a=c有

a—1a

-1=AI=5-33=a-3

1-a0—a

故a=c=2.因此a=2,b=一3,c=2,Xo=l.

知识点解析•：本题综合考查特征值与特征向量、伴随矩阵、矩阵乘法和向量相等等

概念。注意，利用AA』A|E将方程A*a=Ma转化为X()Aa=­a是本题简化运算的

关键。

1al1■

A=1al,”1

21、设矩阵L11JL-2.

已知线性方程组AX邛有解但不惟一，试

求(l)a的值；(2)正交矩阵Q,使QTAQ为对角矩阵。

标准答案：

(1)对方程组的增广矩阵•=C4:B]作初等行变换：

-11a：1][1aJ1-

0a~11-a0I—>0a—11—a0

JO1—,a1-a，：一2一a」JO0(2+a)(l—a):—(24-a).

由此可见

1)当a，1且a工一2时.r(4)-r(A)=3,方程组有惟一解；

2)当a=】时"(A)=hr(A)=2.方程组无解,

3)当。=-2时,rG4)=r(A)=2V3,方程组有无穷多解.

故底=一2满足题设条件。或因线性方程组AXd有解但不惟一，所以

11a

IA1=1a1=-(a-l)2(a4-2)=0.

d11当a=l时，秩(A)，秩[A|B],此时方程

组无解；但好一2时，秩(A尸秩[A|B],此时方程组的解存在但不惟一，于是知a=

-2.⑵由⑴知

由

IAE-A|=-1A4-2-1=A(A-3)(A4-3)=0

2-1A-1得

A的特征值为兀尸0,入2=3,入3二一3.对于笳二0,解方程组(OE—A)X