2025~2026学年湖南长沙市望城区第一中学高二下学期期中考试数学试卷

2025~2026学年湖南长沙市望城区第一中学高二下学期期中考试数学试卷一、单选题1.已知集合，，且，则的取值范围是（）

A．B．C．D．2.若，，则（）

A．B．C．D．3.某导航机器人团队，调研5组不同避障阈值（单位：灵敏度）与路径规划耗时（单位：）得到的数据如下表：

避障阈值99.51010.511规划耗时865由表中数据可知，规划耗时与避障阈值之间存在较强的线性相关关系，其经验回归方程是，则规划耗时数据5，6，8，，的第百分位数为（）

A．8B．9C．D．4.如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（）

A．B．C．D．5.已知直线：，直线：，则“”是“”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6.圆与圆的公共弦长为（）

A．2B．C．D．47.双曲线：的右焦点为，过点且斜率为的直线与y轴交于点A，线段与E交于点B，若B为的中点，则E的离心率为（）

A．B．C．D．58.已知函数，，若对任意的恒成立，则实数a的取值范围为（）

A．B．C．D．二、多选题9.已知不重合直线，不重合平面，则下列结论正确的有（）

A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则10.已知数列的首项，且满足，下列说法正确的是（）

A．B．数列为等差数列C．数列是递增数列D．数列的前n项积为，则11.满足，且，则（）

A．三个内角满足关系B．的周长为C．若的角平分线与交于，则的长为D．设为外接圆上任意一点，则的最大值为三、填空题12.已知、为随机事件，且，，若，则___________.13.在的展开式中，项的系数为_____________．14.下左图是一段柱体状的水沟的直观图，其横断面（平行于底面的截面）如下右图所示，其中的曲线段AOB是顶点为O且AO、BO相互对称的抛物线弧，沟宽AB为2米，沟深（O到直线AB距离）为1米.若要将水沟改挖（不填土）为横断面为等腰梯形的水沟，使得水沟底面与地面平行，则改挖后水沟的底部宽为________米（近似到0.01米）时，所挖土最少．四、解答题15.已知曲线，且曲线在点处的切线与直线垂直．(1)求的值；(2)求的值；(3)若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值．16.设为数列的前n项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．17.如图，在四棱锥中，.(1)证明:平面平面；(2)若，为锐角，且平面与平面所成二面角的正弦值为，求.18.冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮．某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼．(1)已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列(2)为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率；(3)经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格?附：．19.已知椭圆（）的长轴长