考研数学一（随机事件和概率）模拟试卷4

考研数学一（随机事件和概率）模拟试

卷4

一、选择题（本题共16题，每题1.0分，共16分。）

1、以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件4为（）

A、“甲种产品滞销，乙种产品畅销”。

B、“甲、乙两种产品均畅销”。

C、“甲种产品滞销”。

D、“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。

标准答案：D

知识点解析：设A产｛甲种产品畅销｝,A2=｛乙种产品滞销｝，则A=AIA2。由德摩

根定律得彳二小U五"=｛甲种产品滞销｝U｛乙种产品畅销｝,即彳为“甲种

产品滞销或乙种产品畅销A、B两项中的事件与事件A都是互斥但非对立（互

逆）的：C选项中事件的逆事件显然包含事件A,因此A、B、C三项都不正确，故

选D。

2、设事件A与B满足条件AB=Z瓦则（）

A、AUB=0

B、AuB=Q

C、AUB=A

D、AUB=B

标准答案：B

知识点解析：由对称性可知C、D两项都不成立（否则，一个成立另一个必成立），

而若A选项成立

=B=0=4=B=B=〃，由4=B=0=48=0这与已知

AB=7万;相矛盾，故选B。

3、下列事件中与A互不相容的事件是()

(A)ABC0

(B)A\JB\JCUB\JCO

(C)A(BUC)o

(D)(4UB)(AUB)(AUB)(AU万)。

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

知识点解析：由于(彳U8)(4u8)(Mu万)(/1uM=0,不可能事件。与任

何一个事件A都相互不相容,即呼二%而

A(ABC)=A(4U万Ui)=ABUAC,

,4(4UBUCUB\JC)=A(ABC)UA(BC)=ABC,

AA(BUC)=A(A\JB{JC)=A(BUC)=ABCQ综上分析，故选D。

4、若事件A和B同时出现的概率P(AB)=O,则()

A、A和B不相容(互斥)。

B、AB是不可能事件。

C、AB未必是不可能事件。

D、P(A)=O或P(B)=O

标准答案：c

知识点解析：不可能事件与零概率事件之间的区别和联系：不可能事件发生的概率

为零，但零概率事件未必是不可能事件。由P(AB)=O不能推出AB是不可能事件，

故选C。

5、设A,B为两个随机事件，且,则下列式子正确的是()

A、F(A+B)=P(A)

B、P(AB)=P(A)

C、P(BIA)=P(B)

D、P(B—A)=P(B)—P(A)

标准答案：A

知识点解析：图3+1如图3-1-1所示，可见A+B=AUB二A,

AB=AAB=B,B—A=0«,于是P(A+B尸P(A),P(AB)=P(B),P(B—A)=^(0)

=0,故选A。C选项只有当P(A)=1时才成立。

6、设A,B是任意两个随机事件，又知8=)4,且P(A)VP(B)V1,则一定有()

A、P(AUB)=P(A)+P(B)

B、P(A—B)=P(A)—P(B)

C、P(AB)=P(A)P(BIA)

D、P(AIB)RP(A)

标准答案：D

知识点解析：由于B：)A,则AUB=B,AB=Ao当P(A)>0,A选项不成立；当

P(A)=O时，条件概率P(BIA)不存在，C选项不成立；由于任何事件概率的非负

性，而题设P(A)VP(B),故选项B不成立。对于选项D,根据题设条件OWP(A)V

P(B)<1,可知条件概率P(AIB)存在，并且

(।)一P(8)_P(幻>P(/0,

故选D。

7、设A和B为任意两不相容事件，且P(A)P(B)>0,则必有()

(A)彳和后不相容。_(B)彳和g相容

(C)P(AUi)=P(万)。(D)P(A))=P(力。

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：因为

P(AUi)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(fi)-P(A-AB)

=P(A)+P(万)-P(4)=P(i),故选C。

8、设当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则()

A、P(C)<P(A)+P(B)—1

B、P(C)>P(A)+P(B)—1

C、P(C)=P(AB)

D、P(C)=P(AUB)

标准答案：B

知识点解析：由题设条件可知C>48,于是根据概率的性质、加法公式，有

P(C)>P(AB)=P(A)+P(B)—P(AUB)>P(A)+P(B)—1,故选B。

9、设Ai，A2和B是任意事件，且OVP(B)V1,P{(A|UA22)IB}=P(A|I

B)+P(A2IB),贝U()

A、P(A|UA2)=P(AI)+P(A2)

B、P(A|UA2)=P(AIIBI+P(A2IB)

C、P(AiBUA2B)=P(AiB)+P(A2B)

MM

D、P((4U4)18)=P(4⑶+。(乙⑶

标准答案：C

多识点解析：由题设知，P(A|A2IB尸0,但是这不能保证P(AIA2)=0和P(AIA2I

5)=0,故A项和D项不成立。由于P(A|IB)+P(A2IB)=P[(A)UA2)IB]未必等于

P(AI+A2),因此B项一般也不成立。由P(B)>0及P[(AIUA2)IB]=P(AiI

P[(4U&/]_P(A⑻P(/幻

B)+P(A2IB),可见C选项成立：P(8)-P(B)+P(B)'故选

Co

10、设事件A,B,C满足P(ABC)>0,则P(ABIC)=P(AIC)P(BIC)的充要条件

是()

A、P(AIC)=P(A)

B、P(BIC)=P(B)

C、P(ABIC)=P(AB)

D、P(BIAC)=P(BIC)

标准答案：D

知识点解析：因为P(ABIC)=P(AIC).P(BIC),所以

=P(HC)./(8C)^P(ABC)_P(BC)

P(C)-P(C)P(C)'Wp(AC)-P(C),所以P(BlAC尸P(BIC),

故选D。

11、设随机事件A与B互不相容，且P(A)>0,P(B)>0,则下列结论中一定成立

的有()

A、A,B为对立事件

B、彳了互不相容

C、A,B不独立

D、A,B相互独立

标准答案：C

知识点解析：A,B互不相容，只说明AB二0,但并不一定满足AUB=Q,即互不

相容的两个事件不一定是时立事件，又因AUB=Q不一定成立，故

AUB即彳万=。亦不一定成立,因此A、B两项都不成立。同时因为P(AB)二

P(0)=O,但是P(A)P(B)>0,即P(AB)#P(A)P(B),A与B一定不独立,故选C。

12、将一枚匀称的硬币独立地掷三次，记事件A="正、反面都出现“；B="正面最

多出现一次“：C="反面最多出现一次”，则下列结论中不正确的是()

A、A与B独立。

B、B与C独立。

C、A与C独立。

D、BUC与A独立。

标准答案：B

知识点解析：试验的样本空间有8个样本点，即Q={(正，正，正)，(正，反，

反)，…，(反，反，反))。显然B与C为对立事件，且依古典型概率公式有P(A尸

6^±-1

8,P(B)=P(C)=8,P(AB)=P(AC)=8,P(BC)=P(0)=O,P(BUC尸P(Q)=1。由于

6433

--X--二—

P(A)P(B尸888,P(AB)=8,即P(AB)=P(A)P(B)。因此A与B独立，类似

地A与C也独立，又因必然事件与任何事件都独立，因此BUC与A也独立，用排

除法知，故选FU

13、设A,B,C三个事件两两独立，则A,B,C相互独立的充分必要条件是()

A、A与BC独立。

B、AB与AUC独立。

C、AB与AC独立。

D、AUB与AUC独立。

标准答案：A

知识点解析：经观察，即可知由选项A能够推得所需条件。事实上，若A与BC

独立，则有P(ABC户P(A)P(BC)。而由题设知P(BC尸P(B)P(C)。从而

P(ABC)=P(A)P(B)P(C),故选Ao

14、A,B,C三个随机事件必相互独立，如果它们满足条件()

A、A,B,C两两独立。

B、P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

C、P(A—B)=l

D、P(A—B)=0

标准答案：C__

知识点解析：当P(七B)=l成立时,P(AB)=\t由P(A)W(4万)=1,得

P(A)=lo同理，P(互)=1,故P(B)=0。再由多个事件相互独立的条件，易知A,

B,C相互独立，故选C。

15、连续抛掷一枚硬币，第k(kWn)次正面向上在第n次抛掷时出现的概率为()

(A)C：(打，(B)C：(打。

(C心：(打，(D)C1Z；(1)\

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

第〃次抛掷

（小1）次第A次正面向上

其中伏・1）次正面

（巾4）次反血

知识点解析：图3-1-2依据题意，总共抛掷n次，其

中有k次出现正面，余下的为n—k次反面。第n次必是正面向上，前n—1次中

有n—k次反面，k—1次正面（如图3—1-2所示）。根据伯努利公式，所以概率为

,卜如后），故选D。

16、在最简单的全概率公式P（B）=P（A）P（BIA）+〃（4）P（8M）中，要求事件A与

B必须满足的条件是（）

A、O<P（A）<1,B为任意随机事件

B、A与B为互不相容事件

C、A与B为对立事件

D、A与B为相互独立事件

标准答案：A

知识点解析：由于4U彳=H,AA=0,故B=QB=（儿UA）B=ABU彳B,

P（B）=P（4BU而）=P（4B）+P（AB）=P（A）P（B|A）+。（才）尸（彳），故选A。

二、填空题（本题共10题，每题1.0分，共10分。）

LL1

17、设A,B是两个随机事件，且P(A)=4,P(BIA)=*123,P(AIB)=2,则.

1_

标准答案：3

111

知识点解析：根据乘法公式P(AB)=P(A)P(BIA)=43-12,P(B)=

1

尸(皿-i

P(4\B)-16

2o根据减法公式，有

P(AB)=P(B)-P(AB)；

o1Z1Z

P(AB)=P(A)-P(AB)=[1-P(4)]-P(AB)=(1_L)-上=入

1

18、设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为9,A发生B不发生的概率

与B发生A不发生的概率相等，则P(A尸o

2_

标准答案：

知识点解析：蝉设，有P"M=*'Pd)_=由于A和B相互独

立，所以勺与瓦屋亨B也相互独立，于是由0(而):夕(彳8),有

P(A)P(B)=P(A)P⑻，即p(A)[i—p(B)]=[l—P(A)]P⑻,可得P(A尸P(B)。

P(AB)=P(彳)P(万)=1=J，且代力)Wl,绍犷

从叩9解得P(A)二

2_

7

0

£

19、在区间(0,1)中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于2的概率为

2

标准答案：z

知识点解析：这是一个几何概型，设x,y为所取的两个数，则样本空间C={(x,

1

y)I0<x,y<l),记八={仪，y)I(x,y皿Ix—yI<2}<>所以P(A尸

3_

S443

S〃14,其中SA，Sc分别表示A与C的面积。

20、10个同规格的零件中混入3个次品，现在进行逐个检查，则查完5个零件时

正好查出3个次品的概率为。

1

标准答案：20

知识点解析：记人=”查完5个零件正好查出3个次品”，现要求的是P(A)的值。事

实上，事件A由两个事件合成：B廿前4次检查，查出2个次品”和C=”第5次检

查,查出的零件为次品”,即人斗。由乘法公式P(A)=P(BC)=P(B)P(CIB),事件

c：-C：3

B是前4次检查中有2个止品2个次品所组合，所以P(B)=Cio10o已知事

件B发生的条件下，即己检查了2正2次，剩下6个零件，其中5正1次，再要抽

1二

检一个恰是次品的概率P(ClB)=6.故P(A尸而•不二药。

21、将一枚硬币重复掷五次，则正、反面都至少出现两次的概率为

5

标准答案：8

知识点解析：该试验为独立重复试验序列概型，记人="正、反面都至少出现两

X~B(5—)

次”，X为将硬币投掷五次正面出现的次数，则''2，，而Y=5—X为5次

投掷中反面出现的次数，那么A={2WXW5,2<Y<5)={2<X<5,2<5—X<5}

={2<X<5,0<X<3}={X=2}U{X=3),所以P(A尸P{X=2}+P{X=3}=

c心。塌(94

22、如果用X,Y,分别表示将一枚硬币连掷8次正反面出现的次数，则t的一元

二次方程t2+Xt+Y=0有重根的概率是。

35

标准答案：商

知识点解析：根据题意可得，“方程t2+Xi+Y=0有重根'，=»2-Y=0"Q'

i

“X2=4Y",其中X~-B(8,2),y=8—X,所求的概率为P{x2=4Y}=P{x2=4(8—

)M

X)}=P{X~+4X—32=0}=P((X+8)(X—4)=0)=P{X=4)='27128

23、已知事件A、B仅发生一个的概率为0.3,且P(A)+P(B)=0.5,则A,B至

少有一个不发生的概率为_______。

标准答案：0.9__

知识W解由题设玖4万U八)=o.3,又4万与彳8互斥，所以

P(ABUAB)=P(AB)+P(48)=P(A)+P(B)—2P(AB)=0.3。P(A)+P(B)=0.5,

于是解得P(AB)=0.1,所以所求的概率为P(彳U万)=P(AB)=1_p(AB)=]_

0.1=0.9o

24、三个箱子，第一个箱子中有4个黑球与1个白球，第二个箱中有3个黑球和3

个白球，第三个箱子中有3个黑球与5个白球。现随机地选取一个箱子，从中任取

1个球，则这个球为白球的概率是；若已发现取出的这个球是白球，则它

不是取自第二个箱子的概率是。

5333

标准答案：120;53

知识点解析：设事件Ai="受到第i箱"，i=l,2,3,B="取到白球”，则第一个空应

为P(B),第二个空应为「(月।8)。显然A】，A2,A3是一完备事件组，由题意可

±1±A

528

得P(Ai)=3,i=i,2,3,P(BIAi)=,P(BIA2)=,P(BIA3)=o根据全概

率公式和贝叶斯公式，可得

++=

尸⑻=£P(4)P0"=y(TT1)S*

P(A2)P(B\A2)1\1202()

P(A\B)・，・.，・・，・・，,・■,■■■■—・一，・—II—•—•...............二■,,

2P(B)-325353

一

P(A2\B)=1-P(A21B)=go

25、设T厂A和T厂R的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A和B的产品

分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属A厂生

产的概率是o

3_

标准答案：不

知识点解析：设事件A二｛抽到的产品为工厂A生产的｝,事件B=｛抽到的产品为工

厂B生产的｝,事件C二(抽到的产品是次品｝,则P(A)=0.6,P(B)=0.4,P(CI

A)=0.01,P(CIB)=0.02,根据贝叶斯公式可知

6AIr、PJC)一。⑷・P(C|A)

=l\cT-P(4)P(CM)+P(8)P(C|8)

0.6x0.01=3_

=0.6x0.014-0.4x0.02~70

26、假设盒内有10件产品，其正品数为0,1,…，10个是等可能的，今向盒内放

入一件正品，然后从盒内随机取出一件产品发现它是正品，则原来盒内有7件正品

的概率a=o

£

标准答案：33

知识点解析：设事件仆-“盒内原有i件正品"，i=0,1,…，10；事件B="取出的

1

产品是正品”,所以Ao,Ai，Aio构成一个完备事件组,依题意有P(Ai)=",

P(BIAj)=11,i=0,I,...»10o所求概率P(A7IB)可直接应用贝叶斯公式

P(4)P(8|4)

*To1Vi+1-33

2P(4)p⑻4)

a=P(A?IB)=^o正4丁。或先应用全概率公式求出

P(B)J1,再根据条件概率定义计算出P(A7IB)o

三、解答题(本题共5题，每题分，共5分。)

27、袋中有a个白球与b个黑球。每次从袋中任取一个球，取出的球不再放回去，

求第二次取出的球与第一次取出的球颜色相同的概率。

标准答案：设事件Ai表示第一次取出的是白球，事件A2表示第二次取出的也是

白球，事件B]表示第一次取出的是黑球，事件B2表示第二次取出的也是黑球。如

果两次取出的球颜色相同，则用A1A2+B1B2表示。不放回抽取属于条件概率，

aa-1

a

P(Ai)=a+6,P(A2IAi)=+6T,即P(AIA2)=P(AI)P(A2IAi)=

a.a-1_a(a_1)_____bb-1

a+6a+6-1(a+6)(a+6-l)„P(B1)=a+P(B2IBI)=a+6-1

b.b-1_____b(b_1)____

即P(B[B2)=P(B])P(B2IBi)=@+60+6-1(a+b)(a+6-1)o根据概率

运算的加法原理，有P(AiA2+BJB2)=P(A1A2)+P(BIB2)

_a(a_1)________b(b-1)____

(a+6)(a+b-1)+(a+6)(a+h-I)

a(a-l)+6(6-1)

(a+b)(a+b-1)

知识点解析：暂无解析

28、甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内

到达的时刻是等可能的。如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小

时，求它们中的任何一艘都不需要等候码头空出的概率。

标准答案：图3-1-5设甲、乙两艘船到达的时间分别

为x,y,并把(x,y)视为直角坐标系里的一个点的坐标，则x,y,满足条