2026届北京市房山区高三第一次综合练习数学试卷

2026届北京市房山区高三第一次综合练习数学试卷一、单选题1.已知集合，则集合（）

A．B．C．D．2.若复数满足，则（）

A．B．C．D．3.的二项展开式中的一项是（）

A．B．C．D．4.若直线是圆的一条对称轴，则实数（）

A．B．C．D．5.若是以为公差的等差数列，，则等差数列的公差为（）

A．B．C．D．6.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则（）

A．B．C．D．7.设是两个不同的平面，是三条不同的直线，，，，则“”是“或”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8.年我国新能源汽车产量突破万辆．某车企研发了一款新型电池，使用年后的容量为，其中为常数．已知该电池使用年后容量衰减为初始时容量的．若要保证电池容量不低于初始容量的，则该电池最长可使用约（）（参考数据：，）

A．年B．年C．年D．年9.设，函数则（）

A．是偶函数，且有最大值B．是偶函数，且没有最大值C．是奇函数，且有最大值D．是奇函数，且没有最大值10.已知平面直角坐标系中，，，，则的取值范围是（）

A．B．C．D．二、填空题11.双曲线的离心率为__________．12.在平面直角坐标系中，角以为始边，终边过点，则____；将点绕着原点逆时针旋转得到点，则点的纵坐标为____．13.人工智能在社会生活中的应用越来越广泛，某AI科技公司开发了一套人机交互软件，它会针对用户输入的问题从数据库中自动检索并生成答案．统计表明，当输入的问题无语法错误时，软件生成正确答案的概率为；当输入的问题存在语法错误时，软件生成正确答案的概率为，且每次生成答案相互独立．已知某用户每次输入的问题无语法错误的概率为，估计对于该用户此软件生成正确答案的概率为____．14.设函数，若在区间上有且只有一条对称轴，则的一个取值为____．15.如图，在正方体中，，点满足，为的中点，给出下列四个结论：①若，则点的轨迹的长度为；②若，则点的轨迹的长度为；③若，则的最小值为；④若，则的最小值为.其中正确结论的序号是____．三、解答题16.已知函数．(1)求的最小正周期和值域；(2)设中，，，，求的面积．17.如图，在五面体中，为正方形，为矩形，，．(1)求证：∥平面；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使五面体存在且唯一确定．求直线与平面所成角的正弦值．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18.消费者信心指数是反映消费者信心强弱的指标．某市为了解消费者对于当前经济生活的评价以及对未来一段时期经济前景的预期,在全市范围内抽取名城乡居民进行调查,并运用数学方法对调查数据进行量化处理,编制成消费者信心指数．该市年各季度消费者信心指数数据如下：

第一季度第二季度第三季度第四季度2023年消费者信心指数115.1114.6109.0108.42024年消费者信心指数108.4105.995.594.72025年消费者信心指数99.195.395.8103.3消费者信心指数越大，表明消费者信心越强．信心指数时，消费者信心处于弱信心区间，信心指数时，消费者信心处于强信心区间．假设每个季度消费者信心指数相互独立．用频率估计概率．(1)从上述个季度中随机抽取个季度，估计该季度消费者信心处于强信心区间的概率；(2)从2024年和2025年各随机抽取1个季度，记这2个季度中消费者信心处于强信心区间的个数为，求的分布列和数学期望；(3)2025年3月国家发布《提振消费专项行动方案》．记2025年第季度消费者信心指数较上一季度的增长率为．据估计：2026年第一季度消费者信心指数较上一季度的增长率约等于中的最大值，写出2026年第一季度消费者信心指数的估计值．（结论不要求证明）19.已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，分别讨论函数与在上的单调性；(3)证明：当时，．20.已知椭圆：的离心率为，分别是的上、下顶点，分别是的左、右顶点，且．设为椭圆上的动点，过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．(1)求椭圆的方程；(2)求证：直线与的夹角为定值．21.已知数列：，，若集合，则称数列为数列的一个置换．(1)求数列：的任意置换的前项和的最大值；(2)已知数列：．写出的一个置换，使得该置换的前项的和满足：存在，．对任意