八年级数学上册《14.3.1 提公因式法》导学案

八年级数学上册《14.3.1提公因式法》导学案

一、课题基本信息

（一）课题名称：提公因式法

（二）年级学段：八年级数学上册

（三）教材版本：人教版

（四）课时安排：1课时

（五）课型：新授课

（六）授课对象：八年级学生

（七）设计理念：以核心素养为导向，立足学生已有认知经验，通过问题驱动、自主探究与合作交流，实现从整式乘法到因式分解的自然过渡，在具体操作中抽象出提公因式法的通法，渗透化归、整体与符号变换等数学思想。

二、教学目标

基于《义务教育数学课程标准（2022年版）》第四学段（7~9年级）内容要求与学业质量标准，确立指向数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象核心素养的四维融合式教学目标：

1.理解因式分解的意义，能准确辨析因式分解与整式乘法的互逆关系；掌握公因式的概念，能熟练找出单项式与多项式情形下的公因式；掌握提公因式法的操作步骤，能规范、准确地运用提公因式法对不超过三项的多项式进行因式分解。【基础】【高频考点】

2.经历观察、类比、归纳、纠错等数学活动，体会从特殊到一般、化未知为已知的化归思想以及整体思想，在符号变换处理中发展代数变形能力与逻辑推理的严谨性。【重要】

3.通过小组合作与分层练习，在纠错与互评中养成批判性思维习惯；借助提公因式法简化计算与求值，感受数学的简洁美与应用价值，增强学习自信心。【基础】

三、教学重难点

1.教学重点：公因式的准确确定；提公因式法分解因式的程序化步骤。【重要】【高频考点】

2.教学难点：公因式为多项式时的整体提取策略；因式互为相反数时的符号转化；提公因式后括号内各项符号的确定及“1”的保留。【难点】【非常重要】

四、教学方法与策略

1.教法：采用“情境—问题—探究—应用”的启发式教学模式，以核心问题链驱动思维进阶，借助动态课件直观展示公因式的“提取”过程，将抽象规则形象化。

2.学法：引导学生运用“观察—归纳—模仿—变式”的学习路径，在独立思考和小组协作中建构知识，通过导学案中的“脚手架”问题实现渐进式达标。

3.教学手段：交互式课件、实物投影仪、彩色粉笔（用于标注公因式）、分层导学案。

五、教学准备

1.教师准备：编制导学案，制作PPT（内含面积情境、辨析题组、例题变式、分层练习），预设学生典型错例，设计小组合作分工表。

2.学生准备：复习整式乘法及乘法分配律，预习教材第114~115页，尝试完成导学案“课前热身”部分。

六、教学实施过程

（一）环节一：情境铺陈，概念初感（预计5分钟）

1.生活情境激活经验

教师活动：多媒体展示某校劳动实践基地平面图——长方形种植区，原长a米，宽b米，现扩建方案为：长增加c米，宽不变。请学生用两种方法表示扩建后的总面积。学生迅速列出算式：ab+ac与a(b+c)。教师顺势点明：将多项式ab+ac写成a(b+c)的形式，是整式乘法的逆向变形，数学上称之为因式分解。

学生活动：独立列式，感受同一数量关系的两种表征形式，初步体会因式分解的等价性与简洁性。

设计意图：从面积计算这一几何背景切入，使抽象的因式分解概念获得直观支撑，降低认知负荷。【基础】

2.概念辨析与本质揭示

教师活动：呈现两组等式——①a(b+c)=ab+ac；②ab+ac=a(b+c)。引导学生从左到右、从右到左两个方向观察形式变化。学生通过对比自主发现：①是整式乘法，②是因式分解。教师板书因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式。强调三个关键点——对象是多项式，结果是积的形式，变形前后恒等。

学生活动：同桌互述定义关键词，举例说明自己理解的因式分解。

教师活动：随即出示辨析题——（1）x²-4=(x+2)(x-2)；（2）(x+1)(x-1)=x²-1；（3）x²+2x+1=x(x+2)+1；（4）2πR+2πr=2π(R+r)。学生逐题判断并说明理由。针对错误率较高的（3），教师强调：右边x(x+2)+1是和的形式，不是积，因此不属于因式分解。通过对比例题，使学生清晰界定因式分解与整式乘法的互逆关系，同时排除“局部乘积”的干扰。【重要】

设计意图：在正反例的冲突与辨析中，精准锚定概念的内涵与外延，避免后续学习中方向性错误。

（二）环节二：渐进抽象，建构通法（预计18分钟）

1.公因式的发现与定义【非常重要】【高频考点】

教师活动：依次呈现多项式组——ma+mb，4x²y+6xy²，3a(x-y)+2b(x-y)。要求学生观察每个多项式各项的结构特征，圈出共同含有的因式。以ma+mb为例，学生指出两项均含有m；教师板书公因式定义：多项式各项都含有的公共因式。

教师追问：4x²y+6xy²的公因式是什么？你是如何找到的？学生小组讨论后汇报：系数4和6的最大公约数是2，相同字母x和y，x的最低次幂是1，y的最低次幂是1，所以公因式是2xy。教师板书找公因式的三要素——系数取最大公约数，字母取相同字母，指数取最低次幂。

教师继续追问：3a(x-y)+2b(x-y)的公因式呢？学生陷入沉思，部分学生答“无公因式”，另一部分学生敏锐发现(x-y)是公共部分。教师顺势引出“整体思想”：当多项式含有相同因式时，可将这个因式视为一个整体，它就是公因式。

学生活动：在导学案上完成“找公因式”专项训练——（1）3x²-6x；（2）4m³n²-6m²n³；（3）-8a²b³+12a³b²；（4）5x(a-b)+6y(a-b）。小组交叉批改，教师展示典型错例，如第（3）题公因式漏写负号，第（4）题公因式误写为(a-b)但未考虑系数。针对首项为负的情形，教师强调：当多项式第一项系数为负时，通常提出负公因式，使括号内首项为正，这是后续符号处理的关键。【重要】【高频易错】

设计意图：通过三个递进层次的例子，从数字系数到单一字母再到多项式整体，完整建构公因式的确定策略，渗透分类思想与整体思想。

2.提公因式法的程序建构【基础】【高频考点】

教师活动：以多项式8a³b²+12ab³c为例，完整板演提公因式法的三步骤——

（1）找：公因式为4ab²；

（2）提：8a³b²÷4ab²=2a²，12ab³c÷4ab²=3bc；

（3）写：原式=4ab²(2a²+3bc)。

教师边写边强调每一步的变形依据——乘法分配律的逆用，并要求学生在导学案上标注对应步骤名称。

学生活动：模仿教师，独立完成多项式-4x³+6x²-2x的分解。教师巡视，捕捉三类典型错误——错误A：公因式只提2x，未提尽；错误B：提-2x后括号内写为(-2x²+3x-1)，符号混乱；错误C：最后一项提后漏写1，写为-2x(2x²-3x)。教师将错例通过实物投影展示，组织学生“找茬”并纠正。

师生共同归纳易错点三则：

（1）公因式要提尽——系数取最大公约数，字母取最低次幂，缺一不可。【非常重要】

（2）提公因式后括号内项数与原多项式项数相等——当某项与公因式完全相同时，提后该项为1，切不可省略。【非常重要】【高频易错】

（3）首项为负时，优先提出负公因式，括号内各项变号。【重要】

教师进一步追问：为什么提公因式后括号内项数不能减少？引导学生从乘法分配律的逆用角度理解：若漏项，则乘积展开后与原多项式不相等，失去恒等变形的意义。

设计意图：在模仿、试误、纠错的完整认知循环中，将程序性知识内化为规范操作，通过高频易错点的集中爆破，有效预防后续练习中的常见错误。

（三）环节三：例题精析，变式进阶（预计15分钟）

1.例1——基础保分，规范格式

（1）2x²-4x

（2）9m²n-3mn²

（3）-6a²b+4ab²-2ab

教师活动：第（1）题师生同步完成，教师板演并标注公因式2x的寻找过程。第（2）题指名口答，要求说出公因式3mn，并完整叙述分解结果3mn(3m-n)。第（3）题学生独立书写，教师行间巡视，刻意收集漏写“1”的错例。展示错解：-6a²b+4ab²-2ab=-2ab(3a-2b)。教师追问：等式左右是否相等？引导学生用乘法分配律展开右边：-2ab×3a=-6a²b，-2ab×(-2b)=4ab²，但缺少-2ab×1=-2ab项，因此右边不等于左边。正确应为-2ab(3a-2b+1)。教师再次强调：提公因式后括号内一定要补上“1”这个项。【非常重要】

设计意图：以最基础的题型夯实三步流程，重点攻克“漏1”顽疾。

2.例2——能力进阶，整体与符号

（1）a(x-3)+2b(x-3)

（2）6m(m-n)²-3n(n-m)

教师活动：第（1）题引导学生将(x-3)视为整体，公因式即为(x-3)。提公因式后另一因式为(a+2b)，得(x-3)(a+2b)。教师强调：整体提取时，公因式可以是多项式，括号不必展开。

第（2）题学生普遍感到困难。教师设问串引领思考——

观察(m-n)²与(n-m)，底数不同，能否转化为相同底数？

(n-m)与(m-n)是什么关系？——互为相反数。

如何转化？——提取负号：n-m=-(m-n)。

那么(n-m)²呢？——负数的偶次幂为正，所以(n-m)²=(m-n)²。

学生顿悟：原式=6m(m-n)²-3n[-(m-n)]=6m(m-n)²+3n(m-n)。此时公因式清晰可见：3(m-n)。分解得3(m-n)[2m(m-n)+n]=3(m-n)(2m²-2mn+n)。

教师补充：符号转化的本质是“添括号与提负号”的逆向运用，是代数变形的核心技能之一。【难点】【非常重要】

学生活动：在导学案上重写本题完整过程，并尝试总结符号转化口诀——“遇相反，提负号，偶次方，正来到”。

设计意图：突破本节课的最大难点，使学生掌握公因式为多项式及符号不同时的系统化处理策略。

3.例3——综合应用，简化计算与求值

（1）计算：13.8×0.125+86.2×1/8

（2）已知a+b=5，ab=3，求a²b+ab²的值。

教师活动：第（1）题引导学生将1/8化为小数0.125，则原式=0.125×(13.8+86.2)=0.125×100=12.5。教师指出：提公因式法不仅可以对整式进行恒等变形，也可用于简化有理数计算，其本质是逆用分配律。【热点】

第（2）题学生独立思考后尝试：a²b+ab²=ab(a+b)，整体代入得3×5=15。教师追问：若题目改为a-b=2，ab=3，求a²b-ab²的值？学生类比得到ab(a-b)=3×2=6。教师总结：提公因式是实现“整体代入”的关键步骤，是代数式求值的重要技巧。【高频考点】

设计意图：跳出单纯分解的框架，让学生感受因式分解作为运算工具的迁移价值，提升综合应用能力。

（四）环节四：分层练习，精准反馈（预计12分钟）

本环节采用题组分层、组内互评、教师集中纠错的形式。

A层：基础巩固——全体必做

1.找出公因式：

（1）3x²-6xy（2）4m³n²-6m²n³（3）-8a²b³+12a³b²

教师活动：针对第（3）题，指名回答公因式-4a²b²，追问为何不提4a²b²？学生回答：首项为负，提负公因式可使括号内首项为正。教师肯定并强调这是约定俗成的规范。

2.分解因式：

（1）8x³y²-12x²y³（2）-15a²b+25ab²-5ab

教师巡视，重点关注学困生是否出现系数未取最大公约数、漏项等问题。随机抽取两名学生板演，集体订正。

B层：能力提升——选做，鼓励中等及以上学生挑战

3.分解因式：

（1）(2a+b)(2a-3b)-3a(2a+b)

教师点拨：公因式是(2a+b)，另一因式为[(2a-3b)-3a]=-a-3b=-(a+3b)，故原式=(2a+b)(-a-3b)=-(2a+b)(a+3b)。此处渗透“提出负号”的优化处理。

（2）4q(1-p)³+2(p-1)²

学生独立思考，部分学生发现(p-1)²=(1-p)²，但(1-p)³与(1-p)²指数不同，公因式为2(1-p)²。原式=2(1-p)²[2q(1-p)+1]=2(1-p)²(2q-2qp+1)。教师提醒：括号内能合并同类项的需合并，保持最简形式。

4.先分解因式，再求值：4x²(m-2)-3x(m-2)，其中x=1.5，m=6。

学生独立完成：原式=(m-2)(4x²-3x)=x(m-2)(4x-3)，代入得1.5×4×(6-3)=1.5×4×3=18。教师追问：若不分解直接代入，计算量有何不同？学生体会因式分解的简化价值。

C层：拓展挑战——供学有余力者探究

5.已知x³+x²+x+1=0，求x^2023+x^2022+⋯+x+1的值。

教师提示：从最高次幂开始，每四项一组，如x^2023+x^2022+x^2021+x^2020=x^2020(x³+x²+x+1)=0，以此类推。学生小组研讨，发现2024项恰好分为506组，每组均为0，故原式=0。教师点评：本题将提公因式与整体代换、分组思想深度融合，是思维进阶的良好载体。

设计意图：分层练习确保“保底不封顶”，A层人人过关，B层思维爬坡，C层激活潜质。教师通过巡视与集中点评，即时收集学情，为课后辅导提供精准依据。

（五）环节五：拓展延伸，思想凝练（预计5分钟）

1.数学思想方法显性化

教师活动：引导学生回望本节课的探究历程，提炼蕴含其中的数学思想。

学生回答预设：从面积情境到代数表达——抽象思想；从整式乘法到因式分解——逆向思维与化归思想；将(x-y)视为整体——整体思想；将(n-m)转化为-(m-n)——符号变换思想。

教师顺势板书思想关键词，并请学生各自选择一个思想，结合课堂实例进行30秒即兴解说。

设计意图：将隐性思想显性化，促使学生从“解题”走向“悟理”，实现深度学习。【重要】

2.知识关联前瞻

教师活动：出示多项式am+an+bm+bn，提问：“这个多项式有四项，它们有公因式吗？能否通过某种策略创造出公因式？”学生小组尝试，很快发现：(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)。教师指出：这就是下一课时“分组分解法”的雏形——先局部提公因式，再整体提公因式。因式分解的各种方法并非孤岛，提公因式法是贯穿始终的基本功。

学生活动：在导学案“思维留白”区写下自己对分组分解法的初步理解与疑问。

设计意图：搭建新旧知识的桥梁，激发连续学习的动机，同时再次凸显提公因式法的基础性地位。

（六）环节六：课堂小结，自我监控（预计3分钟）

1.知识网络构建

教师以问题链驱动回顾——

（1）今天学习了哪种因式分解的方法？它的操作步骤是什么？

（2）确定公因式要考虑哪几个维度？

（3）处理公因式为多项式时，最关键的一步是什么？

（4）本节课你遇到的最大困难是什么？是如何克服的？

学生独立思考后，同桌互述，推荐两名学生全班交流。教师根据学生回答，完善板书中的知识结构图。

2.易错点再强化

教师再次呈现三个典型错例（提不尽、漏1、符号错），学生集体口答纠正。教师语速放缓，强调：“提公因式法是因式分解的‘第一法’，规范决定成败，细节决定对错。”

3.自我评价与反思

学生完成导学案末端的“课堂学习自我评估表”，从知识掌握、方法领悟、参与状态、困惑留存四个维度进行星级自评。教师课后回收导学案，针对共性问题设计跟进练习。

七、板书设计

（主板书区域，分三栏布局）

左栏（核心知识）：

·因式分解：多项式→整式积

·公因式：各项公共因式

·找公因式：系数（最大公约数）字母（相同）指数（最低）

·提公因式法：一找二提三写

中栏（例题示范）：

例1（3）规范解：

-6a²b+4ab²-2ab

=-2ab·3a+(-2ab)·(-2b)+(-2ab)·1

=-2ab(3a-2b+1)

（用红粉笔圈出“+1”）

右栏（易错警示）：

⚠️公因式提不尽

⚠️提后漏写“1”

⚠️首负不提前

⚠️符号随意改

（副板书区域保留学生错例及纠错痕迹）

八、作业布置

1.必做题（巩固双基）：教材P115练习第1题（4个小题）、第2题（3个小题）；P118习题14.3第1题、第4题。

要求：书写规范，公因式用横线标出，提交至学习小组长检查。

2.选做题（思维进阶）：分解因式（x-y）²+y