乘除互逆·模型建构-小学二年级数学上册“用表内乘除法解决实际问题”高峰课例教案

乘除互逆·模型建构——小学二年级数学上册“用表内乘除法解决实际问题”高峰课例教案

一、教学内容解析

（一）课标定位与内容坐标

本课隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》第一学段“数与代数”领域，是“表内乘除法”单元的收官课与综合应用课。其课程坐标位于“乘法意义的初步建立”与“除法意义的初步理解”之后，是在学生已经掌握1~6的乘法口诀、能够用口诀求商、并能解决单一结构的乘或除实际问题的基础上，首次系统地将乘法与除法置于同一情境中进行对比、关联与模型建构。本课承担着从“运算技能”向“问题解决能力”跃升的关键枢纽功能，是学生从“学会算”走向“学会想”的认知转折点，更是后续学习“倍的认识”“多位数乘除法”“归一归总问题”的核心基石。【核心素养·关键能力】

（二）知识图谱与逻辑内核

本课时的知识内核并非孤立的新授运算，而是“乘除法模型的正向应用与逆向贯通”。具体包含三大支柱：

1.乘法模型的正向应用：已知每份数和份数，求总数。这是乘法意义的直接迁移，对应“几个几”的加法结构。【基础·全体必达】

2.除法模型的两种原型：一是“等分除”——已知总数和份数，求每份数；二是“包含除”——已知总数和每份数，求份数。两种分法统归于“平均分”，是除法意义的双向延伸。【重要·思维内核】

3.乘除互逆关系的可视化表征：通过直条图、线段图、实物图等多元表征，揭示“每份数×份数=总数”与“总数÷份数=每份数”“总数÷每份数=份数”之间的互逆逻辑，形成结构化的数量关系网络。【难点·思维进阶】

（三）核心素养进阶路径

本课着力发展的核心素养并非单一维度的运算能力，而是复合型的“模型意识”与“推理意识”。学生在真实问题情境中，经历“提取信息—分析关系—选择模型—列式解答—检验反思”的全流程，完成从“具体情境”到“数学符号”的抽象建模；通过乘法与除法、等分与包含的对比辨析，感悟“已知与未知”在乘除互逆中的转化关系，初步形成可逆思维与辩证逻辑。同时，在画图策略的系统训练中，几何直观成为破解数量关系的有力工具。【高频考点·难点剖析】

二、学情实证研判

（一）前概念激活与认知断层

二年级学生经过本单元前期的学习，已能熟练背诵1~6的乘法口诀，能够完成表内乘法（如4×6=24）和表内除法（如24÷6=4）的口算，并能解决诸如“每行4人，6行共几人”或“24人平均排6行，每行几人”的单一情境问题。然而，深层次的学情探查显示：学生对于“什么时候用乘法、什么时候用除法”往往停留在关键词匹配的浅层水平，如见到“一共”就用乘法，见到“平均分”就用除法；当乘法与除法问题以“对比组”形式同时呈现时，相当比例的学生难以清晰阐述“为什么这道题用乘法而那道题用除法”的本质区别。更核心的认知断层在于：绝大多数学生尚未建立起“一道乘法算式可以推导出两道除法算式”的结构性关联，更遑论在实际问题解决中主动调用这种互逆关系进行检验与纠错。【重要·学情基线】

（二）思维特征与学习风格

二年级学生以具体形象思维为主，抽象逻辑思维尚处于萌芽期。他们对具象的实物、生动的画面、可操作的学具具有高度依赖性，对纯文字的应用题表述容易产生信息提取障碍。同时，该学段学生具有强烈的表现欲与游戏化偏好，在“玩中学、做中悟”的情境中思维最为活跃。基于此，本课的教学设计必须规避“纯文字应用题刷题”的传统模式，转而构建“沉浸式生活场景—可视化思维支架—结构化对比冲突”的认知路径。

（三）差异化教学策略

基于前测数据的精准研判，本课实施三层差异化支架：对于思维水平尚处“直观操作期”的学生，提供实物图或圆片学具，支持其通过“摆一摆”“圈一圈”外显思维过程；对于处于“半直观半抽象期”的学生，重点训练“直条图”画法，以图形作为思维中介完成情境向算式的过渡；对于已经具备初步抽象能力的学生，则引导其直接分析数量关系，并尝试自编互逆问题，向元认知与创造性思维进阶。【热点·分层教学】

三、目标分层叙写

（一）知识技能目标

1.能够根据具体情境中的数量关系，准确区分“求总数”用乘法、“求每份数或份数”用除法，并正确列式解答。【基础·全体必达】

2.掌握用乘法口诀计算表内乘法和除法的技能，达到每分钟6~8题的正确运算速度。【基础·技能过关】

3.能借助画图（直条图、圆圈图）分析乘除法实际问题，并清晰解释图中各部分与算式中各数的对应关系。【重要·思维工具】

（二）过程方法目标

4.经历“同一情境、两类问题”的对比探究过程，在“变与不变”的辨析中发现乘除法的互逆关系，初步建构“总数、每份数、份数”的三量模型。【核心·模型意识】

5.通过“根据乘法算式编除法问题”的逆向思维活动，体验已知条件与未知问题的角色转换，发展可逆推理能力。【难点·思维进阶】

（三）情感态度目标

6.在解决“班级生活”“校园活动”等真实问题的过程中，感受数学的实用价值，增强“用数学眼光观察生活”的意识。【热点·跨学科融合】

7.在小组合作画图、互评互改的活动中，养成倾听、质疑、反思的理性精神，体验合作探究的成就感。【隐性目标·社会情感】

（四）科学思维目标

8.模型思想：经历“生活情境—图形表征—算式符号”的完整建模过程，理解乘除法算式是对一类具有“相同结构”的数量关系的抽象表达。

9.推理意识：能够依据“每份数、份数、总数”中任意两个量，推理出第三个量，并清晰阐述推理依据。

（五）元认知目标

在课堂小结环节，引导学生回顾“我们是怎样区分乘法与除法的”“画图对我们解题有什么帮助”，初步形成对自己解题策略的反思与优化意识。

四、教学实施过程

（一）启动阶段：真实问题场域激活

上课伊始，教师并未直接出示课题，而是以“班级阳光超市筹备会”为情境锚点，引发真实任务驱动。

师：同学们，咱们班的“阳光超市”下周一就要试营业啦！班委们遇到了几个数学难题，想请大家帮忙当“数学顾问”。请看大屏幕——

屏幕呈现核心情境图：货架上有同款卡通水杯，标签显示“单价5元”；收银台旁有一张购物小票，上面写着“3个水杯，一共？元”；另一张小票模糊不清，只能看清“15元，买了？个水杯”；还有一张写着“15元买了3个水杯，每个？元”。

师：从这三张小票的信息里，你发现了什么数学问题？你能帮班委把模糊的小票补充完整吗？

学生瞬间被代入真实问题情境，自发提取信息：水杯每个5元；有人买了3个，不知道花了多少钱；有人花了15元，不知道买了几个；还有人买了3个花了15元，不知道单价。

此环节的核心意图并非直接列式，而是让学生充分“说数学”——用自己的语言复述情境，将文字信息转化为头脑中的画面。教师在此阶段不做对错评判，只做信息梳理，将学生提出的零散问题板书为三个核心问句，为后续对比探究埋下伏笔。【基础·信息提取】

（二）并行探究阶段：双模问题同时建模

本环节颠覆“先讲乘法、再讲除法”的线性模式，将三个问题同时呈现，要求每个学生独立尝试解决，并完成两项核心任务：一是列出算式并计算；二是在练习纸上画图，用图形表示出你对这个问题的理解。

学生独立探究约6分钟。教师巡视，刻意收集三类典型作品：

第一类：纯算式类。学生直接写出5×3=15、15÷5=3、15÷3=5，但没有任何图示。

第二类：实物图类。学生画了15个圆圈，每5个圈一起得到3份；或将15个圆圈平均分成3份，每份画5个。

第三类：直条图类。这是本课重点培育的高阶表征方式。学生画一个长条，标上“15元”，下面分成3个相等的小格，每格标“？元”；或画一个长条标“15元”，下面按每格5元画出3格，每格标“1个”。

教师精选三类作品投影展示，但暂不评价优劣，而是邀请作者依次上台，只说“我是怎么想的”，不说“谁对谁错”。【重要·思维可视化】

当第一位仅列算式的同学汇报时，教师追问：“你写的5×3=15，这里的5和3分别指的是图里的什么？15又是指什么？”学生需要回到情境中指认。若学生指认不清，则借助同伴补充，迫使纯算式思维者意识到：算式是结果，关系才是灵魂。

当第二位画实物圆圈图的同学汇报时，教师引导全班观察：第一题和第二题、第三题的圈法有什么不同？学生自然发现：第一题是“3个5”合起来，圈的时候是每组5个圈3组；第二题是“15里面有几个5”，圈的时候是每5个圈一圈；第三题是“把15平均分成3份”，圈的时候是3份每份一样多。圈法不同，算式就不同。

当第三位画直条图的同学汇报时，教师应予以高度肯定，并将直条图确立为本课的标准思维工具，板书示范规范画法：先画一个长方形表示总数，在上面标总数；再用竖线平均分，份数写在下面，每份数写在格内。并规范术语：“总数”“份数”“每份数”。【难点·突破】

至此，三道算式全部浮出水面：

5×3=15（元）

15÷5=3（个）

15÷3=5（元）

教师带领学生逐题指认：每一道算式里的三个数，分别对应情境中的哪个量？为什么第一题用乘法，第二、三题用除法？

学生概括核心规律：知道每份数和份数，求一共的总数，用乘法；知道总数和每份数，求有几份，用除法；知道总数和份数，求每份是多少，也用除法。除法都是用来求“每份数”或“份数”的。【核心·模型建构】

（三）对比贯通阶段：模型互译与互逆发现

本环节是思维爬坡的制高点。教师出示关键追问：

“请同学们仔细观察黑板上的三道算式。不看题目，只看算式本身，你发现了什么特别的关系？”

学生经过小组讨论，陆续发现：

——这三道算式里的数都一样，都是5、3、15。

——5×3=15，反过来15÷5=3，15÷3=5。

——用乘法算出来的积，到了除法里变成了被除数；乘法里的两个因数，到了除法里一个变成了除数，一个变成了商。

教师顺势揭示“乘除互逆”的核心概念：乘法是把每份数和份数合并成总数；除法是把总数拆回成每份数或份数。乘法和除法就像好朋友，你把我合起来，我把你拆回去。这就是本节课最重要的数学秘密——乘除互逆。【重要·思维内核】

为巩固这一深刻认知，教师立即组织“根据乘法编除法”的专项思维训练。出示：4×6=24。请学生编两道用除法解决的实际问题。

学生编题示例：

——有24个苹果，平均分给6个小朋友，每人分几个？（24÷6=4）

——有24个苹果，每个小朋友分4个，可以分给几个小朋友？（24÷4=6）

教师进一步追问：如果乘法算式是5×5=25，还能编出两道不同的除法题吗？学生意识到：当两个因数相同时，两道除法算式是一样的，只有一道。

这一细微但关键的区别，帮助学生深化了对乘法口诀与除法算式对应关系的精准理解，避免了机械套用。【高频考点·必练】

（四）临床诊断阶段：变式辨析与易错点干预

本环节设计一组具有认知冲突的对比练习，以暴露并修正学生的迷思概念。

题组一：辨析“乘法结构”与“加法结构”

（1）妈妈买了4包糖果，每包6颗，一共多少颗？

（2）妈妈买了4包糖果，一包6颗，一包5颗，一包4颗，一包3颗，一共多少颗？

学生迅速发现：第（1）题每包数量相同，是“几个几”，用乘法4×6=24；第（2）题每包数量不同，是“几和几相加”，只能用加法6+5+4+3=18。

教师总结核心判别标准：乘法必须是“相同加数求和”。若每份不一样多，绝不能用乘法。这一辨析直击“见一共就乘”的顽固错误。【难点·高频错因】

题组二：辨析“等分除”与“包含除”的语言表征

（1）12个苹果，平均放在3个盘子里，每盘放几个？

（2）12个苹果，每个盘子放4个，需要几个盘子？

学生列式均为除法，但教师追问：都是在分苹果，为什么一个用12÷3，一个用12÷4？引导学生回到画图：第一题是“不知道每盘几个”，把总数平均分成3份；第二题是“不知道几个盘子”，按每份4个去分。除号后面的数，有时是份数，有时是每份数，一定要看清问题求的是什么。【基础·易错警示】

题组三：检验策略专项训练

出示学生错例：15元买3个水杯，每个多少钱？列式15÷5=3。

师：这道算式错在哪里？怎么检验？

学生运用乘除互逆关系进行检验：如果每个5元，3个应该是15元，但题目说每个多少钱还不知道，怎么能直接用5去算？正确的检验是：用算出的商5元去乘份数3，得到15元，和总数一致，才说明做对了。

教师提炼检验口诀：乘法算完用除法验，除法算完用乘法验。乘除互逆就是最好的验算工具。【重要·学法指导】

（五）跨学科拓展阶段：项目化微学习

本环节打破学科壁垒，将数学建模能力迁移至体育与综合实践活动。

活动一：体育课中的乘除建模

播放本班学生体育课跳绳视频片段。定格数据：第一组5人，每人跳8下；第二组共跳72下，平均每人跳9下；第三组共跳56下，每人跳7下，求第三组人数。

要求学生现场根据视频信息编题并解答。学生需快速从动态画面中提取“每份数”“份数”“总数”三量，并判断缺失的是哪个量，从而选择乘法或除法。

这一设计将静止的文字应用题转化为动态的真实场景，极大地激活了学生的数感与信息捕捉能力。【热点·跨学科融合】

活动二：美术中的数学画

引导学生用直条图绘制“班级图书角”借阅情况。已知：第一周借出故事书24本，是童话书的4倍（此题为后续课时埋下伏笔，本课仅处理可逆关系）；第二周借出科技书30本，平均分给6个小组。

学生绘制直条图时，必须精确标注“总数”与“每份数”的位置关系，将抽象的倍数关系初步具象化。

活动三：综合实践任务前置

发布课后微项目：“我是采购小达人”。给定虚拟预算60元，提供商品价目表（文具单价3元、6元、5元、4元等），要求设计一份班级奖励采购方案，并写出至少3道用乘法或除法解决的数学问题。

此任务将课堂所学延伸至真实决策情境，学生需要统筹“总价=单价×数量”的乘法模型与“数量=总价÷单价”“单价=总价÷数量”的除法模型，在反复试算中深化对三量互逆关系的理解。【项目化学习·应用迁移】

（六）元认知反思阶段：思维路径复盘

课堂临近尾声，教师摒弃“这节课你学到了什么”的泛化提问，实施结构化复盘：

师：如果把我们今天解决问题的过程画成一张“思维地图”，你觉得第一步做什么？第二步做什么？第三步做什么？

学生回顾、整理、汇报，教师引导形成问题解决的一般流程：

第一步：读题，圈出数字和“每”“平均分”“一共”等关键信息，明确“知道什么”“要求什么”。

第二步：画图，用直条图表示总数、每份数、份数的关系。

第三步：想模型，根据“求总数”还是“求每份数/份数”确定用乘法还是除法。

第四步：列式，用口诀计算。

第五步：检验，用逆运算检查。

师：今天我们在“阳光超市”里发现了乘法和除法是互逆的好朋友。其实，生活中还有很多这样的“好朋友”，比如加法和减法、长度和宽度……数学就是这样，总是在看似不同的知识之间藏着奇妙的联系，等着你去发现。【情感升华·价值引领】

五、板书逻辑图谱

黑板主版面采用“三栏区块”结构：

左侧区为“核心情境图”，以直条图形式呈现15元、3个、5元的三量关系，用红蓝双色箭头标注“总数”“每份数”“份数”。

中区为“算式对比区”，纵向排列：

5×3=15——求总数，用乘法

15÷5=3——求份数，用除法（包含分）

15÷3=5——求每份数，用除法（等分分）

右侧区为“模型抽象区”，书写：

总数=每份数×份数

每份数=总数÷份数

份数=总数÷每份数

底部用双箭头标注“乘除互逆”。整幅板书不呈现一句废话，每一组词条都是学生思维成果的凝练与结构化呈现。【重要·思维外化】

六、作业设计三阶矩阵

【基础类·人人过关】

1.根据乘法算式6×4=24，写出两道除法算式，并编一个实际生活问题。

2.列式解答：学校买来30把扫帚，平均分给6个班级，每班分几把？买来30把扫帚，每班分5把，可以分给几个班？

要求：必须画直条图辅助分析。

【拓展类·思维进阶】

3.辨一辨：下面的问题能不能用除法解决？为什么？

有18颗糖，哥哥吃了5颗，弟弟吃了4颗，还剩几颗？

4.填一填：在□里填合适的数，并说说你是怎样想的。

△×5=20，△=□；30÷○=6，○=□；□÷4=4，□=□。

【挑战类·项目实践】

5.家庭微调研：和爸爸妈妈一起整理本周家庭购物小票，选择其中一件商品，根据小票上的“单价”“数量”“总价”三个信息，编一道乘法问题和两道除法问题，并请家长评价。

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