数字chebyshev滤波器的设计(matlab)

数字Chebyshev滤波器的设计

初始条件：

1.Matlab6.5以上版本软件；

2.课程设计辅导资料：“Matlab语言基础及使用入门"、“信号与系统”、“数字信号处理原理与实现”、

“Matlab及在电子信息课程中的应用”等：

3.先修课程：信号与系统、数字信号处理、Matlab应用实践及信号处理类课程等。

要求完成的主要任务：（包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）

1.课程设计时间：1周；

2.课程设计内容：数字Chebyshev滤波器的设计，具体包括：基本数字Chebyshev滤波器的设计，数

字高通、带通滤波器的设计，以及相关设计方法的应用等：

3.本课程设计统一技术要求：研读辅导资料时应章节，对选定的设计题目进行理论分析，针对具体设

计部分的原理分析、建模、必要的推导和可行性分析，画出程序设计框图，编写程序代码（含注释）,

上机调试运行程序，记录实验结果（含计算结果和图表），并对实验结果进行分析和总结，按要求

进行实验演示和答辩等；

4.课程设计说明书按学校“课程设计工作规范”中的“统一书写格式”撰写，具体包括：

①目录；

②与设计题目相关的理论分析、归纳和总结；

③与设计内容相关的原理分析、建模、推导、可行性分析：

④程序设计框图、程序代码（含注释）、程序运行结果和图表、实验结果分析和总结；

⑤课程设计的心得体会（至少500字）；

⑥参考文献（不少于5篇）：

⑦其它必要内容等。

时间安排：1周（第18周）

附一一具体设计内容：

1.设计一个切比雪夫II型低通谑波器，指标如下：

通带边界频率：c%=O.2;r,通带最大衰减：RP=\dB

阻带截止频率：0s=0.4乃，阻带最小衰减：R$=80dB

2.设计一个高通Chebyshow型数字滤波器，要求达到的指标是：wp=100Hz,ws=80Hz/Fs=300Hz,

rp=ldb,rs=45db.

3.设计一个带通切比雪夫数字涯波器，通带为100Hz〜200Hz,过渡带宽均为50Hz,通带波纹小于ldB.

阻带衰减30Hz,采样频率£=1000Hz。

1设计方法

1.1冲击响应不变法原理(Impulseinvariance)

冲击响应不变法的设计原理是使数字滤波器的单位抽样响应序列h(n),模仿模拟滤

波器的冲击响应g(t)o

设系统传递函数为G(s)的模拟滤波器的单位冲击响应g(t),并将冲击响应g(t)

进行等间隔采样，使得数字漉波器的单位抽样响应h(t)刚好等于g(t)的采样值，即：

力5)=g«)|z=es,=^(r)22<V(r-/?7；)=h(nT)(1-1)

zr=Os

其中Ts为采样周期。

因为G(s)是模拟滤波器的系统传递函数，故他是该系统冲击响应函数g(t)的拉普拉

斯变换；又设H(z)是数字滤波器的系统传递函数，从而可的它是数字滤波器的单位抽样

响应函数h(n)的Z变换。模拟信号的拉普拉斯变换与其采样序列Z变换的关系为：

18

H(z)|“=.£G(S-/C,)

—(1-2)

上式的物理意义为首先将模拟滤波器的系统函数G(S)作周期的延拓，再经过2=//

的映射变换，从而得到数字滤波器的系统函数H(z)o假设s平面上，s在j。轴上取值，z

在Z平面内的单位圆周一"上取值，可以得到数字滤波器的频率响应H=(/"')和模拟滤波

器的频率响应G(0y)间的关系为

双)(1.3)

其中0=QTS

假设模拟滤波器的系统函数G(s)只有单阶极点，且M<N,系统传递函数可以用部

分分式表示：

G(S)=£A

k=ls-s,(1-4)

其拉普拉斯变换脉冲响应g(t)为：

u

g(t)=r^AKe,t'O

1t=i

I0,t<0

对g(t)进行等间隔采样，可以得到数字滤波器的单位取样响应函数h(n)为：

当n20时，h(n)=£4/w；当nVO时，h(n)=O(1-6)

K=\

然后对h(n)进仃Z变换，就nJ以得到数字滤波皆岸的系统传递函数H(z)：

H(z)=£力(〃/"=A£Wz-〃=£A"

曾=oA=I4=1i-ez(I7)

按照冲击响应不变法的原理，通过模拟滤波器的系统传递函数G(s),可以直接球的数

字滤波器的系统函数H(z)

2切比雪夫(chebyshev)滤波器

2.1切比雪夫滤波器简介

切比雪夫滤波器(又译车比雪夫滤波器)是在通带或阻带上频率响应幅度等波纹

波动的滤波器。在通带波动的为“1型切比雪夫滤波器”，在阻带波动的为“11型切

比雪夫滤波器”。切比雪夫滤波器在过渡带比巴特沃斯滤波器的衰减快，但频率响应

的幅频特性不如后者平坦。切比雪夫滤波器和理想滤波器的频率响应曲线之间的误差

最小，但是在通频带内存在幅度波动。

这种滤波器来自切比雪夫多项式，因此得名，用以纪念俄罗斯数学家巴夫尼

提・列波维其•切比雪夫

2.2切比雪夫滤波器原理

巴特沃兹滤波器在通带内幅度特性是单调下降的，如果阶次一定，则在靠近截止Q,

处，幅度下降很多，或者说，为了使通带内的衰减足够小，需要的阶次N很高，为了克服

这一缺点，采用切比雪夫多项式来逼近所希望的口。0八切比雪夫滤波器的「在

通带范围内是等幅起伏的，所以在同样的通常内衰减要求下，其阶数较巴特沃兹滤波器要

切比雪夫滤波器的振幅平方函数为

AQ2)-

3一有效通带截止频率

£一与通带波纹有关的参量，£大，波纹大0<^<1

VN(x)—N阶切比雪夫多项式

cos(27arccosx)|^|<1

cosh(M?rcoshx)|x|>1

|x|Wl时，M(x)|Wl

|x|〉l时，|x|/,\\(x)Z

切比雪夫滤波器的振幅平方特性如图所示,通带内，的变化范围为

1

时，|x|〉l,随—|H式/C)「一0(迅速趋于零)

当c=0时，=——-——：---------=--------!-------

gl+?cos[ATarccos(O)]1+/“("弓)

N为偶数,cos2(AT--)=L得到min,

2

I凡(用)工。

N为奇数，cos"N•巴)=0,得到max,

2

凡（强）二。=1(2-5)

切比雪夫滤波器的振幅平方特性如图1所示。

图1切比雪夫滤波器的振幅平方■特性

2.3Chebyshev有关参数的确定

2.3.1通带截止频率

0，预先给定

2.3.2E的确定

与通带波纹有关的参数,通带波纹表示成

瓦（卢）忆

5=101g(2-6)

凤（鹏

所以，6=101gQ+i),£2=1CP15-1

给定通带波纹值b(d8)分贝数后，可求得『。

2.3.3阶数N

由阻带的边界条件确定。CqA，为事先给定的边界条件，即在阻带中的频率点处Q,,

要求滤波器频响衰减到1/A?以上。

C=%时，随(jC)-4之(2-7)

(2-8)

(2-9)

团>1时,G(x)-cosh(Nhrcoshx)

(2-10)

得W->arcosh(jH-1/e)

arcosh(CJC,)

滤波器阶数N对滤波特性有极大的影响，N越大，逼近特性越好，但是相应的结构也

越复杂。一般情况下N等于通带内最大和最小个数的总和。N的数值可根据阻带衰减来确

定。

3切比雪肤低通滤波器的设计

3.1matlab函数说明

1.cheb2ord.m求切比雪夫n型滤波器的阶次。

2.Cheb2ap.m用来设计原型切比雪夫n型模拟滤波器。

3.Cheby2.m直接设计切比雪夫H型滤波器。此函数设计N阶切比雪夫H型滤波

器，通带波动为RpdB。在长度为N+1的矢量b和a中返回滤波器系数。

以上3个文件的调用格式和对应的巴特沃兹滤波器的文件类似。

4.impinvar,m用冲激响应不变法实现/到。及s到z的转换。

5.zp2tf.m将零极点模型转化成传递函数的模型。

6.zp2ss.m表达式从零极点增益形式转换成状态方程形式。

7.Ip2hp.m实现低通到高通滤波器类型的转换。

8.Bilineair.m采用双线性变换法，从模拟高通到数字高通。

3.2Matlab程序及运行

3.2.1matlab程序及仿真图

一、设计一个切比雪夫H型低通滤波器

wp=0.2*pi;%通带边界频率；

ws=0.4*pi;%阻带截止频率；

rp=l；%通带最大衰

减；

rs=80;%阻带最小衰减;

Fs二1000%假设抽样脉冲lOOOhz

[N,Wn]=cheb2ord(wp,ws,rp,rs,'s');%ChebyshevH型滤波器参数计算（模拟域）；

[Z,P,K]=cheby2(N,rs,Wn,'s');%构造ChebyshevII型滤波器（零极点模

型)；

[H,W]=zp2tf(Z,P,K);先将零极点模型转化成传递函数

的模型；

figure(l);

freqs(H,W);%在Figurel上显示滤

波器的幅频响应及相频响应；

IP,Q]=freqs(H,W);%返回滤波器的冲击响应的复

数形式；

figure(2);

plot(Q*Fs/(2*pi),abs(P));grid;临在Figure2上显示幅频特性曲线;

xlabelC频率/Hz');

ylabel('幅值');

o

10

8

np

1o

6-E—

we

10

101010

Frequency(rad/s)

2

00一

(00

s1

①一

.3

I一

600

P8

00“

)3

S

2

-1

0L-2

-

9

8

7

O.

O.

Q6

5

§O.

OQ.

4

O.3

0.

0.2

1

oo

2004006008001000120314001600

频率/Hz

二、设计一个高通Chebyshow型数字滤波器

wp=100;ws=80;Fs=300;rp=1;rs=45;%数字滤波器的各项指标；

WP=100*2*pi;%把数字滤波器的频率特征转换成模拟滤波器的频率特征；

WS=300*2*pi;

[N,Wn]=cheb2ord(WP,WS,rp,rs；s');%ChebyshevII型滤波器参数计算(模拟域);

[Z,P,K]=cheb2ap(N,rs);%创建Chebyshev滤波器原型；

[A,B,C,D]=zp2ss(乙P,K);%表达式从零极点增益形式转换成状态方程形式；

[AA,BB,CC,DD]=lp2hp(A,B,C,D,Wn);%实现低通到高通滤波器类型的转换：

[a,b,c,d]=bilinear(AA,BB,CC,DD,Fs);%采用双线性变换法，从模拟高通到数字高通;

[P,Q]=ss2tf(a,b,c,d);%表达式从状态方程形形式转换成传输函数形式；

figure⑴;

freqz(P,Q);%绘出频率响应；

[H,W]=freqz(P,Q);

figure(2);

plot(W*Fs/(2*pi),abs(H));grid;

xlabe(频率/Hz);

ylabelC幅值)

0

(

OPQ

)-50

8

P00

n

1

-eE■

e

w

.150---------1---------1---------1---------1---------1---------1---------1---------1---------1---------

00.10.20.30.40.50.60.70.80.91

频率/Hz

三、设计一个带通切比雪夫数字滤波器

W1=100;W2=200;rp=1;rs=30;Fs=1000;%数字滤波器的各项指标;

WP=[100,200];WS=[50,250];

[N,Wn]=cheb1ord(WP/(Fs⑵,WS/(Fs/2),rp,rs);

%ChebyshevI型滤波器参数计算(数字域)；

[P,Q]=chebyl(N,rp,Wn,'bandpass');%创建Chebyshev带通滤波海;

figure(1);

freqz(P,Q);%显示产生滤波器的幅频及相频曲线;

[H,W]=freqz(P,Q);

figure(2);

plot(W*Fs/(2*pi),abs(H));grid;

xlabel('频率/Hz');

ylabel。幅度,);

0

m

)p

a-100

p

m

E

o

e

z-200

-300

00.10.20.30.40.50.60.70.80.91

NormalizedFrequency(XTIrad/sample)

0

(

s

a

a-200

j

6

a

p

)-400

a

s

£

d-600

-800

00.10.20.30.40.50.60.70.80.91

NormalizedFrequency(xnrad/sample)

3.2.2编程原理说明

MATLAB提供了一个函数[z,p,k]=cheb2ap(N,Rp),来设计一个阶数为N,通带波

动为Rp的归一化切比雪夫I1型原型滤波器，它在数组z中返回零点，数组p中返回极点，

并返增益k。我们需