2020年高考数学试卷（上海）（秋考）（解析卷）

2020年全国高考数学真题试卷及解析（上海卷）

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1．已知集合A{1，2，4}，集合B{2，4，5}，则AB．

n1

2．计算：lim．

n3n1

3．已知复数z12i(i为虚数单位），则|z|．

4．已知函数f(x)x3，f(x)是f(x)的反函数，则f(x)．

xy20

5．已知x、y满足x2y30，则zy2x的最大值为．

y0

1ab

ab

6．已知行列式2cd6，则．

cd

300

7．已知有四个数1，2，a，b，这四个数的中位数是3，平均数是4，则ab．

aaa

．已知数列是公差不为零的等差数列，且，则129．

8{an}a1a10a9

a10

9．从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，

第三天安排2个人，则共有种安排情况．

x2y2

10．已知椭圆C:1的右焦点为F，直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C于P、Q两

43

点（点P在第二象限），若点Q关于x轴对称点为Q，且满足PQFQ，求直线l的方程

是．

11．设aR，若存在定义域为R的函数f(x)同时满足下列两个条件：

（）对任意的，的值为或2；

1x0Rf(x0)x0x0

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（2）关于x的方程f(x)a无实数解，

则a的取值范围是．

．已知，，，，，是平面内两两互不相等的向量，满足，

12a1a2b1b2bk(kN*)|a1a2|1

且，（其中，，，，，，则的最大值是．

|aibj|{12}i12j12k)k

二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13．下列等式恒成立的是()

A．a2b22abB．a2b22abC．ab2|ab|D．a2b22ab

14．已知直线方程3x4y10的一个参数方程可以是()

x13tx14t

A．(t为参数）B．(t为参数）

y14ty13t

x13tx14t

C．(t为参数）D．(t为参数）

y14ty13t

．在棱长为的正方体中，为左侧面上一点，已知点到

1510ABCDA1B1C1D1PADD1A1PA1D1

的距离为，到的距离为，则过点且与平行的直线相交的面是

3PAA12PA1C()

．．．．

AAA1B1BBBB1C1CCCC1D1DDABCD

16．命题p：存在aR且a0，对于任意的xR，使得f(xa)f(x)f（a）；

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命题单调递减且恒成立；

q1:f(x)f(x)0

命题单调递增，存在使得，

q2:f(x)x00f(x0)0

则下列说法正确的是()

．只有是的充分条件．只有是的充分条件

Aq1pBq2p

．，都是的充分条件．，都不是的充分条件

Cq1q2pDq1q2p

三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）

17．（14分）已知ABCD是边长为1的正方形，正方形ABCD绕AB旋转形成一个圆柱．

（1）求该圆柱的表面积；

（2）正方形ABCD绕AB逆时针旋转至ABCD，求线段CD与平面ABCD所成的角．

2111

18．（14分）已知函数f(x)sinx，0．

1

（1）f(x)的周期是4，求，并求f(x)的解集；

2

（2）已知1，g(x)f2(x)3f(x)f(x)，x[0，]，求g(x)的值域．

24

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19．（14分）在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除

以时间，车辆密度是该路段一定

q

时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为v，x为道路密度，q为车

x

辆密度．

1

100135()x,0x40

vf(x)3．

k(x40)85,40x80

（1）若交通流量v95，求道路密度x的取值范围；

（2）已知道路密度x80，交通流量v50，求车辆密度q的最大值．

x2y2

20．（16分）已知双曲线:1与圆:x2y24b2(b0)交于点A(x，y)（第

14b22AA

一象限），曲线为、上取满足的部分．

12x|xA|

（）若，求的值；

1xA6b

（）当，与轴交点记作点、，是曲线上一点，且在第一象限，且，

2b52xF1F2P|PF1|8

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求；

F1PF2

b2b

（3）过点D(0,2)斜率为的直线l与曲线只有两个交点，记为M、N，用b表示

22

OMON，并求OMON的取值范围．

．（分）已知数列为有限数列，满足，则称满

2118{an}|a1a2||a1a3||a1am|{an}

足性质P．

（1）判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P，请说明理由；

（）若，公比为的等比数列，项数为，具有性质，求的取值范围；

2a11q10Pq

（）若是，，，，的一个排列，符合，，，，

3{an}123m(m4){bn}bkak1(k12m1)

、都具有性质，求所有满足条件的数列．

{an}{bn}P{an}

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参考答案

1．{2，4}

【解析】因为A{1，2，3}，B{2，4，5}，则AB{2，4}．故答案为：{2，4}．

1

2．

3

11

11lim

n1n1011

【解析】limlimnn，故答案为：．

nn11

3n133lim3033

nnn

3．5

【解析】由z12i，得|z|12(2)25．故答案为：5．

4．3x

【解析】由yf(x)x3，得x3y，把x与y互换，可得f(x)x3的反函数为f1(x)3x．

故答案为：3x．

5．-1

xy20

【解析】由约束条件x2y30作出可行域如图阴影部分，

y0

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化目标函数zy2x为y2xz，由图可知，当直线y2xz过A时，直线在y轴上的

xy20x1

截距最大，联立，解得，即A(1,1)．

x2y30y1

z有最大值为1211．故答案为：1．

6．2

1ab

abab

【解析】行列式2cd6，可得36，解得2．

cdcd

300

故答案为：2．

7．36

【解析】因为四个数的平均数为4，所以ab441213，

2a

因为中位数是3，所以3，解得a4，代入上式得b1349，

2

所以ab36，故答案为：36．

27

8．

8

【解析】根据题意，等差数列满足，即，变形可得，

{an}a1a10a9a1a19da18da1d

98d

9a

aaa19a36d9d36d27

所以12921．

a10a19da19dd9d8

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故答案为：27．

8

9．180

【解析】根据题意，可得排法共有112种．

C6C5C4180

故答案为：180．

10．xy10

x2y2

【解析】椭圆C:1的右焦点为F(1,0)，

43

直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C于P、Q两点（点P在第二象限），

若点Q关于x轴对称点为Q，且满足PQFQ，

可知直线l的斜率为1，所以直线l的方程是：y(x1)，

即xy10．

故答案为：xy10．

11．(，0)(0，1)(1，)

【解析】根据条件（1）可得f(0)0或f（1）1，

又因为关于x的方程f(x)a无实数解，所以a0或1，

故a(，0)(0，1)(1，)，

故答案为：(，0)(0，1)(1，)．

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12．6

【解析】如图，设，，

OA1a1OA2a2

由，且，，分别以，为圆心，以和为半径画圆，其中任

|a1a2|1|aibj|{12}A1A212

意两圆的公共点共有6个．故满足条件的k的最大值为6．故答案为：6．

13．B

【解析】A．显然当a0，b0时，不等式a2b22ab不成立，故A错误；

B．(ab)20，a2b22ab0，a2b22ab，故B正确；

C．显然当a0，b0时，不等式ab2|ab|不成立，故C错误；

D．显然当a0，b0时，不等式a2b22ab不成立，故D错误．

故选：B．

14．B

x13tx13

【解析】(t为参数）的普通方程为：，即4x3y10，不正确；

y14ty14

x14tx14

(t为参数）的普通方程为：，即3x4y10，正确；

y13ty13

x13tx13

(t为参数）的普通方程为：，即4x3y10，不正确；

y14ty14

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x14tx14

(t为参数）的普通方程为：，即3x4y70，不正确；故选：B．

y13ty13

15．D

【解析】如图，

由点到的距离为，到的距离为，

PA1D13PAA12

可得P在△AAD内，过P作EF//AD，且EFAA于E，EFAD于F，

111

在平面中，过作，交于，则平面平面．

ABCDFFG//CDBCGEFG//A1DC

连接，交于，连接，平面平面，平面平面，

ACFGMEMEFG//A1DCA1ACA1DCA1C

平面平面，．

A1ACEFMEMEM//A1C

在EFM中，过P作PN//EM，且PNFM于N，则PN//AC．

1

线段FM在四边形ABCD内，N在线段FM上，N在四边形ABCD内．

过点且与平行的直线相交的面是．故选：．

PA1CABCDD

16．C

【解析】对于命题：当单调递减且恒成立时，

q1f(x)f(x)0

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当a0时，此时xax，又因为f(x)单调递减，所以f(xa)f(x)

又因为f(x)0恒成立时，所以f(x)f(x)f（a），所以f(xa)f(x)f（a），

所以命题命题，对于命题：当单调递增，存在使得，

q1pq2f(x)x00f(x0)0

当时，此时，（），

ax00xaxfaf(x0)0

又因为f(x)单调递增，所以f(xa)f(x)，所以f(xa)f(x)f（a），

所以命题命题，所以，都是的充分条件，故选：．

p2pq1q2pC

17．【解析】（1）该圆柱的表面由上下两个半径为1的圆面和一个长为2、宽为1的矩形组

成，S212214．故该圆柱的表面积为4．

（）正方形，，

2ABC1D1AD1AB

又DAD，ADAD，

121

ADABA，且AD、AB平面ADB，

平面，即在面上的投影为，

AD1ADBD1ADBA

连接，则即为线段与平面所成的角，

CD1D1CACD1ABCD

而AC26，线段与平面所成的角为6．

cosD1CACD1ABCDarccos

CD1333

211

18．【解析】（1）由于f(x)的周期是4，所以，所以f(x)sinx．

422

11155

令sinx，故x2k或2k，整理得x4k或x4k．

2226633

5

故解集为{x|x4k或x4k，kZ}．

33

（2）由于1，所以f(x)sinx．所以

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1cos2x33111

g(x)sin2x3sin(x)sin(x)sin2xsin2xcos2xsin(2x)

22222226

2

由于x[0，]，所以2x．

4663

111

sin(2x)1，故1sin(2x)，故g(x)0．

26622

1

所以函数g(x)的值域为[,0]．

2

q

19．【解析】（1）v，v越大，x越小，

x

vf(x)是单调递减函数，k0，

当40x80时，v最大为85，

1

于是只需令100135()x95，解得x3，

3

故道路密度x的取值范围为(3,40)．

（2）把x80，v50代入vf(x)k(x40)85中，

7

得50k4085，解得k．

8

1

100x135()xx,0x40

3

qvx，

7

(x40)x85x,40x80

8

1

当0x40时，q单调递增，q10040135()40404000；

3

480

当40x80时，q是关于x的二次函数，开口向下，对称轴为x，

7

748048028800

此时q有最大值，为()21204000．

8777

28800

故车辆密度q的最大值为．

7

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x2y2

AA1

．【解析】（）由，点为曲线与曲线的交点，联立2，解

201xA6A124b

222

xAyA4b

得，；

yA2b2

（）由题意可得，为曲线的两个焦点，

2F1F21

由双曲线的定义可得，又，，

|PF1||PF2|2a|PF1|82a4

所以，因为，则，

|PF2|844b5c453

|PF|2|PF|2|FF|2

所以，在△中，由余弦定理可得1212

|F1F2|6PF1F2cosF1PF2

2|PF1||PF2|

6416361111

，由0FPF，可得FPFarccos；

28416121216

4b2

b4b2||

（3）设直线l:yx，可得原点O到直线l的距离d24b2，

22b2

1

4

所以直线l是圆的切线，设切点为M，

224

所以k，并设OM:yx与圆x2y24b2联立，可得x2x24b2，

OMbbb2

可得xb，y2，即M(b,2)，

注意直线l与双曲线的斜率为负的渐近线平行，

所以只有当时，直线才能与曲线有两个交点，

yA2l

x2y2

AA1b4

由2，可得2，

4byA2

222ab

xAyA4b

b4

所以有4，解得b2225或b2225（舍去），

4b2

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因为OM为ON在OM上的投影可得，OMON4b2，

所以OMON4b2625，则OMON(625，)．

21．【解析】（1）对于数列3，2，5，1，有|23|1，|53|2，|13|2，满足题意，该

数列满足性质P；

对于第二个数列4、3、2、5、1，|34|1，|24|2，|54|1．不满足题意，该数列不

满足性质P．

（）由题意：nn1，可得：nn1，，，，，

2|a1a1q||a1a1q||q1||q1|n{239}

两边平方可得：q2n2qn1q2n22qn11，

整理可得：(q1)qn1[qn1(q1)2]0，当q1时，得qn1(q1)20此时关于n恒成立，

所以等价于n2时，q(q1)20，

所以，(q2)(q1)0，所以q2，或q1，所以取q1，

当0q1时，得qn1(q1)20，此时关于n恒成立，所以等价于n2时，q(q1)20，

所以(q2)(q1)0，所以2q1，所以取0q1．

当1q0时：qn1[qn1(q1)2]0，

当n为奇数时，得qn1(q1)20，恒成立，当n为偶数时，qn1(q1)20，不恒成立；

故当1q0时，矛盾，舍去．

当q1时，得qn1[qn1(q1)2]0，当n为奇数时，得qn1(q1)20，恒成立，

当n为偶数时，qn1(q1)20，恒成立；故等价于n2时，q(q1)20，

所以(q2)(q1)0，所以q2或q1，所以取q2，

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