图形的旋转 (课件) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

28．1图形的旋转学习目标课时讲解1课时流程2旋转及其相关概念旋转的性质旋转作图利用旋转设计图案逐点导讲练课堂小结作业提升知1－讲感悟新知知识点旋转及其相关概念11.旋转：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫作图形的旋转，点O叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角.如果图形上的点P经过旋转后变为点P′，那么这两个点叫作这个旋转的对应点.特别提醒1.图形的旋转是指图形上的每一个点都绕点O沿相同的方向旋转相等的角度.2.确定旋转角的关键是找到旋转中心，旋转前后对应点与旋转中心所连线段的夹角就是旋转角.旋转角一般小于360°.3.在描述图形旋转过程中，三要素缺一不可.知1－讲感悟新知感悟新知2.旋转的“三要素”：旋转中心、旋转方向和旋转角.(1)在旋转过程中，旋转中心可以在图形的内部，也可以在图形的外部，还可以是图形上的某点；(2)旋转方向有顺时针和逆时针两种.知1－讲感悟新知3.旋转前后的对应元素知1－讲感悟新知知1－讲图形举例如图，△ABC

绕点O

逆时针旋转90°得到△A′B′C′，在这一旋转中，点O是旋转中心，∠AOA′，∠BOB′，∠COC′都是旋转角对应元素对应点点A，B，C

分别与点A′，B′，C′是对应点对应角∠ABC，∠ACB，∠BAC

分别与∠A′B′C′，∠A′C′B′，∠B′A′C′是对应角对应边线段AB，BC，CA分别与线段A′B′，B′C′，C′A′是对应边

只有一个有多个知1－练感悟新知如图28.1－1，A，B，C

三点共线，△ACD

和△BCE都是等边三角形，△ACE经过旋转后到达△DCB的位置.(1)旋转中心是哪一点？(2)旋转角是多少度？例1思路导引：知1－练感悟新知知1－练感悟新知解：∵点C是在△ACE旋转过程中不动的点，∴点C

是旋转中心.(1)

旋转中心是哪一点？两个三角形在旋转过程中不动的点是旋转中心.知1－练感悟新知解：顺时针方向.(2)旋转方向是什么？知1－练感悟新知解：△ACE旋转后到达△DCB

的位置，AC绕点C

旋转到DC，AC转过的角即∠ACD

就是旋转角.∵△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，即旋转角是60°.(3)旋转角是多少度？两个三角形的对应边所夹的角即为旋转角.知1－练感悟新知1-1.如图，四边形ABCD，EFGC都是正方形，点D，C，G在同一条直线上，连接DE，BG，△BCG旋转后到达△DCE的位置.知1－练感悟新知(1)旋转中心是哪一点？(2)旋转方向是什么？(3)旋转角是多少度？解：旋转中心是点C.逆时针方向.旋转角是90°.感悟新知知2－讲知识点旋转的性质21.旋转的性质示意图性质旋转前、后的图形全等对应点到旋转中心的距离相等对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角△ABC≌△A′B′C′OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′，OP=OP′∠AOA′=∠BOB′=∠COC′=∠POP′

旋转只改变图形的位置指任意一点的对应点感悟新知知2－讲2.旋转与平移、轴对称的异同点变换关系旋转平移轴对称不同点运动方式绕某一点转动沿某一方向移动沿一条直线翻折对应点、对应线段得情况

连接各组对应点的线段平行(或在同一条直线上)且相等对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段所成的角相等，都等于旋转角对应点所连的线段被对称轴垂直平分感悟新知知2－讲不同点变换条件旋转中心、旋转方向和旋转角平移方向和平移距离对称轴相同点(1)都是在平面内进行的图形变换；(2)都只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即变换前、后两个图形全等；(3)都是一个已知图形变换后得到另一个图形续表知2－讲感悟新知特别提醒1.旋转是图形的一种全等变换，解题时一般转化为三角形全等来解决.2.在旋转过程中，只有旋转中心不动，它是任意两对对应点所连线段的垂直平分线的交点.感悟新知知2－练如图28.1-2，已知BC是等腰直角三角形ABC的斜边，D是△ABC内一点，连接AD，BD.若将△ABD绕点A逆时针旋转到△ACD′的位置，则∠ADD′的度数是()

A.25° B.30°C.35° D.45°例2

感悟新知知2－练思路导引：知2－练感悟新知

答案：D知2－练感悟新知技巧点拨在一个旋转图形中，若含有等腰直角三角形，特别是当其直角顶点是旋转中心时，一般可利用等腰直角三角形中的特殊角(比如45°，90°)求得旋转角.知2－练感悟新知

B感悟新知知2－练如图28.1-3,在由边长为1的小正方形组成的网格中，将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A′B′C′，则点P的坐标是(

)A.(1，1)

B.(1，2)

C.(1，3)

D.(1，4)例3知2－练感悟新知解题秘方：在作图时，尽量选择连线平行于坐标轴的对应点，这样能便捷地找到旋转中心.解：确定对应点A

与A′，C

与C′，连接AA′，CC′，作AA′，CC′的垂直平分线，如图28.1-3，两条垂直平分线的交点P

即为旋转中心.答案：B知2－练感悟新知3-1.

如图4×4的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则A，B，C，D四个点中是其旋转中心的点是_________

.B感悟新知知3－讲知识点旋转作图31.作图依据：图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动相同的角度；对应点到旋转中心的距离相等.感悟新知知3－讲2.旋转作图的一般步骤(1)找：找出旋转中心、旋转方向、旋转角以及构成图形的关键点；(2)连：将图形中的各关键点与旋转中心分别连接起来；(3)转：把连线绕旋转中心按旋转方向分别旋转相同的角度；(4)截：在旋转后的射线上截取与各连线分别相等的线段，得到各关键点的对应点；(5)作：根据原图形连接所得到的各对应点，作出要求的图形；(6)

写：写出结论.如顶点知3－讲感悟新知特别提醒1.画旋转后的图形，关键是根据旋转的性质作出对应点的位置.2.旋转的方向分顺时针和逆时针，若未指明，要分两种情况作图.3.旋转后的图形与原图形只是位置改变，形状和大小不改变.知3－练感悟新知如图28.1-4，△ABC绕点C旋转后，顶点A旋转到了点A′处，画出旋转后的三角形.例4

知3－练感悟新知思路导引：知3－练感悟新知解：如图28.1-4所示.(1)连接CA′；(2)在BC的右侧，作∠BCD=∠ACA′;(3)在射线CD上截取CB′=CB;(4)连接A′B′，则△A′B′C即为所求作的三角形.确定旋转方向为顺时针方向，∠ACA′为旋转角知3－练感悟新知解题策略在已知旋转中心的情况下，作旋转后的图形的关键是确定旋转方向和旋转角，当题目中没有直接给出旋转方向和旋转角时，旋转方向和旋转角通常根据一对对应点的位置确定.知3－练感悟新知4-1.

如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A

按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B

的对应点D

恰好落在BC

边上时．(1)作出△ADE(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；解：如图所示．知3－练感悟新知(2)求CD

的长．解：由旋转的性质可得AD=AB.∵∠B=60°，∴△ABD是等边三角形.∴BD=AB=2.∵BC=3.6，∴CD=BC-BD=3.6-2=1.6.感悟新知知4－讲知识点利用旋转设计图案4同一个图形，选择不同的旋转中心、不同的旋转角度旋转，会得到不同的图案.图28.1-5是一个图案，它可以看成是由基本图形(如左上角一个直角三角形)绕着图案的中心点O分别顺时针旋转90°，180°，270°之后得到的.在这一旋转过程中，旋转中心不变，旋转的角度依次增加90°，经过三次旋转，便得到了我们所看到的美丽的图案.知4－讲感悟新知图示感悟新知知4－练如图28.1-6所示的是某设计师在方格纸中设计的图案的一部分，请你帮他完成余下的工作.(1)将图中的图案绕点O

顺时针旋转90°，连续旋转

3次，请在方格纸中画出相关图形.(2)你画出的图案绕点O

旋转多少度后可以与它自身重合？至少写出3个度数.例5知4－练感悟新知解题秘方：在网格中利用旋转设计图案时，利用旋转中心、旋转角先找到关键点旋转后的位置，再顺次连接即可.本题中的基本图形由四个关键点确定，所以按作图步骤作图即可.知4－练感悟新知解：(1)如图28.1-6.(2)

90°，180°，270°.(答案不唯一，只要是90°的正整数倍就行)

.知4－练感悟新知5-1.如图所示的图案，分别可以由哪个基本图形、经过怎样的旋转得到？知4－练感悟新知解：题图①中的图案是以图案的中心为旋转中心将基本图形顺时针旋转120°二次得到的；题图②中的图案是以图案的中心为旋转中心将基本图形顺时针旋转72°四次得到的；题图③中的图案是以图案的中心为旋转中心将基本图形顺时针旋转60°五次得到的.图形的旋转图形的旋转旋转中心旋转角旋转方向三要素性质作图题型利用旋转作图求点的坐标1[中考·宿迁]如图28.1-7，在平面直角坐标系中，点A

的坐标是(3，2)，将线段OA

绕点O

顺时针旋转90°，得到线段OA′，则点A′的对应点的坐标是(

)A.(－3，2)

B.(－2，3)C.(

3，－2)

D.(

2，－3)例6解题秘方：根据题意画出旋转后的图形，再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题．解：如图28.1-7，根据题意画出旋转后的线段OA′，过点A作AB⊥x轴于点B，过点A′作A′C⊥y轴于点C，则∠A′CO=∠ABO=90°.由旋转的性质可知∠A′OA=90°，AO=A′O，∴∠COA+∠A′OC=90°.∵∠AOB+∠COA=90°，∴∠AOB=∠A′OC.∴△A′CO≌△ABO(AAS).∴A′C=AB，OC=OB.∵点A的坐标为(3，2)，∴AB=2，OB=3.∴A′C=2，OC=3.∴点A′的坐标为(-2，3)答案：B解题策略在平面直角坐标系中求旋转后图形上点的坐标，关键要把握三个转化：1.将求坐标转化为求线段的长度；2.借助两条坐标轴的夹角为90°，可将150°，135°，120°的旋转角转化为60°，45°，30°的角；3.通过作坐标轴的垂线构造直角三角形来计算.题型利用旋转作图求角度2如图28.1-8，等边三角形ABC内有一点O，已知OA=4，OB=3，OC=5，求∠AOB的度数.例7思路导引：解：如图28.1-8，把△BOA绕点B顺时针旋转60°，得到△BPC，连接OP.由旋转的性质，得BP=BO，PC=OA，∠AOB=∠CPB，∠OBP=60°.∴△OBP为等边三角形.∴∠OPB=60°，OP=OB=3.∵PC=OA=4，∴OP

2+PC

2=32+42=25.又∵OC

2=52=25，∴OP

2+PC

2=OC

2.∴∠OPC=90°.∴∠CPB=∠OPB+∠OPC=60°+90°=150°.∴∠AOB=∠CPB=150°.另解如图28.1-9，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，得到△AMC，连接OM.先证△AMO

为等边三角形,得∠AMO=60°；再证△COM为直角三角形，得∠OMC=90°.∴∠AMC=∠AMO+∠OMC=150°.∴由旋转的性质得∠AOB=∠AMC=150°.题型利用旋转作图探究线段之间的关系3如图28.1-10，P是正方形ABCD的边CD

上一点，∠BAP的平分线交BC于点Q.求证：AP=DP+BQ.例8思路导引：证明：如图28.1-10，将△ABQ

绕点A逆时针旋转90°得到△ADE.由题易知∠DAB=∠B=∠ADC=90°.由旋转的性质可得∠E=∠AQB，DE=BQ，∠EAQ=90°，∠ADE=∠B=90°.∴E，D，P

三点共线.易知∠PAQ=∠QAB，∴∠PAE=∠EAQ-∠PAQ=90°-∠QAB=∠AQB=∠E，∴AP=PE=DP+DE=DP+BQ.技巧点拨本题将△ABQ

旋转到△ADE

的位置，将线段DP+BQ转化成一条线段PE，再证明PE=AP.方法总结旋转变换是一种基本的图形变换，它是将已知图形(或其中一部分)绕某一点旋转，构造出新的图形，可以等量转移图形的相关量，从而将一些分散的条件集中.题型利用旋转作图求线段和的最小值3[新考法旋转构造法]如图28.1-11，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，连接BD，点P是BD上的一个动点，连接PA，PC，则PA+PB+PC的最小值是______

例8解题秘方：通过连接对角线和旋转构造全等三角形，从而进行线段的等量代换，这是解题的关键.解：如图28.1-11，将线段AP绕点A顺时针旋转60°，得到线段AP