数学活动：哪个积最大和刹车距离与刹车时车速的关系课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版数学九年级上册数学活动：哪个积最大和刹车距离与刹车时车速的关系第二十六章

二次函数第二十六章

二次函数

全章总复习一、二次函数基础概念（26.1）1.定义一般地，形如$$y=ax^2+bx+c$$（$$a、b、c$$为常数，$$\boldsymbol{a\neq0}$$）的函数叫做二次函数。三大判定条件：①整式函数；②自变量最高次数为2；③二次项系数$$a\neq0$$。2.三种解析式形式一般式：$$y=ax^2+bx+c$$（适用于已知任意三点）顶点式：$$y=a(x-h)^2+k$$（适用于已知顶点/对称轴/最值）交点式：$$y=a(x-x_1)(x-x_2)$$（适用于已知抛物线与x轴两个交点）二、二次函数图象与性质（26.2核心重点）1.最简形式：$$y=ax^2$$图象：抛物线，顶点$$(0,0)$$，对称轴为y轴；$$a>0$$开口向上，原点为最低点，$$x<0$$递减，$$x>0$$递增；$$a<0$$开口向下，原点为最高点，$$x<0$$递增，$$x>0$$递减；开口宽窄：$$|a|$$越大，开口越窄；$$|a|$$越小，开口越宽。2.平移形式：$$y=ax^2+k$$、$$y=a(x-h)^2$$$$y=ax^2+k$$上下平移

：上加下减，对称轴不变（y轴），顶点$$(0,k)$$，仅改变最值；$$y=a(x-h)^2$$左右平移

：左加右减，顶点$$(h,0)$$，对称轴为直线$$x=h$$，增减性以$$x=h$$分界。3.顶点式：$$y=a(x-h)^2+k$$（万能形式）顶点$$(h,k)$$，对称轴直线$$x=h$$；$$a>0$$，最小值$$y=k$$；$$a<0$$，最大值$$y=k$$；所有平移均可由$$y=ax^2$$先左右、后上下平移得到。4.一般式：$$y=ax^2+bx+c$$对称轴公式：$$x=-\dfrac{b}{2a}$$顶点坐标：$$\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a}\right)$$系数符号规律：①$$a$$：定开口；②$$c$$：定与y轴交点$$(0,c)$$；③$$a、b$$：左同右异（定对称轴位置）。三、二次函数与一元二次方程（26.3）1.核心关系令$$y=0$$，二次函数$$y=ax^2+bx+c$$转化为方程$$ax^2+bx+c=0$$；方程的根=抛物线与x轴交点的横坐标。2.判别式$$\Delta=b^2-4ac$$三种对应关系$$\Delta>0$$：两个不相等实数根，抛物线与x轴2个交点；$$\Delta=0$$：两个相等实数根，抛物线与x轴1个交点（顶点在x轴）；$$\Delta<0$$：无实数根，抛物线与x轴无交点。3.方程近似解夹值法（二分法）：若两个x对应函数值一正一负，则区间内必有一个实数根；逐步缩小区间，按精度取近似值。四、二次函数实际应用（26.4中考必考大题）1.几何图形最大面积问题解题模板：设边长→用代数式表示其余边长→列面积二次函数→确定自变量范围→求顶点最值；经典模型：固定周长矩形正方形面积最大、靠墙围栏矩形最值、三角形内接矩形最值。2.商品最大利润问题核心公式：单件利润=售价-进价，总利润=单件利润×销售数量；两类模型：涨价少卖、降价多卖；关键注意：销量、单价为正数，实际取值多为整数，顶点非整数时需就近取值对比最值。3.抛物线实物与运动轨迹问题解题万能步骤：建系→找点→设解析式→求参数→代入求解→验证实际意义；静态模型：拱桥、隧道、喷水（求跨度、限高、限宽）；动态模型：投篮、抛球（求最大高度、落地距离、飞行范围）。五、全章高频易错点汇总1.平移规律易错：左加右减、上加下减，左右平移针对x，上下平移针对整体，极易混淆；2.顶点坐标符号易错：$$y=a(x+h)^2+k$$顶点横坐标为$$-h$$；3.对称轴公式漏负号：$$x=-\dfrac{b}{2a}$$是高频计算错误点；4.实际应用必看自变量范围：顶点不在取值区间内时，最值取端点；5.方程根与交点混淆：根是数值，交点是坐标$$(x,0)$$；6.增减性不能笼统描述，必须以对称轴为分界讨论。六、全章解题技巧总结1.求最值优先配方或用顶点公式，无需描点；2.图象判断题用“a、b、c、Δ、对称轴”五大要素快速排除；3.实际问题优先设变化量为x，简化列式；4.抛物线对称性质可快速求对称点、对称函数值，简化计算。1.掌握用二次函数求“和定两数”最大积的方法，能拟合刹车距离的二次函数模型.(难点、重点)2.经历“观察一猜想一建模一验证”过程，提升数据分析与建模能力，感受数学的实用性.探究点一：哪个积最大(1)观察下列两个两位数的积(两个乘数的十位上的数都是

9，个位上的数的和等于

10)，猜想其中哪个积最大：91×99，92×98，···，98×92，99×91.问题1：观察算式：两个乘数的十位都是

9，个位和为

10，这两个乘数的和是有什么样的特点？猜想：当两个乘数的差最小时，积最大，即

95×95的积最大.问题2：观察算式特点，猜想：哪两个数的乘积最大？固定和为

189.问题3：你能用二次函数的知识说明你的猜想正确吗？设第一个数的个位数字为

x，则第二个数的个位数字为

10

-

x，两个乘数分别为

90+x，100-

x.设它们的积为y，则y=(90+x)(100-

x)=-x²+10x+9000其中

x

为整数，且

0≤x≤10.这是一个开口向下的二次函数，顶点横坐标为

当

x=5时，y

取得最大值，此时两个乘数为

95×95，验证猜想正确.(2)观察下列两个三位数的积(两个乘数的百位上的数都是

9，十位上的数与个位上的数组成的数的和等于100)，猜想其中哪个积最大：901×999，902×998，···，998×902，999×901.问题1：类比两位数规律，这组算式的特征是什么？百位为

9，后两位和为

100，和为固定值问题2：直接猜想：哪两个数的乘积最大？类比

95×95，猜想

950×950.问题3：仿照两位数的方法，如何建模验证？设第一个数的个位数字为

x，则第二个数的个位数字为

10

-

x，两个乘数分别为

900+x，1000-

x.设它们的积为y，则y=(900+x)(1000-

x)=-x²+100x+900000其中

x

为整数，且

0≤x≤100.这是一个开口向下的二次函数，顶点横坐标为

当

x=50时，y

取得最大值，此时两个乘数为

950×950，验证猜想正确.问题4：结合两个例子，能总结出什么通用规律？和一定的两个正数，差越小，乘积越大；相等时乘积最大【归纳小结】利用“二次函数顶点求最值”的核心性质，可得出结论—当两个数的和固定时，两数相等(或最接近)时积最大；解题核心流程为“设变量→建二次函数→找顶点求最值”.探究点二：刹车距离与刹车时车速的关系

由于惯性作用，汽车刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离被称为“刹车距离”.为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据见下表：刹车时车速/(km/h)404856647280刹车距离/m1722.427.935.343.452.81020304050607080102030405060708090100O（1）以刹车时车速为横坐标，刹车距离为纵坐标，根据表中数据，在平面直角坐标系中描点，并用平滑的曲线连接这些点，得到大致满足这些数据的函数图象.刹车时车速

x(km/h)为横坐标，刹车距离为

y(m)纵坐标根据图象，你能推测出这是个什么函数吗？二次函数刹车时车速

x(km/h)刹车距离为

y(m)（2）通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数解析式.设二次函数解析式为

y=ax²+bx+c，选取表格中

(40，17)，(64，35.3)，(80，52.8)

三组典型数据代入解析式，列方程组求解系数

a，b，c.1600a+40b+c=17，4096a+64b+c=35.3，6400a+80b+c=52.8，解得近似解析式:y≈0.0082x²-0.1x+7.7.将

х=56代入验证，得

y≈27.82，与实测值

27.9

误差较小，说明模型合理.（3）一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得这辆车的刹车距离约为

70m，已知这条高速公路限速

100km/h.请根据你确定的函数解析式，通过计算判断：在事故发生时，汽车是否超速行驶？当

y=70时，0.0082x²-0.1x+7.7=70.解得x≈93.5(负值舍去).这个结果小于高速限速

100km/h，说明车辆未超速行驶.【归纳小结】刹车距离与车速呈二次函数关系，结合“函数模型拟合原则”，可通过“描点定类型→代入求解析式→多组数据验误差”建立实用模型；该模型是对实际问题的近似刻画，误差在合理范围内即可判定有效.1.二次函数的应用场景：求最值（如乘积最大值）、解决实际问题（如刹车距离问题）.2.解题步骤:(1)分析问题，设变量，找等量关系;(2)建立二次函数模型；(3)利用函数性质（顶点、单调性）解决问题；(4)检验结果的实际意义.3.数学思想：数形结合、建模思想、从特殊到一般.1.

某汽车刹车距离解析式为

y=0.005x²+0.05x+2，当车速为

60km/h时，刹车距离约为

米.(保留一位小数)2.

已知两个数的和为

170，且十位数字均为

8，个位数字之和为10.(1