第1课时 几何面积问题与一元二次方程（课件） 2026-2027学年人教版九年级数学上册

人教版九年级（上）25.3实际问题与一元二次方程第1课时

几何面积问题与一元二次方程

第二十五章一元二次方程问题：

应用方程解实际问题的步骤是什么？实际问题审题设未知数列出方程检验解的合理性解方程找等量关系例1是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为

x，x＋1，x＋2，其中

x

为正整数.由勾股定理，得

x²＋(x＋1)²＝(x＋2)².解方程，得

x1=3，x2=－1(不符合题意，舍去).因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为

3，4，5.知识点1：几何图形与一元二次方程例2用一根长为40m

的细绳能否围成一个面积为

96

m²的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？分析：假设细绳能围成面积为96m²的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度.设矩形一边长为

xm，由周长为40m，可用含

x的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解.解：设矩形的一边长为

x

m，由矩形的周长为

40m，可得此边的邻边长为(20－x)m；再由矩形的面积为96m²，得x(20－x)＝96.解方程，得

x1=12，x2=8.

因此，用一根长为40m

的细绳可以围成面积为

96m²

的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8m，12m.【练一练】1.现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为

xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm²的无盖的长方体盒子，求小正方形的边长.解：设小正方形的边长为

x

cm，则可得这个长方体盒子的底面的长是(80－2x)cm，宽是(60－2x)cm，由题意，得

(80－2x)(60－2x)＝1500，解得

x1＝55，x2＝15.又60－2x＞0，∴x＝55(舍).∴小正方形的边长为15cm.2032xx解：设道路的宽为

x

m.则

例1

如图，在一块宽为

20

m，长为

32

m

的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为

540m2，则道路的宽为多少？还有其他列法吗？方法一：2032xx解：设道路的宽为xm.则20−x32−x(32−x)(20−x)=540.整理，得

x2−52x+100=0.解得x1=2，x2=50.当

x=50时，32−x=−18，不合题意，舍去.∴

取

x=2.答：道路的宽为2m.方法二：

解决有关图形面积问题：(注：这里的横坚斜小路的的出入口宽度都相等)平移转化总结1.改善小区环境，争创文明家园.如图所示，某社区决定在一块长

(AD)16

m，宽

(AB)9

m

的矩形场地

ABCD

上修建三条同样宽的小路，其中两条与

AB

平行，另一条与

AD

平行，其余部分种草，要使草坪部分的总面积为

112

m2，则小路的宽应为多少？ABDC解：设小路的宽应为

xm.根据题意得：(16-2x)(9-

x)=12，解得：x1=1，x2=16(舍去).答：小路的宽应1m.xx图形、面积问题几何图形中的面积问题：面积公式(不规则图形采用平移或割补进行转化)直角三角形中的边长问题：勾股定理1.在一幅长

80

cm，宽

50

cm

的长方形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅长方形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是

5400

cm2，设金色纸边的宽为

x

cm，那么

x

满足的方程是（

）A．x2

+

130x

-

1400

=

0B．x2

+

65x

-

350

=

0C．x2

-

130x

-

1400

=

0D．x2

-

65x

-

350

=

080

cmxxxx50

cmB2.(黄冈月考)某养殖专业户要建一个如图所示的长方形鸡场.鸡场的一边靠墙，墙的对面留有一个2

米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长为

30

米.

(1)若墙长为

18

米，要围成的鸡场面积是120平方米，则鸡场的长和宽各为多少米?(2)

围成的鸡场面积能达到180平方米吗?说明理由.等量关系：鸡场墙长×鸡场墙宽=鸡场面积2xx解：(1)设垂直于墙的边长为

x

米，则平行于墙的边长为(30

+

2

-

2x)米.依题意得：

x(30

+

2

-

2x)

=

120，整理得：

x2

-

16x

+

60

=

0，解得：

x1

=

10，x2

=

16.当

x=10时，30

+

2

-

2x

=

12＜18，符合题意，当

x=16时，30

+

2

-

2x

=

20＞18，不符合题意，舍去.答：鸡场长为12米，宽为10米.(2)围成的鸡场面积不能达到180平方米，理由如下：2yy设垂直于墙的边长为

y

米，则平行于墙的边长为

(30

+

2

-

2y)米.依题意得：

y(30

+

2

-

2y)

=

180，整理得：

y2

-

16y

+

90

=

0，∵Δ

=-104＜

0，∴

围成的鸡场面积不能达到180平方米.3.

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm.点

P沿

AC边从点

A向终点

C以1cm/s的速度移动；同时点

Q沿

CB边从点

C向终点

B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点

P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9cm²？等量关系：根据题意得

AP=xcm，PC=

(6-

x