2026年线性回归测试题及答案

2026年线性回归测试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.在经典线性回归模型y=Xβ+ε中，若E(ε)=0且Var(ε)=σ²I，则OLS估计量β̂的协方差矩阵为A.σ²(X'X)⁻¹ B.σ²X'X C.σ²I D.σ²X⁻¹2.当解释变量存在完全多重共线时，X'X的秩满足A.等于p B.小于p C.大于p D.等于n3.若残差平方和RSS=360，总平方和TSS=600，则决定系数R²为A.0.60 B.0.40 C.0.36 D.0.244.White检验主要用于诊断A.异方差 B.自相关 C.多重共线 D.模型设定偏误5.若DW统计量约等于4，则误差项最可能存在A.无自相关 B.正自相关 C.负自相关 D.异方差6.对数线性模型lny=β₀+β₁lnx+ε中，β₁的含义是A.边际效应 B.弹性 C.半弹性 D.增长率7.若某解释变量的VIF=8.5，则一般认为A.无共线 B.轻度共线 C.中度共线 D.严重共线8.在岭回归中，随着惩罚系数λ增大，估计量的方差与偏差将A.均增大 B.均减小 C.方差减小偏差增大 D.方差增大偏差减小9.若样本量n=25，解释变量个数k=4，调整后的R²与R²的关系是A.一定更大 B.一定更小 C.相等 D.无法确定10.对带约束回归，F统计量分子自由度为A.n−p B.p C.q D.n−q二、填空题（每题2分，共20分）11.高斯—马尔可夫定理指出，在满足经典假设下，OLS估计量是________估计量。12.若回归元矩阵X的第一列为全1向量，则截距项估计量β̂₀可表示为β̂₀=ȳ−∑β̂_jx̄_j，其中j从________开始。13.当误差项服从正态分布时，β̂的抽样分布为________分布。14.若预测新观测y₀的95%置信区间过宽，可通过增加________或降低________来缩窄。15.在逐步回归中，常用的进入显著性水平一般设为________，剔除显著性水平一般________进入水平。16.若变量z为x的二次项，则RamseyRESET检验将z作为________变量引入辅助回归。17.当采用稳健标准误时，t统计量的分母改用________标准误。18.若样本回归函数为ŷ=3+2x，则当x增加0.5单位时，y的平均变化量为________。19.对于时间序列回归，若残差呈现一阶自相关，可采用________变换进行补救。20.在Lasso回归中，当惩罚系数趋于无穷大时，非零系数个数趋于________。三、判断题（每题2分，共20分，正确写“T”，错误写“F”）21.若X'X奇异，则仍可通过广义逆得到唯一OLS估计量。22.R²越高，模型预测能力一定越强。23.当解释变量为虚拟变量时，其系数解释与连续变量相同。24.若模型遗漏重要变量，则误差项必然与解释变量相关。25.在异方差情况下，OLS估计量仍然无偏但不再有效。26.对数变换可缓解异方差问题，但可能引入新的非线性。27.若DW检验拒绝原假设，则可直接采用Cochrane-Orcutt方法修正。28.当样本量趋于无穷大时，AIC与BIC对模型复杂度的惩罚趋于一致。29.在多重共线情形下，删除共线变量一定可以提高模型解释力。30.若误差项服从t分布，则β̂的置信区间仍需使用正态临界值。四、简答题（每题5分，共20分）31.简述高斯—马尔可夫定理的五个经典假设及其作用。32.说明White异方差稳健标准误的计算思路及其与经典标准误的区别。33.写出利用F检验比较嵌套模型的步骤，并给出统计量公式。34.解释“方差膨胀因子”VIF的定义，并说明其如何量化多重共线程度。五、讨论题（每题5分，共20分）35.讨论在样本量较小且解释变量高度相关时，岭回归与Lasso回归在变量选择及预测精度上的差异。36.当误差项存在一阶自相关时，比较Cochrane-Orcutt迭代法与Prais-Winsten法在估计效率与样本利用上的优劣。37.分析决定系数R²与调整R²在模型比较中的局限性，并提出两种替代指标。38.针对大数据背景下的高维线性回归，讨论传统OLS估计面临的挑战及现代正则化方法的应对策略。答案与解析一、单项选择题1.A 2.B 3.B 4.A 5.C 6.B 7.C 8.C 9.B 10.C二、填空题11.最佳线性无偏(BLUE) 12.1 13.多元正态 14.样本量；模型复杂度 15.0.05；不小于 16.幂次或拟合值 17.稳健 18.1 19.Cochrane-Orcutt或Prais-Winsten 20.0三、判断题21.F 22.F 23.F 24.T 25.T 26.T 27.F 28.F 29.F 30.F四、简答题31.假设依次为：线性于参数、随机抽样、无完全共线、零条件均值、同方差且无自相关。它们保证OLS为BLUE。32.White通过残差平方对解释变量及其交叉项做辅助回归，得到方差函数估计，再修正标准误；与经典标准误相比，不依赖同方差假设。33.步骤：1.估计无约束模型得RSS_u；2.估计约束模型得RSS_r；3.计算F=[(RSS_r−RSS_u)/q]/[RSS_u/(n−p)]；4.与临界值比较。34.VIF_j=1/(1−R_j²)，其中R_j²为第j个变量对其余变量回归的决定系数；值越大共线越严重，通常以10为界限。五、讨论题35.岭回归通过L2惩罚收缩系数但不产生稀疏，适合预测；Lasso的L1惩罚可将部分系数压至零，实现变量选择，但可能过度收缩主效应；小样本下岭回归预测均方误差常更低。36.Cochrane-Orcutt采用迭代差分损失第一观测，效率低；Prais-Winsten保留第一观测并加权，样本利用更充分，有限样本效率更高。37.R²随变量增加而上升，调整R²虽惩罚变量数但仍基于同方差