2026年高考数学大一轮复习核心题型讲义+培优点专项突破练习(新高考版)第14讲三角函数的概念同角三角函数基本关系及诱导公式(学生版+解析)

第14讲三角函数的概念同角三角函数基本关系及诱导公式题型梳理题型梳理易错分析易错点一忽略角终边所在象限易错点二忽视角的取值范围题型方法题型一三角函数的定义题型二求扇形的弧长与面积题型三利用同角三角函数基本关系与诱导公式化简求值知识清单知识清单知识点01角的概念(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．(2)分类eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．知识点02弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．(2)公式角α的弧度数公式|α|＝eq\f(l,r)(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°＝eq\f(π,180)rad；1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧长公式弧长l＝|α|r扇形面积公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2知识点03任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义：设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．常用结论1．象限角2．轴线角知识点04同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).知识点05三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀奇变偶不变，符号看象限常用结论同角三角函数的基本关系式的常见变形sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.知识点06两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ；(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)；(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ).知识点07辅助角公式asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2)).知识拓展两角和与差的公式的常用变形：(1)sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ.(2)cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ.(3)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．tanαtanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β)＝eq\f(tanα－tanβ,tanα－β)－1.知识点08二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α：sin2α＝2sinαcosα.(2)公式C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)公式T2α：tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).知识点09常用的部分三角公式(1)1－cosα＝2sin2eq\f(α,2),1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2).(升幂公式)(2)1±sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)±cos\f(α,2)))2.(升幂公式)(3)sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，tan2α＝eq\f(1－cos2α,1＋cos2α).(降幂公式)易错分析易错分析【易错点一】忽略角终边所在象限【例1】设是第二象限角，P（－4，y）为其终边上的一点，且，则等于（

）A．－ B．－ C． D．【举一反三】【变式1】设是第三象限角，为其终边上的一点，且，则等于（

）A． B．C． D．【变式2】（2020·河南·模拟预测）若角的终边过点，且则实数的值为（

）A． B． C． D．【变式3】（2025·河北保定·一模）设是第二象限角，为其终边上一点，且，则．【易错点二】忽视角的取值范围【例2】（2023·海南·模拟预测）若，且，则（

）A． B． C． D．【举一反三】【变式1】（2024·辽宁大连·一模）若，且，则（

）A． B． C． D．1【变式2】（2020·宁夏银川·模拟预测）若，且，则（

）A． B． C． D．【变式3】（2025·陕西·一模）若，且，则．题型方法题型方法【题型一】三角函数的定义【例1】（2023·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边经过点，则（

）A． B． C．2 D．解题技巧(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标．(2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．【举一反三】【变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知点是角终边上的一点，则（

）A． B．1 C． D．【变式2】（2020·福建三明·模拟预测）已知角的终边上有一点，且，则实数的值为.【变式3】（2025·云南·三模）已知角的终边过点，则．【题型二】求扇形的弧长与面积【例2】（2025·浙江温州·二模）扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于（

）A．1 B． C．3 D．6解题技巧应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为基本不等式或二次函数的最值问题．【举一反三】【变式1】（2025·河南新乡·模拟预测）如图所示的“月牙形”阴影部分的边缘是两条不同曲线构成，其中一个是的外接圆的圆弧，另一个是以AB为直径的圆的一部分圆弧，已知，，则该月牙形即阴影部分面积为（

）A． B． C． D．【变式2】（2022·上海徐汇·一模）已知某圆锥的底面圆的半径为，若其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为．【变式3】（2022·江西南昌·一模）已知圆心在坐标原点的两个同心圆的半径分别为1和2，点和点分别从初始位置和处，按逆时针方向以相同速率同时做圆周运动.(1)当点运动的路程为时，求线段的长度；(2)记，，求的最大值.【题型三】利用同角三角函数基本关系与诱导公式化简求值【例3】（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（

）A． B． C． D．解题技巧同角三角函数基本关系(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用(1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．(2)注意角的范围对三角函数值符号的影响．【举一反三】【变式1】（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．【变式2】（2025·上海徐汇·三模）已知，且，则.【变式3】（2022·上海徐汇·模拟预测）已知角为锐角，且．(1)求的值；(2)求．好题必刷好题必刷一、单选题1．（2024·河北衡水·模拟预测）“角的终边在同一条直线上”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2025·河北衡水·模拟预测）已知某扇形的圆心角为2rad，面积为25，则该扇形所对应圆的面积为（

）A． B． C． D．3．（2025·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，设角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，，则（

）A．-2 B． C． D．24．（2025·山东济宁·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点是角终边上一点，则（

）A． B． C． D．5．（2025·甘肃白银·二模）已知动点的轨迹所构成的图形为图中阴影区域，其外边界为一个边长为4的正方形，内边界由四个直径相同且均与正方形一边相切的圆的四段圆弧组成，如图所示，则该阴影区域的面积为（

）

A． B． C． D．二、多选题6．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．7．（2025·浙江·三模）已知为锐角，若，则下列说法正确的有（

）A．的终边经过点 B．C． D．若，则三、填空题8．（2025·广东阳江·三模）已知，则.9．（2025·北京海淀·三模）在平面直角坐标系中，已知点，若点绕原点顺时针旋转到点，则点的横坐标为．10．（2025·福建漳州·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则.11．（2025·北京石景山·一模）如图，角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，则的值为四、解答题12．（2024·湖北·模拟预测）（1）求证：；（2）求值：.13．（2023·贵州·模拟预测）如图所示，角的终边与单位圆交于点，将绕原点按逆时针方向旋转后与圆交于点.

(1)求；(2)若的内角，，所对的边分别为，，，，，，求.14．（2025·湖北黄冈·模拟预测）在中，内角所对的边分别是，且.(1)求；(2)若构成等差数列，且的面积为12，求的值.15．（2022·重庆·二模）已知角，（，）的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点，分别在角，的终边上.(1)设函数，，求函数的值域；(2)若点在角的终边上，且线段的长度为，求的面积.16．（2025·河南新乡·模拟预测）某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值均为一个常数：①；②；③；④(1)试从上述4个式子中选择一个或两个，求出这个常数；(2)根据（1）的结果，将该同学的发现推广为一个关于变量的三角恒等式，并证明你的结论，第14讲三角函数的概念同角三角函数基本关系及诱导公式题型梳理题型梳理易错分析易错点一忽略角终边所在象限易错点二忽视角的取值范围题型方法题型一三角函数的定义题型二求扇形的弧长与面积题型三利用同角三角函数基本关系与诱导公式化简求值知识清单知识清单知识点01角的概念(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．(2)分类eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．知识点02弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．(2)公式角α的弧度数公式|α|＝eq\f(l,r)(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°＝eq\f(π,180)rad；1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧长公式弧长l＝|α|r扇形面积公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2知识点03任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义：设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．常用结论1．象限角2．轴线角知识点04同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).知识点05三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀奇变偶不变，符号看象限常用结论同角三角函数的基本关系式的常见变形sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.知识点06两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ；(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)；(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ).知识点07辅助角公式asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2)).知识拓展两角和与差的公式的常用变形：(1)sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ.(2)cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ.(3)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．tanαtanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β)＝eq\f(tanα－tanβ,tanα－β)－1.知识点08二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α：sin2α＝2sinαcosα.(2)公式C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)公式T2α：tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).知识点09常用的部分三角公式(1)1－cosα＝2sin2eq\f(α,2),1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2).(升幂公式)(2)1±sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)±cos\f(α,2)))2.(升幂公式)(3)sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，tan2α＝eq\f(1－cos2α,1＋cos2α).(降幂公式)易错分析易错分析【易错点一】忽略角终边所在象限【例1】设是第二象限角，P（－4，y）为其终边上的一点，且，则等于（

）A．－ B．－ C． D．【答案】A【分析】根据任意角三角函数的定义即可求解.【详解】因为，所以，解得，又是第二象限角，所以，所以．故选：A．【举一反三】【变式1】设是第三象限角，为其终边上的一点，且，则等于（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据任意角三角函数的定义即可求解.【详解】因为，所以，解得，又是第三象限角，所以，所以．故选：D．【变式2】（2020·河南·模拟预测）若角的终边过点，且则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出点的坐标，然后利用三角函数的定义结合求出实数的值.【详解】解：，则点的坐标为，因为．所以角的终边在第二象限或第三象限，故．再根据三角函数的定义得：，即，解得（舍)或.故选：C．【点睛】本题考查利用三角函数的定义求参数，在利用三角函数的定义列式时，要结合三角函数值符号判断出参数的符号，考查计算能力，属于基础题.【变式3】（2025·河北保定·一模）设是第二象限角，为其终边上一点，且，则．【答案】【分析】根据余弦函数的定义列方程解出，再利用正切函数的定义求解即可.【详解】由题：，又是第二象限角，所以，所以，故答案为：.【易错点二】忽视角的取值范围【例2】（2023·海南·模拟预测）若，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先左右两边平方，得出，再应用弦化切，最后结合角的范围可得求出正切值.【详解】因为，所以，即，所以，所以，得，解得或，因为，且，所以，所以，所以.故选：.【举一反三】【变式1】（2024·辽宁大连·一模）若，且，则（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】先利用三角恒等变换公式化简可得，结合可得，进而可得.【详解】由得，即，因为，所以，所以，结合，且，得，所以.故选：A.【变式2】（2020·宁夏银川·模拟预测）若，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式先求得的值，可得的值．【详解】∵，且，∴，则，化简可得，∴，则，故选：D．【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于基础题．【变式3】（2025·陕西·一模）若，且，则．【答案】【分析】由同角三角函数的基本关系与二倍角公式结合题意可得答案.【详解】因，则，，又，则，又，则.故答案为：题型方法题型方法【题型一】三角函数的定义【例1】（2023·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边经过点，则（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】根据三角函数的定义即可求解.【详解】由三角函数的定义可知，故选：A解题技巧(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标．(2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．【举一反三】【变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知点是角终边上的一点，则（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】由任意角的三角函数的定义，可得正弦值与余弦值，可得答案.【详解】由题意可得，，则.故选：D.【变式2】（2020·福建三明·模拟预测）已知角的终边上有一点，且，则实数的值为.【答案】3【分析】由角的终边经过点，且，可得利用三角函数的定义即可确定的值.【详解】因为角的终边经过点，且，所以则故答案为：3.【变式3】（2025·云南·三模）已知角的终边过点，则．【答案】【分析】根据三角函数的定义，求得，，代入计算，即可求解.【详解】因为的终边过点，根据三角函数的定义，可得，，所以.故答案为：．【题型二】求扇形的弧长与面积【例2】（2025·浙江温州·二模）扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于（

）A．1 B． C．3 D．6【答案】C【分析】根据扇形面积公式计算求解.【详解】设圆心角为，所以，所以3故选：C.解题技巧应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为基本不等式或二次函数的最值问题．【举一反三】【变式1】（2025·河南新乡·模拟预测）如图所示的“月牙形”阴影部分的边缘是两条不同曲线构成，其中一个是的外接圆的圆弧，另一个是以AB为直径的圆的一部分圆弧，已知，，则该月牙形即阴影部分面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据圆和扇形面积的计算方法，分别求出弓形的面积和半圆的面积，作差可得月牙形面积.【详解】如图所示，根据已知和图形知，设以为外接圆的圆心为，直径由正弦定理得，即，在圆中，根据圆心角和圆周角的关系，可知，由扇形面积公式可得，易知以直径的半圆的半径为，即，于是，故选：A.【变式2】（2022·上海徐汇·一模）已知某圆锥的底面圆的半径为，若其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为．【答案】【分析】根据底面圆的半径求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的侧面积.【详解】设底面圆的半径为，圆锥的母线长为，则，因为其侧面展开图为一个半圆，所以.故答案为：【变式3】（2022·江西南昌·一模）已知圆心在坐标原点的两个同心圆的半径分别为1和2，点和点分别从初始位置和处，按逆时针方向以相同速率同时做圆周运动.(1)当点运动的路程为时，求线段的长度；(2)记，，求的最大值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）通过A点运动的路程，求出的大小，再借助余弦定理求边长.（2）设出角度，分别表示和，借助倍角公式转化成二次函数的最值问题.【详解】（1）因为点运动的路程为，，所以，又，所以，，由余弦定理，所以.（2）设则，所以，，则，所以当时，取得最大值.【题型三】利用同角三角函数基本关系与诱导公式化简求值【例3】（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案.【详解】，因为，则，则，则.故选：D.解题技巧同角三角函数基本关系(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用(1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．(2)注意角的范围对三角函数值符号的影响．【举一反三】【变式1】（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，利用二倍角的余弦公式即可求解.【详解】由，故选：A.【变式2】（2025·上海徐汇·三模）已知，且，则.【答案】/【分析】由同角三角函数的基本关系和诱导公式进行求解.【详解】由，，则，故.故答案为：【变式3】（2022·上海徐汇·模拟预测）已知角为锐角，且．(1)求的值；(2)求．【答案】(1)(2)【分析】(1)根据题意，化简，得出，利用角进而求解.(2)根据，利用平方关系求出和，再结合两角差的正弦公式求解即可.【详解】（1）由题知，为锐角，所以，，因为，两边同时除以，得，所以.（2）由(1)知，，又，为锐角，所以，，所以．好题必刷好题必刷一、单选题1．（2024·河北衡水·模拟预测）“角的终边在同一条直线上”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】借助的值，直接分别判断充分性和必要性.【详解】由角的终边在同一条直线上，得，即，所以.反之，由，得，当为偶数时，角的终边在同一条射线上；当为奇数时，角的终边在同一条直线上.综上，“角的终边在同一条直线上”是“”的充要条件.故选：C.2．（2025·河北衡水·模拟预测）已知某扇形的圆心角为2rad，面积为25，则该扇形所对应圆的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据扇形的面积公式可以求出扇形的半径，从而求出扇形对应圆的面积.【详解】因为该扇形的圆心角为，面积为25，根据，可得，所以.故选：3．（2025·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，设角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，，则（

）A．-2 B． C． D．2【答案】B【分析】利用三角函数的定义求出，再结合诱导公式可得.【详解】由题意可得，，则，解得（舍去）.故选：B4．（2025·山东济宁·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点是角终边上一点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角函数的定义可得，进而可求得，，利用两角差的余弦公式可求得的值.【详解】由题意可得，，所以，，.故选：A.5．（2025·甘肃白银·二模）已知动点的轨迹所构成的图形为图中阴影区域，其外边界为一个边长为4的正方形，内边界由四个直径相同且均与正方形一边相切的圆的四段圆弧组成，如图所示，则该阴影区域的面积为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】将图分为八部分，通过切割的思想即可得结果.【详解】如图，作出辅助线，根据图形的对称性，可知阴影区域的面积为.故选：D.

二、多选题6．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】直接由三角函数定义、诱导公式验算即可.【详解】由题意，从而.故选：AD.7．（2025·浙江·三模）已知为锐角，若，则下列说法正确的有（

）A．的终边经过点 B．C． D．若，则【答案】ACD【分析】对于A，由二倍角正切公式结合可得，结合为锐角可判断选项正误；对于B，由A可得，然后由诱导公式可判断选项正误；由B结合二倍角余弦公式可得答案；对于D，由两角差的正切公式可判断选项正误.【详解】对于A，，又为锐角，则，则，则的终边经过点，取，则的终边经过点，故A正确；对于B，因，又为锐角，则，则，则，故B错误；对于C，，又，则，则，故C正确；对于D，，故D正确.故选：ACD.三、填空题8．（2025·广东阳江·三模）已知，则.【答案】/【分析】由两角差的正弦结合同角的三角函数关系得到，再利用二倍角的余弦公式计算可得.【详解】由可得，化简可得，又，所以，所以.故答案为：##.9．（2025·北京海淀·三模）在平面直角坐标系中，已知点，若点绕原点顺时针旋转到点，则点的横坐标为．【答案】【分析】由题意作图，根据三角函数的定义，利用余弦函数的差角公式，可得答案.【详解】设坐标原点为，设角终边为射线，则角的终边即为射线．由题意可知，，，．故．所以点的横坐标为．故答案为：10．（2025·福建漳州·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则.【答案】【分析】利用三角函数的定义求解即可.【详解】已知角的终边过点，则，.计算半径.利用三角函数定义:

因此，

故答案为：11．（202