2026年高考数学大一轮复习核心题型讲义+培优点专项突破练习(新高考版)第16讲三角恒等变换(知识清单+8必考题型)(学生版+解析)

第16讲三角恒等变换题型梳理题型梳理题型方法题型一两角和与差题型二二倍角公式题型三半角公式题型四万能公式题型五积化和差与和差化积公式题型六降幂公式题型七辅助角公式题型八三角恒等变换的应用知识清单知识清单知识点01两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；(2)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；(3)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ；(4)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；(5)tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)；(6)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ).知识点02二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α：sin2α＝2sinαcosα.

(2)公式C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)公式T2α：tan2α＝2tanα知识点03半角公式(不要求记忆)sinα2＝±1−cosα2；cosα2＝±1＋cosα2；tanα知识点04积化和差公式(1)cosαcosβ＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)](2)sinαsinβ＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)](3)sinαcosβ＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)](4)cosαsinβ＝12[sin(α＋β)－sin(α－β知识点05和差化积公式(1)sinθ＋sinφ＝2sinθ＋φ2(2)sinθ－sinφ＝2cosθ＋φ2(3)cosθ＋cosφ＝2cosθ＋φ2(4)cosθ－cosφ＝－2sinθ＋φ2知识点06熟记常用的部分三角公式(1)1－cosα＝2sin2α2，1＋cosα＝2cos2α2(2)1±sinα＝sinα2±cos(3)sin2α＝1−cos2α2，cos2tan2α＝1−cos2α1＋(4)半角正切公式的有理化tanα2(5)万能公式sinα＝2tanα21＋tanα＝2tanα(6)三角平方差公式sin2α－sin2β＝sin(α＋β)sin(α－β)；cos2α－sin2β＝cos(α＋β)cos(α－β).题型方法题型方法题型一两角和与差【例1】（2025·广西柳州·模拟预测）已知，则（

）A． B． C．2 D．【变式1】（2025·海南·模拟预测）已知，则（

）A． B． C．1 D．-1【变式2】（2025·全国·二模）已知，则．【变式3】（2025·山东泰安·模拟预测）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称.若，则=.题型二二倍角公式【例2】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知，则（

）A．1 B．2 C．或2 D．1或2【变式1】（2025·安徽芜湖·模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．【变式2】（2025·山东泰安·模拟预测）若，且，则（

）A． B． C． D．【变式3】（2025·云南玉溪·模拟预测）若角的终边经过点，则．【变式4】（2025·山东青岛·模拟预测）已知，，则.题型三半角公式【例3】（2025·甘肃兰州·模拟预测）若，且，则等于（

）A． B． C． D．【变式1】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（

）．A． B． C． D．【变式2】（多选）（2024·全国·模拟预测）下列有关三角函数的公式中，正确的有（

）A． B．C． D．【变式3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（

）A． B． C．或 D．【变式4】（2025·辽宁本溪·模拟预测）若，且，则.题型四万能公式【例4】（2023·河北·模拟预测）若，则（

）A． B． C． D．1【变式1】（23-24高三下·河北张家口·开学考试）已知，是第四象限角，则（

）A． B． C． D．【变式2】（2023·湖北·二模）已知，则（

）A． B．－1 C． D．【变式3】（2025·江西新余·模拟预测）已知，则（

）A． B． C．3 D．题型五积化和差与和差化积公式【例5-1】（2024·广东·一模）已知，则（

）A． B． C． D．【例5-2】（2025·江西南昌·二模）已知、终边不重合，，则（

）A． B． C． D．【变式1】（2025·湖南常德·一模）已知，则（

）A． B．7 C． D．【变式2】（2024·广东广州·模拟预测）已知，，且为第一象限角，则（

）A． B． C． D．【变式3】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设数列的前n项和为，若，则.题型六降幂公式【例6】（2025·山东·模拟预测）已知为的内角，若，则（

）A． B．C． D．【变式1】（2025·湖北十堰·三模）已知，，则（

）A． B． C． D．【变式2】（2025·浙江·三模）已知，且满足，则，则．题型七辅助角公式【例7】（2025·四川广安·模拟预测）已知函数为偶函数，则的值为（

）A． B． C． D．【变式1】（2025·四川绵阳·模拟预测）若函数为奇函数，则．【变式2】（2025·河北邢台·二模）已知，，且，则（

）A． B． C． D．【变式3】（2025·上海·模拟预测），恒成立，则．题型八三角恒等变换的应用【例8】（2025·湖南永州·模拟预测）的值为（

）A． B． C． D．【变式1】（2025·甘肃白银·一模）已知，则（

）A． B． C． D．【变式2】（2025·广东珠海·模拟预测）设，，且，则（

）A． B． C． D．【变式3】（2025·湖北十堰·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且．(1)判断的形状；(2)设，且是边的中点，当最大时，求的面积．【变式4】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，.（1）求；（2）求；（3）求的值.好题必刷好题必刷一、单选题1．（2024·江西九江·二模）已知，，，则（

）A． B． C． D．2．已知，则的值为（

）A． B． C． D．3．（2024·四川·模拟预测）已知，，，若，，则（

）A． B． C． D．4．（2025·安徽淮北·模拟预测）已知且则tanβ=（

）A．3 B．2 C． D．5．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知，，，则（

）A． B． C． D．6．若，则（

）A． B． C． D．7．（2025·安徽蚌埠·三模）已知，则（

）A． B． C． D．二、多选题8．（2024·辽宁·模拟预测）已知，则（

）A． B．C． D．9．（2023·山西·模拟预测）已知，且，，则（

）A． B．C． D．三、填空题10．（2024·黑龙江佳木斯·三模）已知，，则．11．若，，且，，则的值是．12．（2024·辽宁·二模）已知，则．13．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知，则的值为．四、解答题14．（2024·天津·一模）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.15．（2024·天津红桥·二模）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，且．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．16．已知函数.（Ӏ）求函数的单调递增区间；（ӀӀ）若，求的值.17．在中，角A，，的对边分别为，，，且.(1)求；(2)若，求.18．（2023·天津·一模）在中，内角、、的对边分别为、、，已知．(1)求角的大小；(2)设，，求和的值．19．（2024·四川宜宾·一模）已知函数，在锐角中，内角的对边分别为，且.(1)求；(2)若，求的取值范围.20．（2025·天津南开·一模）在中，内角的对边分别为，且．(1)求边的长；(2)求的值；(3)求的值．第16讲三角恒等变换题型梳理题型梳理题型方法题型一两角和与差题型二二倍角公式题型三半角公式题型四万能公式题型五积化和差与和差化积公式题型六降幂公式题型七辅助角公式题型八三角恒等变换的应用知识清单知识清单知识点01两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；(2)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；(3)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ；(4)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；(5)tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)；(6)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ).知识点02二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α：sin2α＝2sinαcosα.

(2)公式C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)公式T2α：tan2α＝2tanα知识点03半角公式(不要求记忆)sinα2＝±1−cosα2；cosα2＝±1＋cosα2；tanα知识点04积化和差公式(1)cosαcosβ＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)](2)sinαsinβ＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)](3)sinαcosβ＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)](4)cosαsinβ＝12[sin(α＋β)－sin(α－β知识点05和差化积公式(1)sinθ＋sinφ＝2sinθ＋φ2(2)sinθ－sinφ＝2cosθ＋φ2(3)cosθ＋cosφ＝2cosθ＋φ2(4)cosθ－cosφ＝－2sinθ＋φ2知识点06熟记常用的部分三角公式(1)1－cosα＝2sin2α2，1＋cosα＝2cos2α2(2)1±sinα＝sinα2±cos(3)sin2α＝1−cos2α2，cos2tan2α＝1−cos2α1＋(4)半角正切公式的有理化tanα2(5)万能公式sinα＝2tanα21＋tanα＝2tanα(6)三角平方差公式sin2α－sin2β＝sin(α＋β)sin(α－β)；cos2α－sin2β＝cos(α＋β)cos(α－β).题型方法题型方法题型一两角和与差【例1】（2025·广西柳州·模拟预测）已知，则（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】先应用两角和正切公式计算得出，再弦化切得出齐次式的值.【详解】因为，所以，所以，则.故选：D.【变式1】（2025·海南·模拟预测）已知，则（

）A． B． C．1 D．-1【答案】A【分析】由两角和差的正切公式即可求解.【详解】，所以，故选：A【变式2】（2025·全国·二模）已知，则．【答案】【分析】利用同角三角函数关系得到，凑角，由正切和角公式得到答案.【详解】，即，.故答案为：.【变式3】（2025·山东泰安·模拟预测）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称.若，则=.【答案】【分析】由题意有利用两角差的正弦公式展开计算即可求解.【详解】∵角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称.，∴∴故答案为：.题型二二倍角公式【例2】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知，则（

）A．1 B．2 C．或2 D．1或2【答案】D【知识点】已知弦（切）求切（弦）、诱导公式五、六、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式【分析】根据诱导公式和二倍角公式将已知化简得，然后同除得，求解即可.【详解】因为，所以，所以，即，所以，即，解得1或2.故选：D【变式1】（2025·安徽芜湖·模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的余弦公式【分析】由三角恒等变换即可求解.【详解】根据题意，，.故选：A.【变式2】（2025·山东泰安·模拟预测）若，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、二倍角的正切公式【分析】利用二倍角公式对已知条件进行化解，结合齐次式可求，然后根据正切的二倍角公式可求.【详解】.故选：C.【变式3】（2025·云南玉溪·模拟预测）若角的终边经过点，则．【答案】【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、二倍角的正弦公式【分析】根据角的终边经过的点的坐标，结合公式计算出该角的正弦值和余弦值，再运用二倍角的正弦公式即可.【详解】若角的终边经过点，则，，.故答案为：.【变式4】（2025·山东青岛·模拟预测）已知，，则.【答案】【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正切公式【分析】根据两角和与差的正切公式、二倍角公式求解即可.【详解】由，，则，所以，则.故答案为：.题型三半角公式【例3】（2025·甘肃兰州·模拟预测）若，且，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、半角公式【分析】由平方关系、半角公式即可求解.【详解】因为，且，所以，又，所以．故选：D.【变式1】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（

）．A． B． C． D．【答案】D【知识点】半角公式、二倍角的余弦公式【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【详解】因为，而为锐角，解得：．故选：D．【变式2】（多选）（2024·全国·模拟预测）下列有关三角函数的公式中，正确的有（

）A． B．C． D．【答案】ABC【知识点】半角公式【分析】由二倍角公式及诱导公式求解．【详解】由，得，故A，B两项正确；，故C项正确；，故D项错误，故选：ABC【变式3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（

）A． B． C．或 D．【答案】B【知识点】半角公式、正、余弦齐次式的计算、由终边或终边上的点求三角函数值【分析】根据角的范围可确定为二､四象限角，则，即可利用二倍角公式得，利用弦切互化即可求解.【详解】由题意，得角是第四象限角，则，故，则为二､四象限角，则，又因为，所以（舍去）或，所以.故选：B.【变式4】（2025·辽宁本溪·模拟预测）若，且，则.【答案】【知识点】二倍角的余弦公式、半角公式【分析】由，结合余弦二倍角公式求得，再结合半角公式即可求解.【详解】由，得，解得或，又，所以，所以，所以，故答案为：题型四万能公式【例4】（2023·河北·模拟预测）若，则（

）A． B． C． D．1【答案】C【知识点】万能公式、二倍角的余弦公式【分析】将用替换后，解方程解出即可.【详解】因为，可得，可得，解得，因为，所以，所以，所以.故选：C.【变式1】（23-24高三下·河北张家口·开学考试）已知，是第四象限角，则（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、三角函数的化简、求值——诱导公式、万能公式【分析】根据诱导公式可得，即可根据同角关系得，进而即可由半角公式求解.【详解】由可得，故，由于是第四象限角，故，∴．故选：D．【变式2】（2023·湖北·二模）已知，则（

）A． B．－1 C． D．【答案】C【知识点】正、余弦齐次式的计算、诱导公式五、六、万能公式、给值求值型问题【分析】应用诱导公式、商数关系可得，再由和角正切公式展开求得，最后由求值即可.【详解】由，所以，则，所以，则，故，由.故选：C【变式3】（2025·江西新余·模拟预测）已知，则（

）A． B． C．3 D．【答案】A【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、万能公式、二倍角的余弦公式、和差化积公式【分析】根据两角和差的余弦可得，再由同角三角函数的基本关系式得，故可求，从而求得.【详解】因为，又因为，且，,所以，故，又由于，所以，由于，故选：A．题型五积化和差与和差化积公式【例5-1】（2024·广东·一模）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】二倍角的余弦公式、积化和差公式【分析】根据条件，利用余弦的二倍角及积化和差公式，得到，从而得到，即可求出结果.【详解】因为，得到，又，所以，所以，故选：B.【例5-2】（2025·江西南昌·二模）已知、终边不重合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】和差化积公式、二倍角的正切公式【分析】由，代入已知等式，利用两角和、差的正弦、余弦公式化简得出的值，再利用二倍角的正切公式可求得的值.【详解】因为，所以，即，，所以，，因为、的终边不重合，则，则，所以，则，所以，因此，.故选：D.【变式1】（2025·湖南常德·一模）已知，则（

）A． B．7 C． D．【答案】C【知识点】二倍角的余弦公式、和差化积公式【分析】先利用条件求出，然后可得答案.【详解】因为，所以，由和差化积公式可得，因为，所以，由，可得，所以.故选：C【变式2】（2024·广东广州·模拟预测）已知，，且为第一象限角，则（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】和差化积公式、用和、差角的正切公式化简、求值【分析】首先利用和差化积公式化简，再利用二倍角的正切公式，建立方程，即可求解.【详解】，设，则，因为为第一象限角，所以是第一或第三象限角，所以，设，整理为，得（舍）或，则，，所以.故选：B【变式3】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设数列的前n项和为，若，则.【答案】/0.5【知识点】积化和差公式、裂项相消法求和【分析】先由积化和差公式化简得到，再代入，化简可得结果.【详解】由积化和差公式可得，则.故答案为：.题型六降幂公式【例6】（2025·山东·模拟预测）已知为的内角，若，则（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】sin2x的降幂公式及应用、cos2x的降幂公式及应用【分析】由二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式即可得，进而得，逐项验证即可求解.【详解】由题意有，所以，即，故C错误，又为的内角，所以，所以，故A正确，B错误，由，即，又，必有，由已知不能推出此条件，故D错误.故选：A.【变式1】（2025·湖北十堰·三模）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】特殊角的三角函数值、诱导公式五、六、二倍角的正弦公式、cos2x的降幂公式及应用【分析】利用三角恒等变换化简题干中的两个等式，可得出、的关系，可得出的值，即可得出的值.【详解】因为，所以，因为，所以，故，所以，即，故.故选：A.【变式2】（2025·浙江·三模）已知，且满足，则，则．【答案】/【知识点】正、余弦齐次式的计算、二倍角的余弦公式、cos2x的降幂公式及应用【分析】运用降幂公式、两角和的余弦公式进行化简，结合角的范围可得，进而可求，利用二倍角公式和齐次化即可求的值.【详解】因为，，所以，由得，即，所以，所以，得，所以．故答案为：题型七辅助角公式【例7】（2025·四川广安·模拟预测）已知函数为偶函数，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数、辅助角公式【分析】利用辅助角公式化简函数，利用偶函数性质，可得，或，结合即可求解.【详解】函数为偶函数，需满足.将函数化简：.由偶函数性质得：即利用正弦函数的性质，可得：（舍去，因为不恒成立），或解得：，即结合，得.故选：B.【变式1】（2025·四川绵阳·模拟预测）若函数为奇函数，则．【答案】【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数、辅助角公式【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质列式求解.【详解】依题意，，其中锐角由确定，由为奇函数，得，即，所以.故答案为：【变式2】（2025·河北邢台·二模）已知，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】诱导公式五、六、辅助角公式【分析】利用辅助角公式和诱导公式可得，结合角的范围，可得，可求解.【详解】因为，，，所以，，所以，则．故选：D．【变式3】（2025·上海·模拟预测），恒成立，则．【答案】【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式【分析】首先利用辅助角公式，化简函数，再根据函数的性质求，最后代入求的值.【详解】，令，得，，由恒成立，可知，，，则.故答案为：题型八三角恒等变换的应用【例8】（2025·湖南永州·模拟预测）的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】给角求值型问题【详解】先将进行变形，再利用三角函数中辅助角公式、二倍角的正弦公式化简计算即可．【分析】.故选：D.【变式1】（2025·甘肃白银·一模）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的余弦公式、给值求值型问题【分析】根据诱导公式和二倍角余弦公式求解即可.【详解】..故选：D.【变式2】（2025·广东珠海·模拟预测）设，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】给值求角型问题、用和、差角的正弦公式化简、求值、诱导公式五、六【分析】根据已知得，结合角的范围及诱导公式得到或，即可得.【详解】由题设，所以，因为，，则，又，所以或，即或（舍），故．故选：D【变式3】（2025·湖北十堰·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且．(1)判断的形状；(2)设，且是边的中点，当最大时，求的面积．【答案】(1)为等腰三角形(2)【知识点】利用三角恒等变换判断三角形的形状、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值【分析】（1）根据条件，利用倍角公式及平方关系得到，进而得到，即可求解；（2）根据条件及余弦定理得到，利用基本不等式得到，进而可得，从而有当最大时，为正三角形，即可求解.【详解】（1）因为，所以，即，整理得，所以．

因为，则，所以，即，则为等腰三角形．（2）由（1）及题设，有，所以，当且仅当时，等号成立．

又为三角形内角，所以，即的最大值为，

此时，又，所以，故，可得三角形ACD为直角三角形且．

可得为正三角形，又，所以当最大时，的面积．【变式4】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，.（1）求；（2）求；（3）求的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【知识点】三角恒等变换的化简问题、三角形中的三角恒等式、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形【分析】（1）用余弦定理求解；（2）第一问的基础上，用正弦定理求解；（3）在第二问的基础上，先求解和的值，然后求解出.【详解】（1）由余弦定理得，所以，即，解得.所以.（2）由正弦定理，得，解得.（3）由，可知为锐角.所以由（2）可得.所以，，所以.好题必刷好题必刷一、单选题1．（2024·江西九江·二模）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系得到方程组，即可求出、，再求出即可.【详解】因为，，所以，解得，所以，又，所以，所以.故选：A2．已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意得到进而得到，，从而有.【详解】∵，∴，则，，∴，故选A.【点睛】本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，诱导公式，属于基础题.3．（2024·四川·模拟预测）已知，，，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知条件及同角三角函数的平方关系，利用两角差的余弦公式及三角函数的特殊值，注意角的范围即可求解.【详解】由，，得，，∴，即，∴，解得.又，，，∴，∴，∴，∴，∴.故选：A.4．（2025·安徽淮北·模拟预测）已知且则tanβ=（

）A．3 B．2 C． D．【答案】C【分析】根据求得，代入题意中的等式，利用二倍角的余弦公式求出，结合同角的商数关系计算即可求解.【详解】因为，所以，得，又，解得，由，解得，所以，所以.故选：C5．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由及，得，再将正切变成正弦和余弦，化简并结合同角三角函数的基本关系可求解出，再利用二倍角关系求解即可.【详解】由及，得.又由，得，得，所以，而，故选：B.6．若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：．故选：C．【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．7．（2025·安徽蚌埠·三模）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角函数的诱导公式对进行化简，结合已知条件求解.【详解】因为，所以，因为，所以，所以==.故选：D.二、多选题8．（2024·辽宁·模拟预测）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据题意利用可判断A选项；由和判断的取值范围，进而易得，可判断B选项；先求，然后利用可判断C选项；由可判断D选项.【详解】对于A：因为，，所以,故A错误；对于B：，则又，所以，所以，故B正确；对于C：由，可得，，又，所以，故C错误；对于D：根据C选项知，所以,故D正确.故选：BD．9．（2023·山西·模拟预测）已知，且，，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由正切关系得到正余弦关系，结合，分别求出和，判断出AB选项，再由二倍角公式和和差角公式判断出CD选项.【详解】∵，即，∴，∴，∴，B选项正确，∴，A选项错误，∴，C选项正确，∵，∴，∴，D选项错误.故选：BC三、填空题10．（2024·黑龙江佳木斯·三模）已知，，则．【答案】【分析】根据结合两角差的余弦公式即可得解.【详解】因为，所以，又，所以，所以.故答案为：.11．若，，且，，则的值是．【答案】【分析】根据同角三角函数的平方关系式，解出相关角的三角函数值，继而求得的余弦值，结合角的范围即可求解.【详解】因为，所以，且，所以，则，且，由，所以，又，所以，则，所以，又，所以.故答案为:.12．（2024·辽宁·二模）已知，则．【答案】【分析】利用余弦的和角公式，同角三角形函数的和积关系及二倍角公式先得，再将三倍角化为二倍角推导计算得即可.【详解】由，得即，两边平方得，得，所以．故答案为：．13．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知，则的值为．【答案】【分析】由题意可得，再由三角恒等变换可得，即可得答案.【详解】解：因为，即，解得，所以.故答案为：四、解答题14．（2024·天津·一模）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用正弦