2026年高考数学大一轮复习核心题型讲义+培优点专项突破练习(新高考版)培优点03洛必达法则(学生版+解析)

培优点03洛必达法则题型梳理题型梳理题型方法题型一用洛必达法则处理00题型二用洛必达法则处理eq\f(∞,∞)型函数知识清单知识清单“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法(避免分类讨论)解决成立或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数(最)值，若出现eq\f(0,0)型或eq\f(∞,∞)型可以考虑使用洛必达法则．洛必达法则：法则1eq\f(0,0)型若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)eq\o(lim,\s\do4(x→a))f(x)＝0及eq\o(lim,\s\do4(x→a))g(x)＝0；(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；(3)eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(f′x,g′x)＝l，那么eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(fx,gx)＝eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(f′x,g′x)＝l.法则2eq\f(∞,∞)型若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)eq\o(lim,\s\do4(x→a))f(x)＝∞及eq\o(lim,\s\do4(x→a))g(x)＝∞；(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；(3)eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(f′x,g′x)＝l，那么eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(fx,gx)＝eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(f′x,g′x)＝l.注意：1．将上面公式中的x→a，x→∞换成x→＋∞，x→－∞，x→a＋，x→a－，洛必达法则也成立．2．洛必达法则可处理eq\f(0,0)，eq\f(∞,∞)，0·∞，1∞，∞0,00，∞－∞型求极限问题．3．在着手求极限前，首先要检查是否满足eq\f(0,0)，eq\f(∞,∞)，0·∞，1∞，∞0,00，∞－∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错，当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限．4．若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止．eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(fx,gx)＝eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(f′x,g′x)＝eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(f″x,g″x)，如满足条件，可继续使用洛必达法则．题型方法题型方法【题型一】用洛必达法则处理00【例1】我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则．解题技巧用洛必达法则处理eq\f(0,0)型函数的步骤：(1)分离变量；(2)出现eq\f(0,0)型式子；(3)运用洛必达法则求值【举一反三】【变式1】（2025·河北·三模）洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法则：给定两个函数，当时，.已知函数，.(1)证明：在区间上单调递减；(2)对于恒成立，求实数的取值范围；(3)，证明：（附：）.【变式2】（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则.②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题：(1)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；(2)计算：；(3)证明：，.【变式3】①在高等数学中，关于极限的计算，常会用到：i)四则运算法则：如果，，则，，若B≠0，则；ii)洛必达法则：若函数，的导函数分别为，，，，则；②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对，均有成立，则称函数为区间(0,a)上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题；(1)计算：①；②；(2)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；并证明：，.【题型二】用洛必达法则处理eq\f(∞,∞)型函数【例2】两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如，则（

）A． B． C．1 D．2解题技巧用洛必达法则处理eq\f(∞,∞)型函数的步骤：(1)分离变量；(2)出现eq\f(∞,∞)型式子；(3)运用洛必达法则求值．【举一反三】【变式1】（24-25高二下·河南商丘·期末）“洛必达法则”是研究微积分时经常用到的一个重要定理，洛必达法则之一的内容是：若函数，的导数都存在，且，如果是常数）时，或或，且（是常数），则时，．已知函数．(1)证明：时曲线在点处的切线与曲线也相切；(2)若函数有两个零点，函数有两个零点．①指出的大致范围（不必说明理由），并求出的取值范围；②试探究与的大小关系．【变式2】（2024·河北邢台·二模）在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式型或型极限的一种重要方法，其含义为：若函数和满足下列条件：①且（或，）；②在点的附近区域内两者都可导，且；③（可为实数，也可为），则．(1)用洛必达法则求；(2)函数（，），判断并说明的零点个数；(3)已知，，，求的解析式．参考公式：，．【变式3】极限，是微积分学中一个重要概念.有些简单函数的求极限是可以直接写出的，例如，.如果当（或）时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，那么我们通常把极限叫作未定式，并分别简记为或.当（或），极限为未定式且、、存在时，有：.这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则（）.(1)使用洛必达法则，求极限；①；②；③(2)求极限（选择一个可用合适方式解答的式子作答，多个题目作答，以第一道作答题目计分）：①；②；③；(3)且，，恒成立.①直接写出解析式；②求的取值范围.好题必刷好题必刷一、单选题1．（22-23高二下·新疆伊犁·期中）我们把分子､分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，则（

）A． B． C．1 D．2二、填空题2．（21-22高三上·湖北襄阳·期末）我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则．三、解答题3．（2025·江苏徐州·模拟预测）洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法则：给定两个函数，当时，.已知函数，.(1)对于恒成立，求实数的取值范围；(2)，证明：（附：）.4．在研究函数问题时，我们经常遇到求函数在某个区间上值域的问题，但函数在区间端点又恰好没有意义的情况，此时我们就可以用函数在这点处的极限来刻画该点附近数的走势，从而得到数在区间上的值域.求极限我们有多种方法，其中有一种十分简单且好用的方法——洛必达法则该法则表述为：“设函数，满足下列条件：①，；②在点a处函数和的图像是连续且光滑的，即函数和在点a处存在导数；③，其中A是某固定实数；则.”那么，假设有函数，.(1)若恒成立，求t的取值范围；(2)证明：.5．（24-25高三上·湖北·期末）1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，算法之一为：若函数和满足下列条件：①，②在点a的去心邻域内与可导，且③，那么据此回答下面问题：(1)求的值，并用导数的定义证明：(2)已知（i）求函数的单调递减区间;（ii）若对任意恒成立，求实数a的取值范围.6．①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有一结论：若函数，的导函数分别为，，且，则；②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题：(1)证明不是区间上的2阶无穷递降函数；(2)计算：；(3)记，；求证：.培优点03洛必达法则题型梳理题型梳理题型方法题型一用洛必达法则处理00题型二用洛必达法则处理eq\f(∞,∞)型函数知识清单知识清单“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法(避免分类讨论)解决成立或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数(最)值，若出现eq\f(0,0)型或eq\f(∞,∞)型可以考虑使用洛必达法则．洛必达法则：法则1eq\f(0,0)型若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)eq\o(lim,\s\do4(x→a))f(x)＝0及eq\o(lim,\s\do4(x→a))g(x)＝0；(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；(3)eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(f′x,g′x)＝l，那么eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(fx,gx)＝eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(f′x,g′x)＝l.法则2eq\f(∞,∞)型若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)eq\o(lim,\s\do4(x→a))f(x)＝∞及eq\o(lim,\s\do4(x→a))g(x)＝∞；(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；(3)eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(f′x,g′x)＝l，那么eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(fx,gx)＝eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(f′x,g′x)＝l.注意：1．将上面公式中的x→a，x→∞换成x→＋∞，x→－∞，x→a＋，x→a－，洛必达法则也成立．2．洛必达法则可处理eq\f(0,0)，eq\f(∞,∞)，0·∞，1∞，∞0,00，∞－∞型求极限问题．3．在着手求极限前，首先要检查是否满足eq\f(0,0)，eq\f(∞,∞)，0·∞，1∞，∞0,00，∞－∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错，当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限．4．若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止．eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(fx,gx)＝eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(f′x,g′x)＝eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(f″x,g″x)，如满足条件，可继续使用洛必达法则．题型方法题型方法【题型一】用洛必达法则处理00【例1】我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则．【答案】/0.5【分析】依据洛必达法则去计算即可解决.【详解】故答案为：解题技巧用洛必达法则处理eq\f(0,0)型函数的步骤：(1)分离变量；(2)出现eq\f(0,0)型式子；(3)运用洛必达法则求值【举一反三】【变式1】（2025·河北·三模）洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法则：给定两个函数，当时，.已知函数，.(1)证明：在区间上单调递减；(2)对于恒成立，求实数的取值范围；(3)，证明：（附：）.【答案】(1)证明见解析(2)(3)证明见解析【分析】（1）先求函数的导函数，再结合分分别求出导函数正负得出函数单调性即可证明；（2）先把不等式恒成立转化为，再结合函数单调性得出函数值范围即可求参；（3）构造函数，根据导函数得出函数单调性即可证明不等式再结合累加法及等比数列求和即可证明.【详解】（1），令，则，令，则，若，则单调递减，单调递减，，在上单调递减，若，则单调递增，，即存在唯一，使得，且在上，单调递减，在上，单调递增，且，在区间上单调递减，且在上连续，综上，在区间上单调递减.（2）当时，，成立.当时，由可得，令，由（1）可知在上单调递减，.由洛必达法则：，.（3）当且时，，令，则，令，则，在上单调递增，，即在上单调递增，（当时取等号），，，，，即.【变式2】（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则.②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题：(1)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；(2)计算：；(3)证明：，.【答案】(1)不是区间上的2阶无穷递降函数；(2)(3)证明见解析【分析】（1）根据函数为区间上的k阶无穷递降函数的定义即可判断；（2）通过构造，再结合即可得到结果；（3）通过换元令令，则原不等式等价于，再通过构造函数，根据题干中函数为区间上的k阶无穷递降函数的定义证出，即可证明结论.【详解】（1）设，由于，所以不成立，故不是区间上的2阶无穷递降函数.（2）设，则，设，则，所以，得.（3）令，则原不等式等价于，即证，记，则，所以，即有对任意，均有，所以，因为，所以，所以，证毕!【点睛】方法点睛：利用函数方法证明不等式成立问题时，应准确构造相应的函数，注意题干条件中相关限制条件的转化.【变式3】①在高等数学中，关于极限的计算，常会用到：i)四则运算法则：如果，，则，，若B≠0，则；ii)洛必达法则：若函数，的导函数分别为，，，，则；②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对，均有成立，则称函数为区间(0,a)上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题；(1)计算：①；②；(2)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；并证明：，.【答案】(1)①1；②(2)是，证明见解析【分析】（1）①根据题干中洛必达法则进行计算即可得解；②设，根据洛必达法则求出，利用变换得解；（2）方法一，，均有，同理可得，利用洛必达法则1可得，得证；方法二，利用导数可得在上单调递增，又由，得证．【详解】（1）①根据洛必达法则，；②设，两边同时取对数得，，设，，∴，∴（2）∵，，∴，，，∴∴，均有，∴是区间上的2阶无穷递降函数.方法一：以上同理可得，由①，得∴，.方法二：设，，则设，，则∴在上单调递增，又，∴在上恒成立，∴∴在上单调递增，∵，∴在上但成立，∴，∴在上单调递增，又∴，.【点睛】思路点睛：本题考查新定义，注意理解新定义.第1小题，构造函数，根据洛必达法则求出，得解；第2小题，方法1先证明是区间上的2阶无穷递降函数，同理可得，根据洛必达法则可得；方法2，利用导数可判断在上单调递增，再根据洛必达法则求出，即可.【题型二】用洛必达法则处理eq\f(∞,∞)型函数【例2】两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】利用洛必达法则直接求解即可.【详解】.故选：B.解题技巧用洛必达法则处理eq\f(∞,∞)型函数的步骤：(1)分离变量；(2)出现eq\f(∞,∞)型式子；(3)运用洛必达法则求值．【举一反三】【变式1】（24-25高二下·河南商丘·期末）“洛必达法则”是研究微积分时经常用到的一个重要定理，洛必达法则之一的内容是：若函数，的导数都存在，且，如果是常数）时，或或，且（是常数），则时，．已知函数．(1)证明：时曲线在点处的切线与曲线也相切；(2)若函数有两个零点，函数有两个零点．①指出的大致范围（不必说明理由），并求出的取值范围；②试探究与的大小关系．【答案】(1)证明见解析(2)①，的取值范围是；②【分析】（1）对函数分别求导，分别求出在点的斜率和函数值，进而求出切线方程.（2）①构造新函数，求导，判断单调性，进而可判断零点范围；②构造新函数，求导，判断单调性，比较零点大小.【详解】（1）证明：时，，因为，所以曲线在点处的切线方程是，即．因为，所以曲线在点处的切线方程是，即．所以时曲线在点处的切线与曲线也相切．（2）①．由，得，令，则与的零点相同，与的零点相同，又，时，单调递增；时，单调递减；时，单调递增；时，单调递减，所以和在上都是增函数，在上都是减函数，所以时，时，，因为有两个零点，即有两个零点，所以，且解得．当时，，又时，根据洛必达法则可知，时，所以时，所以时，在区间和上各有一个零点，所以，因此，若函数各有两个零点，的取值范围是．②令，则与的零点相同，与的零点相同，在区间上是增函数，，令，则，时单调递减；时单调递增；所以时，于是时等号仅当时成立，所以在上是增函数．所以时，即时；时，即时；由①知，所以，又，所以，又在区间上是增函数，且，所以．同理可证，于是．【变式2】（2024·河北邢台·二模）在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式型或型极限的一种重要方法，其含义为：若函数和满足下列条件：①且（或，）；②在点的附近区域内两者都可导，且；③（可为实数，也可为），则．(1)用洛必达法则求；(2)函数（，），判断并说明的零点个数；(3)已知，，，求的解析式．参考公式：，．【答案】(1)(2)仅在时存在1个零点，理由见解析(3)【分析】（1）利用洛必达法则求解即可；（2）构造函数，结合的单调性求解即可；（3）利用累乘法求出的表达式，然后结合，利用洛必达法则求极限即可.【详解】（1）（2），，所以，．当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，，，当时，，所以仅在时存在1个零点．（3），所以，，…，将各式相乘得，两侧同时运算极限，所以，即，令，原式可化为，又，由（1）得，故，由题意函数的定义域为，综上，【点睛】方法点睛：本题考查新定义，注意理解新定义，结合洛必达法则的适用条件，构造函数，从而利用洛必达法则求极限.【变式3】极限，是微积分学中一个重要概念.有些简单函数的求极限是可以直接写出的，例如，.如果当（或）时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，那么我们通常把极限叫作未定式，并分别简记为或.当（或），极限为未定式且、、存在时，有：.这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则（）.(1)使用洛必达法则，求极限；①；②；③(2)求极限（选择一个可用合适方式解答的式子作答，多个题目作答，以第一道作答题目计分）：①；②；③；(3)且，，恒成立.①直接写出解析式；②求的取值范围.【答案】(1)①7，②2，③(2)①1，②1，③1(3)①，②【分析】（1）先判断是否符合洛必达法则类型，再依据洛必达法则去计算即可解决；（2）将选择的式子化简结合极限的定义求解；（3）①通过求导的逆向过程求出原函数；②分析恒成立问题，转化为最值问题，利用导数求出最值得解.【详解】（1）①对于，当时，分子，分母，属于型，；②对于，属于型，；③对于，属于型，.（2）①；②；③.（3）①由，则，又，，得，.②对，恒成立，即，令，则，，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，即，所以当和时，，当时，，即在和上单调递减，在上单调递增，又，，，即的取值范围为.好题必刷好题必刷一、单选题1．（22-23高二下·新疆伊犁·期中）我们把分子､分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】根据题意利用洛必达法则求解即可【详解】由题意得，故选：B二、填空题2．（21-22高三上·湖北襄阳·期末）我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则．【答案】2【分析】根据题设对分子、分母分别求导再求极限即得.【详解】由题可得.故答案为：2.三、解答题3．（2025·江苏徐州·模拟预测）洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法则：给定两个函数，当时，.已知函数，.(1)对于恒成立，求实数的取值范围；(2)，证明：（附：）.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）先把不等式恒成立转化为，再结合函数单调性得出函数值范围即可求参；（2）构造函数，根据导函数得出函数单调性即可证明不等式再结合累加法及等比数列求和即可证明.【详解】（1）当时，，成立.当时，由可得，令，，令，则，令，则，若，则单调递减，单调递减，，在上单调递减，若，则单调递增，，即存在唯一，使得，且在上，单调递减，在上，单调递增，且，在区间上单调递减，且在上连续，综上，在区间上单调递减.所以在上单调递减，.由洛必达法则：，.（2）当且时，，令，则，令，则，在上单调递增，，即在上单调递增，（当时取等号），，，，，即.4．在研究函数问题时，我们经常遇到求函数在某个区间上值域的问题，但函数在区间端点又恰好没有意义的情况，此时我们就可以用函数在这点处的极限来刻画该点附近数的走势，从而得到数在区间上的值域.求极限我们有多种方法，其中有一种十分简单且好用的方法——洛必达法则该法则表述为：“设函数，满足下列条件：①，；②在点a处函数和的图像是连续且光滑的，即函数和在点a处存在导数；③，其中A是某固定实数；则.”那么，假设有函数，.(1)若恒成立，求t的取值范围；(2)证明：.【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）由题意可得恒成立，然后分三种情况，根据不等式恒成立，求出t的取值范围.（2）令，对求导，判断的单调性，求出，进而得到，结合（1），即可证明.【详解】（1）若恒成立，即恒成立，当时，，成立，当时，，令，，令，，当时，，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，即，所以当时，，即单调递增，由洛必达法则知：，所以当时，，所以,同理，当时，可得，所以综上所述：t的取值范围为.（2）令，则，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，，所以当，，即（当且仅当时，等号成立）由（1）知，（当且仅当时，等号成立）所以.5．（24-25高三上·湖北·期末）1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法