计量经济学 课件 第8章 异方差问题

1第8章异方差问题湖南大学经济与贸易学院14-6月-262第8章异方差问题

8.1异方差的概念

8.2异方差问题的后果

8.3异方差问题的检验

8.4异方差问题的处理湖南大学经济与贸易学院14-6月-2638.1异方差的概念1、异方差

湖南大学经济与贸易学院14-6月-26若对任意的给定时，的方差为常数且不随着的变化而变化时，则称误差项是同方差的（homoskedasticity），否则，称误差项是异方差的（heteroskedasticity）。48.1异方差的概念1、异方差

湖南大学经济与贸易学院14-6月-26具体而言，对于模型同方差性假设为如果出现即随机扰动项的方差不是固定不变的常数，而是随着某一个（或几个）自变量的变化而变化，则认为出现了异方差问题。56.1虚拟变量的定义1、虚拟变量因此，虚拟变量又称为二值变量(binaryvariable)，或指示变量(indicatorvariable)，通常记为D。

例如，反应被观测员工是否接受了公司补助的虚拟变量可取为：湖南大学经济与贸易学院14-6月-2668.1异方差的概念1、异方差

湖南大学经济与贸易学院14-6月-26不难看出，伴随着的增大，相对于其均值的偏离程度也越来越大。也就是说，因变量（或随机扰动项）的方差是随着

的增大而逐步增大的，表明此处存在异方差。78.1异方差的概念1、异方差

湖南大学经济与贸易学院14-6月-26以不同性别工人收入的影响因素为例，设为二元变量，该工人为男性时取1，为女性时取0。由此工人的收入（）对其性别的二元变量回归为：由于解释变量是二元变量，故表示两组样本的总体均值之差，即男性工人和女性工人的平均收入之差。同方差的定义指的是的方差不随着解释变量的变化而变化。值得注意的是，的方差即因变量的方差。88.1异方差的概念1、异方差

湖南大学经济与贸易学院14-6月-26原因在于，若将式（8.1）写成针对男性和女性工人的两个单独等式，则有：男性工人的收入：女性工人的收入：因此，对于女性工人而言，表示第i个女性工人的收入与女性总体平均收入的偏差；对于男性工人而言，表示第i个男性工人的收入与男性总体平均收入（）的偏差。“随机扰动项的方差不随性别虚拟变量的变化而变化”等价于“男性工人收入的方差和女性工人收入的方差相同，且都为同一常数”。98.2异方差问题的后果湖南大学经济与贸易学院14-6月-26若已证实回归中存在异方差问题，仍强行采用普通最小二乘法估计模型参数，参数的无偏性仍然存在，但不具有有效性。利用同方差适用的标准误差计算的统计量即使在大样本情况下将不再服从标准正态分布。在进行显著性检验时，t统计量是在随机扰动项的方差不变且准确的估计了参数估计量的标准差的基础上的。当结果导致存在异方差性时，使用同方差适用的统计量进行检验时所使用的临界值将产生偏误，即参数的显著性有可能由于忽略异方差问题而被错误提升（降低），因此原则上我们无法判定这些临界值，导致进行t检验失去了意义。108.2异方差问题的后果湖南大学经济与贸易学院14-6月-26类似地，如果误差项是异方差的，一般情况下，即使是大样本，我们利用同方差适用的标准误差所构造的置信区间包含估计量真值的概率也不再是。以上性质同样适用于F检验。另外，由于因变量预测值的方差中包含有参数估计量的方差，所以当模型存在异方差时，OLS估计下的参数估计量的方差不再具有最小方差性，使得因变量预测值的波动较大，预测的准确性较低。总而言之，当模型存在异方差问题时，使用OLS方法所得到的参数估计不再是最优线性无偏估计。118.2异方差问题的后果湖南大学经济与贸易学院14-6月-26例8.1利用中2018年中国家庭追踪调查数据，整理了1634个工人的若干数据，但这里只考虑工作总收入wage（千元）与教育educ（受教育程度）和性别female（“女”=1，“男”=0）、年龄age的关系。假定其他变量保持不变，考虑如下模型：正常情况下我们预期工作总收入与受教育程度正相关，与性别负相关。回归结果如下：128.2异方差问题的后果湖南大学经济与贸易学院14-6月-26138.2异方差问题的后果湖南大学经济与贸易学院14-6月-26回归结果显示，受教育程度和性别与工作总收入高度相关，与预期结果一致。但这是在古典假定的条件下。我们需要考虑，在这1634个工人中他们的受教育程度是不同的，因此很可能不满足同方差假定。如果猜测是真的，那么估计标准误和t值就不再可靠。为了验证我们的猜想，我们先做残差平方图，见图8.2:148.2异方差问题的后果湖南大学经济与贸易学院14-6月-26然后做残差平方对各回归元的散点图，见图8.3：图8.3a和图8.3b表明数据有较大的变异性，说明回归模型很可能存在较大的异方差158.3异方差问题的检验1、异方差问题的初步检验

湖南大学经济与贸易学院14-6月-26在开展传统的异方差问题检验前，我们可以先对进行简单的散点图描述，以便直观地观察被观测个体的因变量相对于自变量变化的分布情况。如图8.4所示，（a）图为同方差，从图中可观察到观测个体较为均匀地分布在回归直线的周围；（b）图为单调递增型，从图中可观察到随着的增加，距离回归直线越来越远，即其方差越来越大：随的增大而增大；168.3异方差问题的检验1、异方差问题的初步检验

湖南大学经济与贸易学院14-6月-26（c）图为单调递减型,从图中可以观察到随着的增加，距离回归直线越来越近，即其方差越来越小：随的增大而减小；（d）图为复杂型，随着的变化，的方差变化未呈现任何明显的单调关系：与

的变化呈复杂形式。178.3异方差问题的检验1、异方差问题的初步检验

湖南大学经济与贸易学院14-6月-26其次，也可用对进行回归，并依据回归中具有显著性参数估计的自变量,作散点图进行初步判断。具体而言，回归可依据以下形式展开：假设以上回归中系数的估计量显著区别于零，则可以为横轴，以为纵轴，对进行描点，观察个体

的残差平方对是否形成一条斜率为零的直线，如图8.5所示。188.3异方差问题的检验1、异方差问题的初步检验

湖南大学经济与贸易学院14-6月-26图（a）表明不随的变化而变化，呈现明显的同方差性；图（b）表明随着的增加，也增加，呈单调递增特点；图（c）表明随着的增加，减小，呈单调递减特点；图（d）表明随着的增加，先减小后增加，二者之间呈凸性函数变化特点。198.3异方差问题的检验2．布罗施-帕甘（Breusch-Pagan）检验湖南大学经济与贸易学院14-6月-26对于线性模型在随机扰动项具有零条件均值的基本假设下，布罗施-帕甘检验（B-P检验）的原假设为：备择假设为此处存在异方差。208.3异方差问题的检验2．布罗施-帕甘（Breusch-Pagan）检验湖南大学经济与贸易学院14-6月-26布罗施-帕甘检验的基本步骤如下：（1）用OLS估计原始模型（8.2），得OLS残差平方；（2）将作为因变量，并引入模型（8.2）中的自变量作为新方程中的自变量，进行式（8.3）中的回归；

（3）构建联合检验原假设：

并计算与之相对应的F统计量（8.5）或LM统计量（8.6），同时计算其值。218.3异方差问题的检验2．布罗施-帕甘（Breusch-Pagan）检验湖南大学经济与贸易学院14-6月-26其中来自回归（8.3）。式（8.5）与式（8.6）所构造的F统计量与LM统计量在大样本下渐近服从分布与分布。此处，关于回归（8.2）的异方差检验就转化为关于回归（8.3）中全部参数是否联合为零的F（或LM）检验。若对应p值较小（例如），即低于选定的显著性水平，那么我们将拒绝联合假设（8.4），说明回归（8.2）存在异方差性，需要予以纠正。228.3异方差问题的检验3．怀特（White）检验湖南大学经济与贸易学院14-6月-26怀特检验（1984）提出在回归方程（8.3）中增加所有自变量的平方和交叉项乘积，以验证与自变量及其非线性形式的弱相关关系。假设一个二元回归模型为异方差的怀特检验步骤如下。238.3异方差问题的检验3．怀特（White）检验湖南大学经济与贸易学院14-6月-26（1）用OLS估计模型（8.7），得到OLS残差平方。同时计算自变量的平方，与；（2）利用回归（8.7）中的残差平方作为因变量，以，，，和作为自变量，进行方程（8.8）中的回归。记下这个回归中的拟合优度；（3）检验以下原假设：利用回归（8.8）得到的拟合优度构建F统计量（8.5）或LM统计量（8.6），并计算其值。若值小于某一选定的显著性水平，那么我们将拒绝联合假设，说明回归（8.7）存在异方差性，需要予以纠正。248.3异方差问题的检验3．怀特（White）检验湖南大学经济与贸易学院14-6月-26等价怀特（White）检验的具体步骤：（1）用OLS估计模型（8.7），得到OLS残差平方和拟合值的平方；（2）做如下回归，并记下拟合优度：（3）构建F统计量（8.5）或LM统计量（8.6），并计算其值。若值小于某一选定的显著性水平，那么我们将拒绝联合假设，说明回归存在异方差性，需要予以纠正。258.4异方差问题的处理1．异方差稳健标准误法湖南大学经济与贸易学院14-6月-26异方差稳健标准误方法可对由异方差问题引起的错误低估参数估计量标准误进行纠正。当回归模型随机扰动项出现异方差时，普通最小二乘法虽然能保证系数估计的无偏性，但却无法保证系数估计量方差或标准差的正确估计，从而无法保证普通最小二乘估计量的有效性。因此，一种较为简单的，仅仅针对异方差修正的估计方法是：基于简单最小二乘法，采用异方差稳健标准误，改变异方差带来的错误低估参数标准误问题，从而达到同方差性的修正效果（怀特，1980）。268.4异方差问题的处理1．异方差稳健标准误法湖南大学经济与贸易学院14-6月-26具体而言，采用普通最小二乘估计的残差平方代替，对参数估计量的方差进行计算。即使用普通最小二乘估计的残差的平方代替，将参数估计的方差由（8.9）中的估计形式转化为（8.10）：怀特（1980）证明了大样本下，式（8.10）是式（8.9）的有效一致估计。式（8.10）的平方根称为的异方差稳健标准误（heteroskedasticity-robuststandarderror）。278.4异方差问题的处理1．异方差稳健标准误法湖南大学经济与贸易学院14-6月-26一旦得到了以上提及的异方差稳健性标准误，构建一个异方差稳健性t统计量就很容易。具体而言，在提前选定了假设值的前提下，异方差稳健性统计量与常规的OLS统计量的差别在于，异方差稳健性

统计量的分母应为（8.10）中的平方根。而由此进行的异方差稳健检验，我们通常认为是克服了异方差后的有效且一致的结果。288.4异方差问题的处理2．加权最小二乘法（WLS）湖南大学经济与贸易学院14-6月-26加权最小二乘法的运用，通过对整体回归方程进行加权处理，使其随机扰动项的方差理论上不再随着一个或多个自变量的变动而发生改变，从而使最小二乘法的运用符合高斯-马尔可夫假定，进而得到最优线性无偏估计量。然而，此处另一个较为关键的问题是，在进行加权最小二乘估计方法前，是否已获知真实的随机扰动项方差的信息，及其与的相关形式。因此，在使用加权最小二乘法时，应分为当未知或已知时的两种情况展开讨论。298.4异方差问题的处理2．加权最小二乘法（WLS）湖南大学经济与贸易学院14-6月-26具体而言，对以下方程采用简单最小二乘法估计，并将该回归中的残差作为因变量，将等作为自变量进行简单回归：308.4异方差问题的处理2．加权最小二乘法（WLS）湖南大学经济与贸易学院14-6月-26首先，当误差方差已知时，将原模型式（8.11）同时除以可得：因此，进行变换后，原模型变换为其中，是加权变换后新模型的随机扰动项。明显地，

具有同方差性。318.4异方差问题的处理2．加权最小二乘法（WLS）湖南大学经济与贸易学院14-6月-26模型（8.14）中的因变量和自变量分别如下：当未知时，我们可：（1）假设误差方差与成比例，并采用平方根变化的方式处理异方差问题；（2）假设误差方差与成比例，并采用线性变化的方式处理异方差问题。将回归残差平方对式（8.11）中具有显著性系数的自变量（例如）进行描点。若得到图8.6或类似图形，则表明误差方差与解释变量具有相关性。328.4异方差问题的处理2．加权最小二乘法（WLS）湖南大学经济与贸易学院14-6月-26338.4异方差问题的处理2．加权最小二乘法（WLS）湖南大学经济与贸易学院14-6月-26式（8.15）说明误差方差随着的变动而变动，且二者之间存在某种线性关联。在式（8.15）的假设下，可将原始模型进行以下变换：因此，进行平方根变换后，原模型变换为其中，是加权变换后新模型的随机扰动项。348.4异方差问题的处理2．加权最小二乘法（WLS）湖南大学经济与贸易学院14-6月-26明显地，具有同方差性，其方差不再随着自变量的变动而变动。另外，模型（8.17）中的因变量和自变量分别如下：值得注意的是，模型（8.16）通过平方根变换后，已经没有截距项了，即（8.17）是一个过原点的回归。358.4异方差问题的处理2．加权最小二乘法（WLS）湖南大学经济与贸易学院14-6月-26另外，假设误差方差与成比例时，人们一般采用线性变换的方式以克服原模型中的异方差问题。与前述内容类似，若原回归中估计的残差方差与某一个自变量的相关关系如图8.7所示，则表明误差方差与的构成相关关系，即368.4异方差问题的处理2．加权最小二乘法（WLS）湖南大学经济与贸易学院14-6月-26式（8.18）说明误差方差随着的变动而变动，且二者之间存在某种线性关联。378.4异方差问题的处理2．加权最小二乘法（WLS）湖南大学经济与贸易学院14-6月-26在式（8.18）的假设下，可将原始模型进行以下变换：因此，进行线性变换后，原模型变换为其中，是加权变换后新模型的随机扰动项。388.4异方差问题的处理2．加权最小二乘法（WLS）湖南大学经济与贸易学院14-6月-26明显地，具有同方差性，其方差不再随着自变量的变动而变动。另外，模型（8.20）中的因变量和自变量分别如下：值得注意的是，模型（8.19）通过以上线性变换后，已经没有截距项了，（8.20）是一个过原点的回归。398.4异方差问题的处理2．加权最小二乘法（WLS）湖南大学经济与贸易学院14-6月-26一般情况下，对异方差问题进行加权最小二乘估计的具体步骤如下：（1）对方程（8.2）进行回归，并得到残差，并在检验过程中已经知道：408.4异方差问题的处理2．加权最小二乘法（WLS）湖南大学经济与贸易学院14-6月-26假定我们通过前期的估计，已得知随机扰动项的方差是与哪一个或多个自变量发生扰动，且已知晓扰动的具体函数形式为；假设这一函数形式是正确的，在不改变等式的前提下则可以使用（1/）同乘回归（8.2）的等号两边，得到以下加权形式：418.4异方差问题的处理2．加权最小二乘法（WLS）湖南大学经济与贸易学院14-6月-26不难发现，该加权回归中，新的随机扰动项及其方差分别为且因此在此转换基础上，运用OLS方法所得到的参数估计为最优线性无偏估计。428.4异方差问题的处理2．加权最小二乘法（WLS）湖南大学经济与贸易学院14-6月-26（2）通过先将OLS残差进行平方，然后再取自然对数而得到；（3）把作为因变量，进行以下回归，

并得到拟合值