2026年大一轮复习讲义数学讲义练习第八章培优点7阿波罗尼斯圆与蒙日圆（附答案）

培优点7阿波罗尼斯圆与蒙日圆分值：52分一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.若椭圆C：x2a＋1＋y2a＝1(a>0)的离心率为A.x2＋y2＝9 B.x2＋y2＝7C.x2＋y2＝5 D.x2＋y2＝42.已知☉O：x2＋y2＝1，若在直线y＝kx＋2上总存在点P，使得过点P的☉O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围为()A.[1，＋∞) B.(1，＋∞)C.[2，＋∞) D.(2，＋∞)3.已知双曲线x2a2－y24＝1(a>1)上存在一点M，过点M向圆x2＋y2＝1作两条切线MA，MB，若MA·MB＝A.(1，2) B.(1，2]C.[2，＋∞) D.(2，＋∞)4.在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(1，0)，B(4，0)，若直线x－y＋m＝0上存在点P使得|PA|＝12|PB|，则实数m的取值范围是(A.[－2，2]B.(－∞，－2]∪[2，＋∞)C.(－∞，－22]∪[22，＋∞)D.[－22，22]5.现有△ABC，|AC|＝6，sinC＝2sinA，则当△ABC的面积最大时，|BC|等于()A.12 B.20 C.25 D.526.已知在平面直角坐标系中，圆O：x2＋y2＝1，点A-12，0和点B0，12，M为圆O上的动点，则2|MA|－|A.52 B.172 C.32二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.在平面直角坐标系中，A(－1，0)，B(2，0)，动点C满足|CA||CB|＝12，直线l：mx－y＋m＋1＝0A.动点C的轨迹方程为(x＋2)2＋y2＝4B.直线l与动点C的轨迹一定相交C.动点C到直线l距离的最大值为2＋1D.若直线l与动点C的轨迹交于P，Q两点，且|PQ|＝22，则m＝－18.若椭圆Γ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的蒙日圆方程为C：x2＋y2＝32a2，过C上的动点M作Γ的两条互相垂直的切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交ΓA.椭圆Γ的离心率为2B.△MPQ面积的最大值为32aC.M到Γ的左焦点的距离的最小值为(2－2)aD.若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k1，k2，则k1k2＝－1三、填空题(每小题5分，共10分)9.(2024·南京模拟)满足条件|AB|＝2，|AC|＝2|BC|的△ABC的面积的最大值为.

10.已知在平面直角坐标系Oxy中，A(－2，1)，B(－2，4)，点P是满足|PA||PB|＝12的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为；若点Q为抛物线E：y2＝4x上的动点，Q在y轴上的射影为H，则|PA|＋|PQ|＋|QH|答案精析1.B[因为椭圆C：x2a+1+y2a=1(a所以1a+1=12，解得所以椭圆C的方程为x24+y根据蒙日圆的定义知，蒙日圆的半径r=22+(3所以椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=7.]2.A[由题分析可知点P的轨迹方程为x2+y2=2，又点P在直线y=kx+2上，所以直线y=kx+2与圆x2+y2=2必有交点，即2k+1≤2，解得k≥13.B[双曲线x2a2-y24=1(a>1)上存在一点M，过点M向圆x2+y2=1若MA·MB=0，可知四边形MAOB是正方形，|MO|=2，所以双曲线的实半轴长的最大值为2，所以实数a的取值范围是(1，2].]4.D[设P(x，y)，则|PA|=(x|PB|=(x因为|PA|=12|PB|所以(=12两边同时平方，化简得x2+y2=4，故点P的轨迹为圆心为(0，0)，半径为2的圆，又点P在直线x-y+m=0上，故圆x2+y2=4与直线x-y+m=0必有公共点，所以m1+1≤2解得-22≤m≤22.]5.C[如图所示，以AC的中点为原点，AC边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，因为|AC|=6，所以A(-3，0)，C(3，0)，设B(x，y)，因为sinC=2sinA，由正弦定理可得|AB|=2|BC|，所以(x+3)2+y2=4(x-3)2+4y2，化简得(x-5)2+y2=16，且y≠0，圆的位置如图所示，圆心为(5，0)，半径r=4，观察可得，在三角形底边长|AC|不变的情况下，当B点位于圆心D的正上方或正下方时，高最大，此时△ABC的面积最大，B点坐标为(5，4)或(5，-4)，所以|BC|=(5-3)2+46.B[设点M(x，y)，令2|MA|=|MC|，则|MA||MC|=1由题知圆x2+y2=1是关于点A，C的阿波罗尼斯圆，设点C(m，n)，则|MA||MC|=x+1整理得x2+y2+2m+43x+2n比较两方程可得2m+43=0，2n3=0，m2+n2-13=1，即m=-2当点M位于图中M1的位置时，即2|MA|-|MB|=|M1C|-|M1B|，此时取得最大值，最大值为|BC|=172.7.ABD[对于A选项，设C(x，y).因为|CA||CB|=1所以(x+1)整理得x2+y2+4x=0，即(x+2)2+y2=4，所以动点C的轨迹为以N(-2，0)为圆心，2为半径的圆，轨迹方程为(x+2)2+y2=4，故A正确；对于B选项，因为直线l过定点M(-1，1)，而点M(-1，1)在圆N内，所以直线l与圆N一定相交，故B正确；对于C选项，当直线l与直线NM垂直时，动点C到直线l的距离最大，且最大值为r+|NM|=2+2，故C错误；对于D选项，记圆心N到直线l的距离为d，则d=m-1因为|PQ|2=4(r2-d2)=8.又r=2，所以d=2.由(m-1)2m2+1=2，得8.ABD[由蒙日圆的定义得a2+b2=32a2，即a2=2b2所以椭圆Γ的离心率e=ca=1-b2a2因为点M，P，Q都在圆C上，且∠PMQ=90°，所以PQ为圆C的直径，所以|PQ|=2×32a2=所以△MPQ面积的最大值为12|PQ|·32a2=6a2·32设M(x0，y0)，Γ的左焦点为F(-c，0)，连接MF(图略)，因为c2=a2-b2=12a2所以|MF|2=(x0+c)2+y02=x02+y02+2x0c+c2=32a2+2x0·2又-62a≤x0≤62所以|MF|2的取值范围为[(2-3)a2，(2+3)a2]，则M到Γ的左焦点的距离的最小值为(6-2由直线PQ经过坐标原点，易得点A，B关于原点对称，设A(x1，y1)，D(x2，y2)(x2≠±x1)，则B(-x1，-y1)，k1=y1-y2x1又x所以x12-x所以y12-y22x所以k1k2=-12，故D正确.9.22解析方法一(直解法)建立如图的平面直角坐标系，则A(-1，0)，B(1，0)，设C点的坐标为(x，y)，因为|AC|=2|BC|，所以(=2×(x整理得(x-3)2+y2=8(y≠0)，所以点C的轨迹是以(3，0)为圆心，22为半径的圆(除去与x轴的交点).设圆心为M，当CM⊥x轴时，△ABC的面积最大，此时|CM|=r=22，(S△ABC)max=12|AB|·r=12×2×2方法二(秒解法)由题意可知，动点C的轨迹是圆M，且半径r=|AB|λ-1λ=当且仅当CM⊥AB时，△ABC面积最大，(S△ABC)max=12|AB|·r=12×2×210.(x+2)2+