福建省福州第八中学2023届高三上学期半期适应性训练数学试题

第页，共页福建省福州第八中学2023届高三上学期半期适应性训练数学试题一、单选题（本大题共8小题）1.已知集合，则（

）A． B．C． D．或2.圆心在直线上，且过点，并与直线相切的圆的方程为（

）A． B．C． D．3.的展开式中的项系数为（

）A．30 B．10 C．-30 D．-104.核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA的数量X与扩增次数n满足，其中为DNA的初始数量，p为扩增效率.已知某被测标本DNA扩增12次后，数量变为原来的1000倍，则扩增效率p约为（

）（参考数据：）A．22.2% B．43.8% C．56.2% D．77.8%5.设等差数列的公差为d，其前n项和为，且，，则使得的正整数n的最小值为（

）A．16 B．17 C．18 D．196.设函数(其中的大致图象如图所示，则的最小正周期为（

）A． B． C． D．7.已知菱形ABCD的边长为2，且，沿BD把折起，得到三棱锥，且二面角的平面角为60°，则三棱锥的外接球的表面积为（

）．A． B． C． D．8.拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若在上满足以下条件：①在上图象连续，②在内导数存在，则在内至少存在一点，使得（为的导函数）．则函数在上这样的点的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题（本大题共4小题）9.设z为复数，则下列命题中正确的是（）A．B．z2＝|z|2C．若|z|＝1，则|z+i|的最大值为2D．若|z﹣1|＝1，则0≤|z|≤210.如图，在长方体中，，E、F分别为棱、的中点，则下列说法中正确的有（

）A．B．三棱锥的体积为C．若P是棱上一点，且，则E、C、P、F四点共面D．平面截该长方体所得的截面为五边形11.第24届冬季奥林匹克运动会圆满结束.根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若椭圆：和椭圆：的离心率相同，且.则下列正确的是（

）A．B．C．如果两个椭圆，分别是同一个矩形（此矩形的两组对边分别与两坐标轴平行）的内切椭圆（即矩形的四条边与椭圆均有且仅有一个交点）和外接椭圆，则D．由外层椭圆的左顶点向内层椭圆分别作两条切线（与椭圆有且仅有一个交点的直线叫椭圆的切线）与交于两点，的右顶点为，若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为.12.设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（

）A．函数的图象关于对称 B．C． D．三、填空题（本大题共4小题）13.已知向量，的夹角为，，，则．14.若是锐角，且，则=.15.已知点是抛物线上动点，是抛物线的焦点，点的坐标为，则的最小值为.16.已知正实数，满足，则的最大值为．四、解答题（本大题共6小题）17.已知数列中，，且满足，．(1)证明：数列是等差数列，并求的通项公式；(2)求数列的前项和．18.如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是菱形，是的中点.(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值.19.在中，角所对的边分别为，且满足.(1)求角；(2)为边上一点，，且，求.20.某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了100名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，并将得分分成以下6组：、、、…、，统计结果如图所示：(1)试估计这100名学生得分的平均数；(2)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在的人数为，试求的分布列和数学期望；(3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分X近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算.所有参加知识竞赛的2000名学生中，试问得分高于77分的人数最有可能是多少？参考数据：，，.21.已知双曲线的离心率为，点为上位于第二象限的动点，（1）若点的坐标为(-2，3，求双曲线的方程；（2）设分别为双曲线的右顶点､左焦点，是否存在常数，使得如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由.22.已知函数.(1)若，讨论的单调性；(2)若方程有两个不同的实数根.（i）求的取值范围；（ii）若，求证：.(参考数据：)

参考答案1.【答案】C【分析】利用指数函数图象可得，根据一元二次不等式可得，进而求出.【详解】，，故选：C.2.【答案】A【分析】设圆的圆心，表示出半径，再由圆心到切线距离等于半径即可列出方程求得参数及圆的方程.【详解】∵圆的圆心在直线上，∴设圆心为(a，－a)，∵圆过，∴半径r＝，又∵圆与相切，∴半径r＝，则，解得a＝2，故圆心为(2，－2)，半径为，故方程为.故选：A.3.【答案】B【分析】求得的通项，分别分析和的系数，即可求出答案.【详解】因为，的通项为：令，则，令，则，所以的系数为．故选：B.4.【答案】D【分析】由题意，代入关系式，根据对数的运算性质及指数与对数的关系计算可得．【详解】解：由题意知，，即，即，所以，解得．故选：D．5.【答案】D【分析】根据等差数列的性质及已知分别判断、、的符号即可.【详解】由，得，因为是等差数列，所以，，，，，，所以，使得的正整数n的最小值为.故选:D.6.【答案】C【分析】根据图象求得，，，从而即可求的最小正周期.【详解】解：根据函数(其中的大致图象，可得，，因为，所以，所以，结合五点法作图，可得，解得，所以，所以函数的最小正周期为，故选：C.7.【答案】B【分析】取的中点H，连接,由此确定三棱锥外接球球心的位置，进而求得外接球半径，即可求得答案.【详解】取的中点H，连接，因为ABCD为菱形，所以,故为二面角的平面角，则，由题意可知为正三角形，则外接球球心位于过的中心且和它们所在面垂直的直线上，故分别取的重心为，过点，分别作两个平面的垂线，交于点O，点O即为三棱椎的外接球的球心，由题意可知，球心到面和面的距离相等，即,连接，则,菱形ABCD的边长为2，，即三棱锥的外接球的半径，则其外接球的表面积为，故选：B．8.【答案】A【分析】用已知定义得到存在点，，使得，转化为研究函数数和图象的交点个数，作出函数图象即可得到答案．【详解】函数，则，由题意可知，存在点，，使得，即，所以，，，作出函数和的图象，如图所示，由图象可知，函数和的图象只有一个交点，所以，，只有一个解，即函数在，上点的个数为1个．故选：A9.【答案】ACD【分析】根据复数的运算法则，以及其几何意义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】设，则，对A：，故A正确；对B：，故B错误；对C：若，则该复数对应点为以原点为圆心，半径为1的圆上的点，而表示复数对应点到的距离，故当且仅当对应点为时，取得最大值2，故C正确；对D：若，其表示复数对应的点是以为圆心，为半径的圆上的点，又表示复数对应点到原点的距离，显然，故D正确.故选：ACD.10.【答案】BCD【分析】连接DE，，根据勾股定理，可证，根据线面垂直的判定定理，可证平面，即，因为，即可判断A的正误；利用等体积法，即可求得三棱锥的体积，即可判断B的正误；取中点G，则P为中点，连接FP，CP，，则可证，根据两平行线可确定一个平面，即可判断C的正误；作，交于H，则可证E、H、P、C在同一平面内，即可得E、C、P、F、H在同一平面内，即可判断D的正误，即可得答案.【详解】连接DE，，如图所示，因为E为AB的中点，所以EB=BC=2，所以，同理，又DC=4，所以，即，又因为底面ABCD，底面ABCD，所以，所以平面，即，又，即与不平行，所以CE不垂直，故A错误；由等体积法可得：三棱锥的体积，故B正确；作出P，使，取中点G，则P为中点，连接FP，CP，，因为F，P分别为，中点，所以，又，且，所以，所以，所以E、C、P、F四点共面，故C正确；由选项C可得E、C、P、F四点共面，平面CEF即为平面CEFP，作，交于H，如图所示：所以E、H、P、C在同一平面内，即H点在平面ECP内，所以E、C、P、F、H在同一平面内，所以平面截该长方体所得的截面为五边形，故D正确.故选：BCD11.【答案】BCD【分析】由离心率相同及已知得到、，即可判断A、B；由在椭圆上得到，进而判断C；根据对称性确定的坐标，结合斜率两点式得判断D.【详解】A：由且，则，即，故错误；B：由，得，则，所以，故正确；C：满足椭圆方程，又，则，所以，，故正确；D：由对称性知：、关于轴对称，，，，，，，则，，故正确.故选：BCD.12.【答案】AC【分析】根据为奇函数推出对称中心,根据逆向思维得到,代入推出的对称轴,进一步得出周期4,周期也为4,算出时的函数值以及一个周期内的值即可求解.【详解】因为,则,因为，所以,用去替x，所以有，所以有,取代入得到则，故，用换x，可得，函数的图象关于对称,故正确；在上为奇函数,则过,图像向右移动两个单位得到过，故图像关于对称，;，而，所以有，则的周期;又因为图像关于对称，;函数的图象关于对称,，故,,故C正确.,是由的图像移动变化而来,故周期也为4,因为,所以，,所以，故B错误；，周期为4,，,,故，由于的值未知，不一定为0，所以无法判断的值为-4046，故D错误;故选:AC.13.【答案】【分析】根据结合数量积的运算律即可得解.【详解】解：因为，所以，则.故答案为：.14.【答案】【分析】利用同角三角函数基本关系以及差角的正弦公式求解.【详解】因为是锐角，所以，又，所以，所以，所以.故答案为：.15.【答案】##【分析】过点作垂直于准线，根据抛物线的定义结合条件可得，进而可得当和抛物线相切时，的值最小，然后利用直线的斜率公式及导数的几何意义即得.【详解】由题意可得，抛物线的焦点，准线方程为，过点作垂直于准线，为垂足，则由抛物线的定义可得，则，为锐角，故当最小时，的值最小，即当和抛物线相切时，的值最小，设切点，则，由的导数为，则的斜率为，所以，，，，.故答案为：.16.【答案】【分析】把已知等式变形为，利用函数（）的单调性得的关系，这样把转化为的函数，再利用导数求得最大值．【详解】由得，所以，，因为，所以，设（），则，递增，所以由得，所以，，设，则，所以时，，递增，时，，递减，所以．故答案为：．17.【答案】(1)证明详见解析，(2)【分析】（1）转化已知条件，由是常数，证得数列是等差数列，并求得数列的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得.【详解】（1）由于，所以，即，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以.（2），，，两式相减得，所以.18.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，先证平面，得，再由，得，即可得到平面（2）连接，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出面，面的法向量，求得法向量的余弦值，即可得二面角的正弦值.【详解】（1）连接，因为四边形是菱形，所以，因为，所以为等边三角形，所以.因为平面平面，平面平面平面，所以平面，平面，所以.因为，即，所以.又，平面，平面，所以平面；（2）连接，因为是的中点，所以.又因为平面平面，平面平面平面，所以平面.设，因为，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量是，则，取，可得.设平面的法向量是，则，取，可得所以，因此，二面角的正弦值是.19.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理得到，再利用辅助角公式求出；（2）分别在与中，利用正弦定理得到，再由余弦定理得到，从而求出.【详解】（1）由，得.由，故所以，又因为，所以，故.即，又，所以.（2）由（1）知：所以.在中，；在中，.又，代入得：.由余弦定理得：，所以.20.【答案】(1)(2)分布列见解析，(3)【详解】（1）解：由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数.（2）解：参加座谈的11人中，得分在的有人，所以的可能取值为，，，所以，，.所以的分布列为012∴.（3）解：由（1）知，，所以.得分高于77分的人数最有可能是.21.【答案】（1）；（2）存在，.【分析】（1）依题意可得，即可得到方程为，再代入点，即可求出双曲线方程；（2）由（1）知：双曲线方程，即可表示出，当直线的斜率不存在时求出的值，当直线的斜率存在时，设表示出，再利用二倍角公式计算可得；【详解】解：（1）离心率，又双曲线方程，把点代入双曲线方程得解得，故双曲线的方程为（2）由（1）知：双曲线方程①当直线的斜率不存在时，则，此时②当直线的斜率存在时，设其中因为故故渐近线方程为，所以又，所以又综上：存在常数满足22.【答案】(1)答案见解析；(2)(i)；(ii)证明见解析.【分析】（1）利用导数研究的单调性，注意构造中间函数研