2026年大一轮复习讲义数学讲义练习第四章4.1任意角和弧度制、三角函数的概念（附答案）

§4.1任意角和弧度制、三角函数的概念分值：100分一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.把-1125°化成α+2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是()A.3π4-6π B.7πC.3π4-8π D.7π2.若角α的终边在y轴的非正半轴上，则角α+2π3的终边在(A.第一象限 B.第二象限C.y轴的非负半轴上 D.x轴的非正半轴上3.设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cosα=15x，则tanα等于(A.-45 B.-35 C.-34.已知角x的终边上一点的坐标为sin5π6，cos5π6，A.5π6 B.5π3 C.11π5.(2024·北京模拟)“sin2θ>0”是“θ为第一或第三象限角”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图，在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为S1，扇形OAB的面积为S2，当S1与S2的比值为5-12时，扇面的形状较为美观，则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为(A.5+14 B.5-12 C.3-二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.下面说法正确的有()A.角π3与角-5πB.终边在直线y=-x上的角α的取值集合可表示为{α|α=k·360°-45°，k∈Z}C.若角α的终边在直线y=-3x上，则cosα的取值为10D.67°30'化成弧度是3π88.(2025·深圳模拟)如图，质点A和B在单位圆O上逆时针做匀速圆周运动.若A和B同时出发，A的角速度为1rad/s，起点位置坐标为12，32，B的角速度为2rad/s，起点位置坐标为(1，0)，A.在1s末，点B的坐标为(sin2，cos2)B.在1s末，扇形AOB的弧长为π3C.在7π3s末，点A，BD.△AOB面积的最大值为1三、填空题(每小题5分，共10分)9.已知角α的终边在图中阴影部分内，则角α的取值集合为.

10.(2024·昆明模拟)已知角θ的顶点为坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点A(1，a)(a∈Z)在角θ的终边上，且|OA|≤3，则tanθ的值可以是.(写出一个即可)

四、解答题(共27分)11.(13分)已知α=π3(1)写出与角α终边相同的角的集合，并求出在(-4π，-π)内与角α终边相同的角；(6分)(2)若角β与角α的终边相同，判断角β2是第几象限角.(7分12.(14分)某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的).已知OA=2米，OB=x米(0<x<2)，线段BA，线段CD与BC，AD的长度之和为6米，圆心角为θ(1)求θ关于x的函数解析式；(6分)(2)记该宣传牌的面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值.(8分)13，15题每小题6分，14，16题每小题5分，共22分13.(多选)已知角θ的终边经过点(-2，-3)，且θ与α的终边关于x轴对称，则()A.sinθ=-217 B.αC.cosα=-277 D.点(tanθ，tanα14.(2024·呼和浩特模拟)用一个圆心角为120°，面积为3π的扇形OMN(O为圆心)围成一个圆锥(点M，N恰好重合)，该圆锥顶点为P，底面圆的直径为AB，则cos∠APB的值为()A.223 B.79 C.115.(多选)在平面直角坐标系Oxy中，已知任意角θ以坐标原点为顶点，x轴的非负半轴为始边，若终边经过点P(x0，y0)，且|OP|=r(r>0)，定义：sosθ=y0+x0r，称“sosθ”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数f(x)=sosxA.该函数的值域为［-2，2］B.该函数的图象关于原点对称C.该函数的图象关于直线x=3π4D.该函数为周期函数，且最小正周期为2π16.如图，在平面直角坐标系Oxy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)处，此时圆上一点P的位置在(0，0)处，圆在x轴上沿x轴正方向滚动.当圆滚动到圆心位于C(2，1)处时，OP的坐标为.

答案精析1.D2.A3.D4.B5.C[∵sin2θ=2sinθ·cosθ>0⇔sinθcosθ>0⇔tanθ>0，∴θ6.B[设∠AOB=θ，半圆O的半径为r，扇形OCD的半径为r1，依题意，有12θ即r2-所以r12r2=3-从而得r1r=57.AD[角π3与角-5π3相差2π，终边相同，故终边在直线y=-x上的角α的取值集合可表示为{α|α=k·180°-45°，k∈Z}，故B错误；若角α的终边在直线y=-3x上，则cosα的取值为±1010，故67°30'化成弧度是3π8rad，故D正确.8.BCD[在1s末，点B的坐标为(cos2，sin2)，故A错误；在1s末，∠AOB=π3-1，扇形AOB的弧长为π3-1，故设在ts末，点A，B在单位圆上第二次重合，则2t-t=t=2π+π3=7π3，故在7π3s末，点A，S△AOB=12sin∠AOB又∠AOB∈(0，π)，∠AOB=2t-t-π3=t-π3，则经过5π6s后，可得∠AOB=9.{α|30°+k·180°≤α<105°+k·180°，k∈Z}解析终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1={β|β=30°+k·180°，k∈Z}，终边在180°-75°=105°角的终边所在直线上的角的集合为S2={γ|γ=105°+k·180°，k∈Z}，因此，终边在题图中阴影部分内的角α的集合为{α|30°+k·180°≤α<105°+k·180°，k∈Z}.10.2(答案不唯一)解析点A(1，a)(a∈Z)在角θ的终边上，且|OA|≤3，则1+a2≤9，解得-22≤a≤22，a∈Z则a的值可为-2，-1，0，1，2，又tanθ=a1=a故tanθ的值可以是0或±1或±2.11.解(1)与角α终边相同的角的集合为θ令-4π<2kπ+π3<-π得-136<k<-又k∈Z，所以k=-2，-1，所以在(-4π，-π)内与角α终边相同的角是-11π3，-(2)由(1)知，β=2kπ+π3(k∈Z)则β2=kπ+π6(k∈Z则当k为偶数时，角β2是第一象限角；当k为奇数时，角β所以角β2是第一或第三象限角12.解(1)根据题意，BC的长度为xθ米，AD的长度为2所以2(2-x)+xθ+2θ=6，所以θ=2x+2x+2(0<(2)依据题意，可知y=S扇形OAD-S扇形OBC=12θ×2=-x2+x+2=-x-122+9所以当x=12时，y的值最大，最大值为913.ACD[因为角θ的终边经过点(-2，-3)，所以sinθ=-217，由θ与α的终边关于x轴对称，得α的终边经过点(-2，3)，α为第二象限角，不一定为钝角，cosα=-277，因为tanθ=32>0，tanα=-32<0，所以点(tanθ，tanα)在第四象限，D正确14.B[由圆心角为120°，面积为3π的扇形OMN，得12×2π3×OM2=3π，解得OM所以圆锥的母线PA=OM=3，由底面圆的直径为AB，所以AB·π=2π3×3所以AB=2，设AB的中点为C，如图所示，所以sin∠APC=ACPA=1所以cos∠APB=1-2sin2∠APC=1-2×132=715.AD[A中，由三角函数的定义可知x0=rcosθ，y0=rsinθ，所以f(x)=sosx=y0+x0r=sinx+cosx=2sinx+π4∈B中，f(x)=sosx=2sinx+π4，所以f(0)=2sin0+πC中，当x=3π4时，f3π4=2sin3π4+π4=2sinD中，f(x)=sosx=2sinx+π4，所以函数为周期函数，且最小正周期为2π，所以D16.(2-sin2，1-cos2)解