2026年大一轮复习讲义数学讲义练习第一章1.5基本不等式的综合应用（附答案）

§1.5基本不等式的综合应用分值：100分一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.已知a>0，b>1，ab-a=1，则a+b的最小值为()A.1 B.2 C.3 D.52.已知F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|A.13 B.12 C.9 D.43.已知实数x，y>0，1x+4y=2，且x+y≥m恒成立，则实数m的取值范围为A.-∞，92 B.(-C.92，+∞ D.[94.若存在x∈(0，2]，使不等式ax2-2x+3a<0成立，则实数a的取值范围是()A.a<33 B.0≤a≤C.a>33 D.a>5.(2024·宿州模拟)定义：对于数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a与b对于模m同余，记作a≡b(modm).已知正整数t满足t≡11(mod6)，将符合条件的所有t的值按从小到大的顺序排列，构成数列{an}.设数列{an}的前n项和为Sn，则2Sn+6nA.12 B.14 C.16 D.186.(2025·长沙模拟)中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S=p(p-a)(p-b)(p-c)求得，其中p为三角形周长的一半.已知△ABCA.30° B.45° C.60° D.90°二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.(2024·宜宾模拟)已知x>0，y>0，且2x+y=1，若mxym-1≤x+2y恒成立，则实数m的可能取值为(A.12 B.98 C.3 D8.若a>1，b>1，且ab=e2，则()A.2e≤a+b<e2+1B.0<lna·lnb≤1C.22-1≤lna+logab<2D.alnb的最大值为e三、填空题(每小题5分，共10分)9.(2024·南京模拟)若正实数x，y满足x+y=2，且1xy≥M恒成立，则M的最大值为.10.已知函数f(x)=ax2+2x+b的值域为[0，+∞)，其中a>b，则a2+b2四、解答题(共28分)11.(13分)已知函数f(x)=x+9x-1(x>1(1)求f(x)的最小值；(6分)(2)若a2+6a≤f(x)恒成立，求a的取值范围.(7分)12.(15分)随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来持续增长.某市一家医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台.每生产x台，需另投入成本G(x)万元，且G(x)=2x2+60x,0<x≤40(1)写出年利润W(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：台)的函数解析式(利润=销售收入-成本)；(7分)(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？(8分)每小题5分，共20分13.(2025·德阳模拟)设双曲线x2a2-y2a2+1=1(a>0)的离心率为e，则当e2+a2A.2 B.2 C.3 D.314.(2024·咸阳模拟)已知函数f(x)=2026x-2026-x，若m>0，n>1，且f1m-2+f2n=f(sin2026π)，则32m-115.出入相补是指一个平面(或立体)图形被分割成若干部分后面积(或体积)的总和保持不变，我国汉代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理.在下面两个图中，若AC=b，BC=a(b≥a)，AB=c，图中两个阴影三角形的周长分别为l1，l2，则l1+l216.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，经过仿射变换x'=x,y'=aby,则椭圆变为了圆x'2+y'2=a2，并且变换过程有如下对应关系：①点P(x0，y0)变为P'x0，aby0；②直线斜率k变为k'=abk，对应直线的斜率比不变；③图形面积S变为S'=abS，对应图形面积比不变；④点、线、面位置关系不变(平行直线还是平行直线，相交直线还是相交直线，中点依然是中点，相切依然是相切等)答案精析1.C2.C[因为|MF1|+|MF2|=6，所以|MF1|·|MF2|≤(MF1|当且仅当|MF1|=|MF2|=3时，等号成立，所以|MF1|·|MF2|的最大值为9.]3.A[由1x+4y=2，可得12x又因为x，y>0，则x+y=(x+y)·1=12+2+y2≥52+2y2x当且仅当y2x=即y=2x=3时取等号，所以(x+y)min=92由x+y≥m恒成立，可得m≤(x+y)min=92即实数m的取值范围为-∞，4.A[当x∈(0，2]时，由ax2-2x+3a<0，可得a(x2+3)<2x，由题意得a<2x因为2xx2+3=2x+3x≤22x·3即x=3时，等号成立，所以当x∈(0，2]时，2xx2+3的最大值为33，故5.C[由题意可知an=6n-1，n∈N*，则数列{an}是等差数列，所以Sn=n[5+(6n-1)]2=3可得2Sn=6n+≥12n·1n当且仅当n=1时，2Sn+6n6.C[由题可知a+b=8，c=4，p=6，则S=6(6-a)(6-≤12×6-a+6-b当且仅当a=b=4时取等号，所以此时三角形为等边三角形，故A=60°.]7.ABC[由x>0，y>0，得xy>0，mxym-1≤x+2即mm-1≤x+2yxy又2x+1y=2x+1y(2x+y)=5+2y当且仅当x=y=13故mm-1≤9，即mm-1-9=即(解得m<1或m≥98.8.ABD[由a>1，b=e2a得1<a<e2，因为函数f(a)=a+b=a+e2a在(1，e)上单调递减，在[e，e2)上单调递增，所以2e≤a+b<e2+1，故因为ab=e2，所以有lna+lnb=2，于是0<lna·lnb≤lna+lnb22=1，当且仅当a=lna+logab=lna+lnblna=lna+2-lnalna=ln设t=lna∈(0，2)，所以φ(t)=t+2t-1在(0，2)上单调递减，在[2，2)所以φ(t)=t+2t-1∈[22-1，+∞)，故C设λ=alnb，所以lnλ=lnalnb=lnb·lna≤1，所以λ≤e，故D正确.]9.1解析∵正实数x，y满足x+y=2，∴xy≤(x+y)24=22又1xy≥M∴M≤1，即M的最大值为1.10.22解析函数f(x)=ax2+2x+b的值域为[0，+∞)，令ax2+2x+b=0，则有Δ即ab=1，且a>0，所以a2+=(a-b)+2a又a>b，所以a-b>0，则(a-b)+2≥22a-b当且仅当a-b=2，且ab=1，即a=6+22，b即a2+b211.解(1)f(x)=x+9=x-1+9x-1因为x>1，所以x-1>0，所以x-1+9x≥2(x-1)当且仅当x-1=9x-1，即x所以f(x)的最小值为7.(2)由(1)知函数f(x)的最小值为7，因为a2+6a≤f(x)恒成立，所以a2+6a≤7，解得-7≤a≤1，所以a的取值范围是[-7，1].12.解(1)由题意可得W(x)=200所以W(x)=-2(2)当0<x≤40时，W(x)=-2x2+140x-400，当x=35时，W(x)取最大值，W(35)=2050(万元)；当40<x≤100时，W(x)=-x-3600x+1=-x+3600x≤-2x·3600x+1700=1当且仅当x=60时，等号成立，因为2050>1580，故当该产品的年产量为35台时，所获年利润最大，最大年利润为2050万元.13.C[双曲线x2a2-y2a2+1=1(ae2+a2=2a2+1a2+a2≥2+21a2当且仅当1a2=a2，即a此时e=2a2+1a14.23解析因为f(x)=2026x-2026-x，所以f(-x)=2026-x-2026x=-(2026x-2026-x)=-f(x)，所以f(x)是奇函数，f(0)=0，若m>0，n>1，则f

1m-2+=f(sin2026π)=f(0)=0，所以f

1m-2=-=f

-又f(x)在R上单调递增，所以1m-2=-2即1m+2n=2，n+2m=2则2m=nn所以32m=3=3n+2m-4=3n+nn=3(n-1)+1≥23(n-1)·当且仅当3(n-1)=1n即n=1+33所以32m-1+1n15.1+2解析如图1，易知△BDE∽△ACB，且BD=CD-BC=b-a，所以BDAC=b-a所以l1=b-ab(a+b+如图2，易知△GFH∽△ACB，且FG=a，所以FGAC=ab=所以l2=ab(a+b+c)所以l1+l2=1+a2+b又因为a2+b2≥2ab，所以2aba2当且仅当a=b时取等