2026年大一轮复习数学练习第八章培优点7阿波罗尼斯圆与蒙日圆（附答案）

培优点7阿波罗尼斯圆与蒙日圆重点解读在近几年全国各地的解析几何试题中可以发现许多试题涉及阿波罗尼斯圆、蒙日圆，这些问题聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，难度为中高档.题型一阿波罗尼斯圆“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A(－a，0)，B(a，0)(a>0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以Cλ2＋1λ例1(1)设A，B是平面上两点，则满足|PA||PB|＝k(其中k为常数，k>0且k≠1)的点P的轨迹是一个圆，已知A(6，0)，B62，0，且k＝2，则点P所在圆M答案x2＋y2＝3解析设P(x，y)，由题意可得，|PA||PB|即|PA|＝2|PB|，则(x-6)2＋y整理得x2＋y2＝3.(2)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA＝2sinB，acosB＋bcosA＝2，则△ABC面积的最大值为.

答案4解析依题意，由sinA＝2sinB，得|BC|＝2|AC|，acosB＋bcosA＝a2＋c2-即|AB|＝2，以AB边所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设A(1，0)，B(－1，0)，C(x，y)，x≠0，由|BC|＝2|AC|，则C的轨迹为阿波罗尼斯圆，其方程为x-532＋y2＝169边AB上的高的最大值为43所以(S△ABC)max＝思维升华阿波罗尼斯圆的逆用当题目给了一个圆的方程和一个定点，我们可以假设另一个定点，构造相同的阿氏圆，利用两圆是同一个圆，便可以求出定点的坐标.跟踪训练1(1)如图，在等腰△ABC中，已知|AB|＝|AC|，B(－1，0)，AC边的中点为D(2，0)，则点C的轨迹所包围的图形的面积等于.

答案4π解析因为|AB|＝|AC|＝2|AD|，所以点A的轨迹是阿波罗尼斯圆，易知其方程为(x－3)2＋y2＝4(y≠0).设C(x，y)，由AC边的中点为D(2，0)，知A(4－x，－y)，所以C的轨迹方程为(4－x－3)2＋(－y)2＝4(y≠0)，即(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，故所求的面积为4π.(2)已知点P是圆(x－4)2＋(y－4)2＝8上的动点，A(6，－1)，O为坐标原点，则|PO|＋2|PA|的最小值为.

答案10解析假设A'(m，n)，使得|PO|＝2|PA'|，设P(x，y)，则x2＋y2从而可得3x2－8mx＋4m2＋3y2－8ny＋4n2＝0，从而可知圆心坐标为4m由题意得圆3x2－8mx＋4m2＋3y2－8ny＋4n2＝0与圆(x－4)2＋(y－4)2＝8是同一个圆，所以4m3＝4，4n3＝4，解得m＝n＝3，即A'(3所以|PO|＋2|PA|＝2(|PA'|＋|PA|)≥2|A'A|＝2(6-3)2＋当A，P，A'三点共线且P在线段AA'上时，等号成立.即|PO|＋2|PA|的最小值为10.题型二蒙日圆在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴与短半轴平方和的算术平方根，即x2＋y2例2(1)蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C：x2a＋2＋y2a＝1(a>0)的蒙日圆的方程为x2＋y2A.1 B.2 C.3 D.4答案A解析∵椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，找两个特殊点分别为(2＋a，0)，(0，a)，则两条切线分别是x＝2＋a，y＝a，这两条切线互相垂直，且两条直线的交点为P(2＋a∴(2＋a)2＋(2)(多选)已知焦点在x轴上的椭圆C的长轴长为4，离心率为e＝12，P为椭圆C的蒙日圆上任一点，则以下说法正确的是(A.过点P作椭圆C的两条切线PA，PB，则有PA⊥PBB.过点P作椭圆的两条切线，交椭圆于点A，B，O为原点，直线OP，AB的斜率分别为kOP，kAB，kOP·kAB＝－4C.过点P作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，则S△APB的取值范围为9D.过点P作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，O为原点，则S△AOB的最大值为3答案ACD解析由题意知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0故a＝2，ca所以c＝1，b2＝a2－c2＝3，则椭圆方程为x24＋蒙日圆的方程为x2＋y2＝7.对于A，由蒙日圆的定义知PA⊥PB，A正确；对于B，设P(x1，y1)，A(x2，y2)，B(x3，y3)，则PA的方程为x2x4PB的方程为x3x4两切线过点P，故x2x14＋y2即点A，B在直线x1x4因为两点确定一条直线，故直线AB的方程为x1x4则kAB＝－3x而kOP＝y1x1，故kOP·kAB＝－3对于C，当点P在x轴上时，则y1＝0，x1＝7或x1＝－7，则直线AB的方程为x＝±47联立x24＋y23＝1所以|AB|＝677，易得点P到直线AB的距离为则S△APB＝12×677当点P不在x轴上时，由于直线AB的方程为x1x4联立x24＋得(3x12＋4y12)x2－24x1x＋48－16Δ＝(－24x1)2－4(3x12＋4y12)(48＝64y12(3x12＋4y1则x2＋x3＝24xx2x3＝48-16y故|AB|＝1＋k＝1＋9＝29又点P到直线AB的距离d1＝|3故S△APB＝12|AB|d＝9x1＝(3x又x12＋y12＝7，故令t＝3x12则S△APB＝t3令f(t)＝1t显然f(t)在(3，4]上单调递减，故y＝11t＋12t3在则S△APB>1f(3)＝97，(S△APB综上所述，S△APB的取值范围为97，16对于D，由C的分析可知，当点P在x轴上时，|AB|＝677，点O到直线AB的距离为则S△AOB＝12×677当点P不在x轴上时，|AB|＝29而点O到直线AB的距离d2＝|-12故S△AOB＝12|AB|d＝9x1＝123又x12＋故令t＝3x12＋4y12-12则S△AOB＝12t而t＋12t≥212＝43当且仅当t＝12t，即t＝23∈(3，4]故S△AOB＝12t＋12t≤124所以S△AOB的最大值为3，D正确.思维升华(1)设P为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆的两条切线，交椭圆于点A，B，O为原点.性质1PA⊥PB.性质2kOP·kAB＝－b2性质3kOA·kPA＝－b2a2，kOB·kPB＝－b2性质4PO平分椭圆的切点弦AB.性质5延长PA，PB分别交蒙日圆O于点C，D，则CD∥AB.性质6S△AOB的最大值为ab2，S△AOB的最小值为a性质7S△APB的最大值为a4a2＋b2，(2)蒙日圆在双曲线、抛物线中的推广双曲线x2a2－y2b2＝1(a>b>0)的两条互相垂直的切线PA，PB交点P的轨迹是蒙日圆：x2＋y2＝a2－b2(3)抛物线y2＝2px(p>0)的两条互相垂直的切线PA，PB交点P的轨迹是该抛物线的准线：x＝－p2(可以看作半径无穷大的圆)跟踪训练2(多选)已知椭圆C：x25＋y24＝1A.椭圆C的蒙日圆方程为x2＋y2＝9B.过直线l：x＋2y－3＝0上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，当∠MPN为直角时，直线OP的斜率为－4C.若P为蒙日圆上一点，则PO平分椭圆的切点弦MND.若P为蒙日圆上一点，O，P到MN的距离分别为d1，d2，则d1d2＝20答案ACD解析由蒙日圆的定义，易得椭圆C：x25＋y24＝1的蒙日圆方程为x2＋y依题意，点P是直线l与蒙日圆的交点，则x＋2y-3＝0,x2＋y2＝9,解得P-95当点P在坐标轴上时，由对称性可知，PO平分椭圆的切点弦MN；当点P不在坐标轴上时，设P点坐标为(x0，y0)(x0≠0，y0≠0)，直线OP斜率kOP＝y0x0，由切点弦公式得到MN的方程为x0xa2＋y0yb2＝1，kMN＝－b2设P(a2＋b2cosθ，a2＋b2sinθ)，则直线MN的方程为xb2a2＋b2cosθ＋ya2则原点O到直线MN的距离为d1＝a2点P到直线MN的距离为d2＝|＝a＝a4所以d1d2＝a2b2a课时精练[分值：52分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.若椭圆C：x2a＋1＋y2a＝1(a>0)的离心率为A.x2＋y2＝9 B.x2＋y2＝7C.x2＋y2＝5 D.x2＋y2＝4答案B解析因为椭圆C：x2a＋1＋y2a＝所以1a＋1＝1所以椭圆C的方程为x24＋y23＝所以椭圆C的蒙日圆方程为x2＋y2＝7.2.已知☉O：x2＋y2＝1，若在直线y＝kx＋2上总存在点P，使得过点P的☉O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围为()A.[1，＋∞) B.(1，＋∞)C.[2，＋∞) D.(2，＋∞)答案A解析由题分析可知点P的轨迹方程为x2＋y2＝2，又点P在直线y＝kx＋2上，所以直线y＝kx＋2与圆x2＋y2＝2必有交点，即2k＋1≤2，解得3.已知双曲线x2a2－y24＝1(a>1)上存在一点M，过点M向圆x2＋y2＝1作两条切线MA，MB，若MA·MB＝A.(1，2) B.(1，2]C.[2，＋∞) D.(2，＋∞)答案B解析双曲线x2a2－y24＝1(a>1)上存在一点M，过点M向圆x2＋y2若MA·MB＝0，可知四边形MAOB是正方形，|MO|＝2，所以双曲线的实半轴长的最大值为2，所以实数a的取值范围是(1，2].4.在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(1，0)，B(4，0)，若直线x－y＋m＝0上存在点P使得|PA|＝12|PB|，则实数m的取值范围是(A.[－2，2]B.(－∞，－2]∪[2，＋∞)C.(－∞，－22]∪[22，＋∞)D.[－22，22]答案D解析设P(x，y)，则|PA|＝(x|PB|＝(x因为|PA|＝12|PB|所以(x两边同时平方，化简得x2＋y2＝4，故点P的轨迹为圆心为(0，0)，半径为2的圆，又点P在直线x－y＋m＝0上，故圆x2＋y2＝4与直线x－y＋m＝0必有公共点，所以m1＋1解得－22≤m≤22.5.现有△ABC，|AC|＝6，sinC＝2sinA，则当△ABC的面积最大时，|BC|等于()A.12 B.20 C.25 D.52答案C解析如图所示，以AC的中点为原点，AC边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，因为|AC|＝6，所以A(－3，0)，C(3，0)，设B(x，y)，因为sinC＝2sinA，由正弦定理可得|AB|＝2|BC|，所以(x＋3)2＋y2＝4(x－3)2＋4y2，化简得(x－5)2＋y2＝16，且y≠0，圆的位置如图所示，圆心为(5，0)，半径r＝4，观察可得，在三角形底边长|AC|不变的情况下，当B点位于圆心D的正上方或正下方时，高最大，此时△ABC的面积最大，B点坐标为(5，4)或(5，－4)，所以|BC|＝(5-3)2＋46.已知在平面直角坐标系中，圆O：x2＋y2＝1，点A-12，0和点B0，12，M为圆O上的动点，则2|MA|－|A.52 B.172 C.32答案B解析设点M(x，y)，令2|MA|＝|MC|，则|MA||MC|由题知圆x2＋y2＝1是关于点A，C的阿波罗尼斯圆，设点C(m，n)，则|MA||MC|整理得x2＋y2＋2m＋43x＋2比较两方程可得2m＋43＝0，2n3＝0，m2＋n2-13＝1，即m＝－2，当点M位于图中M1的位置时，即2|MA|－|MB|＝|M1C|－|M1B|，此时取得最大值，最大值为|BC|＝172二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.在平面直角坐标系中，A(－1，0)，B(2，0)，动点C满足|CA||CB|＝12，直线l：mx－y＋m＋1＝0A.动点C的轨迹方程为(x＋2)2＋y2＝4B.直线l与动点C的轨迹一定相交C.动点C到直线l距离的最大值为2＋1D.若直线l与动点C的轨迹交于P，Q两点，且|PQ|＝22，则m＝－1答案ABD解析对于A选项，设C(x，y).因为|CA||CB|所以(x整理得x2＋y2＋4x＝0，即(x＋2)2＋y2＝4，所以动点C的轨迹为以N(－2，0)为圆心，2为半径的圆，轨迹方程为(x＋2)2＋y2＝4，故A正确；对于B选项，因为直线l过定点M(－1，1)，而点M(－1，1)在圆N内，所以直线l与圆N一定相交，故B正确；对于C选项，当直线l与直线NM垂直时，动点C到直线l的距离最大，且最大值为r＋|NM|＝2＋2，故C错误；对于D选项，记圆心N到直线l的距离为d，则d＝m-1因为|PQ|2＝4(r2－d2)＝8.又r＝2，所以d＝2.由(m-1)2m2＋1＝28.若椭圆Γ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的蒙日圆方程为C：x2＋y2＝32a2，过C上的动点M作Γ的两条互相垂直的切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交Γ于AA.椭圆Γ的离心率为2B.△MPQ面积的最大值为32aC.M到Γ的左焦点的距离的最小值为(2－2)aD.若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k1，k2，则k1k2＝－1答案ABD解析由蒙日圆的定义得a2＋b2＝32a2，即a2＝2b2所以椭圆Γ的离心率e＝ca＝1-因为点M，P，Q都在圆C上，且∠PMQ＝90°，所以PQ为圆C的直径，所以|PQ|＝2×32a所以△MPQ面积的最大值为12|PQ|·32a2＝6a设M(x0，y0)，Γ的左焦点为F(－c，0)，连接MF(图略)，因为c2＝a2－b2＝12a2所以|MF|2＝(x0＋c)2＋y02＝x02＋y02＋2x0c＋c2＝32a2＋又－62a≤x0≤62所以|MF|2的取值范围为[(2－3)a2，(2＋3)a2]，则M到Γ的左焦点的距离的最小值为(6-2由直线PQ经过坐标原点，易得点A，B关于原点对称，设A(x1，y1)，D(x2，y2)(x2≠±x1)，则B(－x1，－y1)，k1＝y1-y2x1又x122b2所以y12-y2所以k1k2＝－12