【初中数学·九年级】过不共线三点的圆及其外接圆教案

【初中数学·九年级】过不共线三点的圆及其外接圆教案

一、教学指导思想与理论依据

（一）指导思想

本课设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本遵循，秉持“以学生发展为本”的核心教育理念，致力于发展学生的数学核心素养，特别是几何直观、逻辑推理、数学抽象和数学建模能力。教学从真实世界的问题情境出发，引导学生经历“观察—猜想—实验—论证—应用”的完整数学探究过程，深刻理解“确定一个圆的条件”这一基本几何事实。本设计超越对结论的简单记忆，着力于揭示知识背后的数学思想方法（如化归思想、分类讨论思想、公理化思想），并注重数学与生活、工程、艺术等领域的横向联系，培养学生的跨学科思维和应用意识。

（二）理论依据

1.建构主义学习理论：强调知识不是被动接受的，而是学习者在原有认知基础上，通过与环境互动主动建构的。本课通过设置“如何复原破碎的圆形瓷器”等挑战性任务，引发学生的认知冲突，激发其主动探究的欲望，使新知识（过三点的圆）的建构成为解决实际问题的内在需要。

2.“再创造”教学理论（弗赖登塔尔）：数学教学应引导学习者“再创造”数学知识。本节课将学生置于古代工匠或数学家的位置，让他们通过画图实践，自己“发现”“过一点/两点/三点能画多少个圆”的规律，最终“发明”确定圆的条件，体验数学知识的发生发展过程。

3.深度学习理论：追求在理解的基础上，学习者能够批判性地学习新思想，并将其融入原有的认知结构，且能迁移到新情境中解决问题。本课通过对“外心”性质的深入挖掘、多种证明方法的探讨以及在复杂背景下的应用，引导学生走向深度学习。

二、教学背景分析

（一）教学内容分析

“过三点的圆”是初中几何圆这一单元的核心基础内容之一，它位于“圆的基本概念与性质”之后，“垂径定理”等内容之前，起着承上启下的关键作用。

1.承上：它是对“圆”的定义（到定点的距离等于定长的点的集合）的直接应用和深化。理解“确定一个圆的条件”本质上是理解圆心和半径这两个基本要素如何被确定。

2.启下：它是学习“三角形的外接圆与外心”的必备前提。外心（三边垂直平分线的交点）的性质是后续许多几何定理（如圆周角定理）证明和几何问题解决的重要工具。本节课的内容是构建整个圆的知识体系的重要支柱。

3.数学本质：从更高观点看，“过不共线三点确定一个圆”是欧氏平面几何中的一个基本事实，它与“两点确定一条直线”具有同等的公理地位。它深刻揭示了圆与点集之间的内在联系，是坐标法和解析几何思想的早期渗透（通过找圆心这一“点”的轨迹）。

（二）学情分析

本节课的教学对象是九年级学生。

1.知识基础：他们已经掌握了圆的基本概念，理解圆心和半径的作用；掌握了线段垂直平分线的尺规作图方法和性质定理（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）；具备基本的尺规作图能力和几何图形观察能力。

2.能力与思维水平：九年级学生的抽象逻辑思维能力有较大发展，能够进行归纳、类比和简单的演绎推理。但将具体操作经验上升为严谨的数学命题，以及进行严谨的几何证明，对他们来说仍有一定挑战。部分学生存在思维定势，可能直觉认为“三点总能确定一个圆”，对三点共线这一特殊情况缺乏考虑。

3.学习心理：他们对富有挑战性和现实意义的探究活动感兴趣，渴望获得成功的体验。小组合作学习的方式能有效调动他们的积极性，促进思维的碰撞。

（三）教学重点与难点

1.教学重点：

1.2.探索并理解“不在同一直线上的三个点确定一个圆”。这是本节课的知识核心。

2.3.掌握三角形外接圆的作法，理解外心的概念。这是核心知识的直接应用。

4.教学难点：

1.5.对“确定”一词的数学理解：即存在性（符合条件的圆存在）和唯一性（符合条件的圆只有一个）的双重含义。

2.6.三角形外心存在性及唯一性的逻辑证明：如何利用垂直平分线的性质，严谨地证明所作圆的圆心是唯一的，且该圆一定经过三个顶点。

3.7.外心位置（与三角形形状关系）的分类理解：这是对核心知识的深度拓展和应用。

三、教学目标

基于以上分析，确立如下三维教学目标：

（一）知识与技能

1.经历探索过程，归纳总结出“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的结论。

2.掌握已知不在同一直线上的三点作圆的方法（尺规作图）。

3.理解并掌握三角形外接圆、外心的概念，能熟练作出锐角、直角、钝角三角形的外接圆。

4.能初步应用过三点作圆的知识解决简单的实际问题。

（二）过程与方法

1.通过动手操作、观察猜想、合作交流等数学活动，发展几何直观和合情推理能力。

2.经历从“如何找圆心”到“为什么这样找”的思维过程，体会将实际问题抽象为数学问题，并利用已有知识（垂直平分线性质）解决新问题的化归思想。

3.在证明“过不共线三点有且仅有一个圆”的过程中，学习分类讨论和严谨的演绎推理方法。

（三）情感、态度与价值观

1.在探究活动中获得成功的体验，增强学习数学的自信心和兴趣。

2.感受数学的确定性、严谨性和广泛应用性，体会数学来源于生活并服务于生活。

3.通过了解中国古代数学成就（如《周髀算经》中相关记载），增强民族自豪感。

四、教学策略与方法

1.主导策略：问题驱动式教学、探究发现式教学。

2.主要方法：

1.3.情境创设法：利用文物复原、社区建亭等真实情境导入，激发兴趣。

2.4.实验探究法：学生分组进行画图实验，收集数据，观察规律。

3.5.对话讨论法：师生、生生之间围绕关键问题展开对话，深化理解。

4.6.讲练结合法：在探究获得结论后，通过例题讲解和分层练习巩固应用。

5.7.信息技术整合法：使用几何画板（GeoGebra）动态演示三点运动过程中圆的变化，直观验证结论，特别是展示三点共线时无法成圆的过程，突破难点。

8.学习方式：自主学习、合作学习、探究学习相结合。

五、教学资源与工具准备

1.教师：多媒体课件（含几何画板动态演示）、导学案、实物投影仪。

2.学生：圆规、直尺、三角板、量角器、课堂练习本、不同形状的三角形纸片（锐角、直角、钝角各一）。

3.环境：学生按4-6人异质小组就座，便于合作交流。

六、教学过程设计与实施

(预计课时：1课时，45分钟)

环节一：创设情境，问题导入(5分钟)

教师活动：

1.【情境一：文物复原】展示一张圆形瓷盘破碎后残留较大碎片的图片（碎片上含有圆周上的三个点A、B、C）。提问：“假如你是文物修复专家，仅凭这块碎片，你能推断出原瓷盘的大小和形状吗？如何精准地复原整个圆盘？”

2.【情境二：社区规划】展示一个社区公园平面图，图上有三个不在一条直线上的休闲设施点（如凉亭A、健身区B、儿童沙坑C）。提问：“社区计划在到这三个地点距离都相等的位置建造一个公共饮水台，这个位置在哪里？如何精准找到？”

学生活动：

1.观察情境，思考问题。

2.初步发表看法：可能联想到要找到圆心，需要确定圆规的“尖”和“开口”大小。

设计意图：

1.从两个不同领域的真实问题切入，让学生感受数学的普遍应用价值，迅速进入学习状态。

2.问题本质都是“过三点作圆”，但表述角度不同（一是复原图形，一是找等距点），初步渗透数学模型思想。学生基于生活经验能产生直观猜想，但如何实现“精准”操作，则引发认知需求，自然导向本节课的主题。

环节二：操作探究，建构新知(20分钟)

探究活动一：一点、两点能确定一个圆吗？

教师活动：

1.布置任务一：请每位同学在纸上画一个点A，尝试用圆规画出经过这个点的圆。问：你能画多少个？圆心和半径有何要求？

2.布置任务二：在纸上画两个点A、B，尝试画出经过这两个点的圆。问：你能画多少个？这些圆的圆心分布有什么规律？

3.引导学生将任务二的发现用数学语言描述：圆心在线段AB的垂直平分线上。

学生活动：

1.动手画图，交流发现。

1.2.对于一点：能画无数个圆。圆心可以是除A点外的任意一点，半径是圆心到A点的距离。

2.3.对于两点：也能画无数个圆。这些圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上。

4.尝试用尺规规范地作出过一个点、过两个点的多个圆，验证结论。

设计意图：

1.采用“退一步”的策略，从简单情形（一点、两点）入手，为探究三点的情况作好知识和思维铺垫。

2.让学生在实践中直观感受“不确定”的含义（无数个），并初步体会圆心所满足的条件（轨迹思想）。

探究活动二：三点能确定一个圆吗？（核心探究）

教师活动：

1.提出核心挑战：“那么，经过任意三个点，比如A、B、C，能画几个圆呢？情况会和一点、两点一样吗？”

2.组织分组探究：发放探究记录单。要求：

1.3.第一、二组：给定三点构成一个锐角三角形。

2.4.第三、四组：给定三点构成一个直角三角形。

3.5.第五、六组：给定三点构成一个钝角三角形。

4.6.第七组：给定三点在同一直线上。

5.7.每组用尺规尝试作经过这三点的圆，记录成功与否。如果成功，观察圆心的位置有何特征？与三角形有何关系？

8.巡视指导，关注学生的作图过程，特别是对三点共线组的引导。

9.组织汇报交流。各组派代表上台用实物投影展示作图结果并陈述发现。

10.引导归纳：

1.11.当三点不共线时（构成三角形），各组都能作出一个唯一的圆。

2.12.请成功的小组描述他们是如何找到圆心的。引导学生总结作法步骤：分别作线段AB和BC的垂直平分线，其交点O即为圆心，OA为半径。

3.13.当三点共线时，无法作出一个圆。使用几何画板动态演示三点共线时，无法找到一个点到三点的距离相等。

学生活动：

1.小组合作，按任务要求动手操作、尝试、讨论。

2.记录并分析现象，准备汇报。

3.倾听他组汇报，对比不同情况下的结果。

4.在教师引导下，总结出关键结论：“不在同一直线上的三个点确定一个圆”。并理解“确定”包含了“存在”和“唯一”两层意思。

设计意图：

1.这是本节课的中心环节。通过分组实验、分类探究，让学生亲身经历知识的“发现”过程，结论的得出水到渠成。

2.分类安排（不同形状三角形、共线情况）确保学生探究的全面性，避免以偏概全，自然引出“不共线”的前提条件，突破认知盲点。

3.合作学习促进思维共享，实物投影展示增强课堂参与感和生成性。

探究活动三：从操作到证明——为什么是垂直平分线的交点？

教师活动：

1.追问升华：“我们通过作图‘找到’了圆心，但它为什么一定是两条垂直平分线的交点？为什么这个圆就一定经过A、B、C三点？你能用我们学过的知识证明吗？”

2.引导学生将操作问题转化为证明问题：

1.3.已知：点A、B、C不在同一直线上。

2.4.求证：存在一个唯一的圆O，使得A、B、C在圆O上。

5.带领学生分析证明思路：

1.6.存在性证明：作AB和BC的垂直平分线，设交点为O。根据垂直平分线性质，有OA=OB，OB=OC。故OA=OB=OC。以O为圆心，OA为半径画圆，则圆O必经过A、B、C。

2.7.唯一性证明：（反证法）假设还存在另一个圆心O'，使O'A=O'B=O'C。由于O'A=O'B，则O'在AB的垂直平分线上；同理，O'也在BC的垂直平分线上。而两条不重合的直线只有一个交点，所以O'与O重合，半径也相等。故圆唯一。

8.利用几何画板，动态展示当三点位置变化时，两条垂直平分线交点（圆心）的变化轨迹，以及半径的变化，强化理解。

学生活动：

1.跟随教师引导，尝试用数学语言表述作图背后的逻辑。

2.理解存在性和唯一性证明的推理过程，体会数学的严谨性。

3.观看动态演示，建立更直观的几何运动观念。

设计意图：

1.将动手操作的“知其然”提升到逻辑证明的“知其所以然”，这是培养学生逻辑推理素养的关键一步。

2.通过分析证明，深化对垂直平分线性质的理解，并将其作为解决问题的有力工具，感受几何公理体系的魅力。

3.动态演示将静态结论动态化，帮助学生建立更深刻的表象。

环节三：形成概念，深化理解(8分钟)

（一）概念定义

教师活动：

1.顺势引出概念：“经过三角形三个顶点的圆，我们给它一个专门的名称。”

2.板书并讲解：

1.3.三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆。

2.4.三角形的外心：三角形外接圆的圆心（即三边垂直平分线的交点）。

3.5.“外”字的含义：圆心在三角形外（针对钝角三角形），或边上（直角三角形），或形内（锐角三角形）。

6.强调外心的本质属性：到三角形三个顶点距离相等。

学生活动：

1.识记概念，在图形上标注。

2.思考外心“外”字的理解。

（二）深化探究：外心的“行踪”

教师活动：

1.提出问题：“我们刚刚探究了锐角、直角、钝角三角形都能作出外接圆。那么，它们的外心位置与三角形形状有何关系？”

2.引导学生回顾刚才分组作图的成果，并利用几何画板，动态拖动三角形顶点，使其形状从锐角变为直角再变为钝角，让学生观察外心位置的变化。

3.组织学生填写下表（可投影）：

三角形形状

外心位置

外心与三角形的位置关系

特例/说明

锐角三角形

三条边垂直平分线的交点

在三角形内部

直角三角形

斜边中点

在三角形斜边上

斜边是直径，此为重要推论

钝角三角形

三条边垂直平分线的交点

在三角形外部

1.重点讲解直角三角形的外心即斜边中点，并引导学生简单证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故斜边中点到三个顶点距离相等。

学生活动：

1.观察、比较、归纳不同三角形外心的位置特点。

2.合作完成表格，理解记忆规律。

3.理解直角三角形外心特殊位置的证明。

设计意图：

1.将“过三点作圆”与三角形紧密绑定，形成“三角形的外接圆”这一核心概念，使知识结构化。

2.对外心位置的分类探究，是对前面实验结果的理性提升和系统化，培养学生全面、动态地看待几何对象的能力。直角三角形的结论是后续学习的常用知识点。

环节四：应用迁移，分层巩固(10分钟)

教师活动：

1.基础应用（回归导入问题）：

1.2.提问：“现在，你能解决导入时的两个问题了吗？请简述你的方案。”

2.3.学生口答，教师点评。明确：文物复原问题即作已知三点的外接圆；社区建饮水台问题即找三角形的外心。

4.例题精讲：

1.5.【例1】已知：△ABC，用尺规作图作出它的外接圆。

2.6.教师板演，强调作图规范（保留作图痕迹，写出结论）。

3.7.【例2】如图，在△ABC中，∠BAC=50°。点O是△ABC的外心。求∠BOC的度数。

4.8.引导学生分析：外心O到A、B、C距离相等，故OA=OB=OC。连接OA、OB、OC后，出现多个等腰三角形。利用圆周角定理（可适当提前渗透）或圆心角与圆周角关系求解。解法多样，鼓励学生思考。

9.分层练习：

1.10.A组（基础巩固）：

1.2.11.判断题：任意三点都可以确定一个圆。()

2.3.12.判断题：三角形的外心到三边的距离相等。()（辨析外心与内心）

3.4.13.尺规作图：已知线段AB，作经过A、B两点且半径为2cm的圆。这样的圆能作几个？

5.14.B组（能力提升）：

1.6.15.如图，破残的轮片上，弓形的弦AB长为48cm，高CD为8cm。求原轮片的半径。（建立数学模型：在圆弧上找三点还原圆）

2.7.16.求证：直角三角形的外接圆半径等于斜边上的中线长。

8.17.C组（拓展延伸）：

1.9.18.（跨学科联系）考古学家发现一块古代圆镜的碎片，在弧缘上选取三点A、B、C，测得AB=10cm，BC=12cm，AC=14cm。请你帮助计算这面圆镜原来的直径。

2.10.19.思考：过四个点能确定一个圆吗？需要什么条件？（为后续学习四点共圆埋下伏笔）

学生活动：

1.完成例题和练习，基础题独立完成，提升题小组讨论。

2.板演作图过程和习题解答。

3.倾听不同解法，优化自己的思路。

设计意图：

1.应用环节首尾呼应，让学生用所学知识解决导入问题，获得学以致用的成就感。

2.例题设计由浅入深，例1巩固技能，例2深化概念应用，链接未来知识，培养综合能力。

3.分层练习满足不同层次学生需求，A组保底，B组促优，C组拓展思维，体现因材施教。跨学科题目体现数学的应用广度。

环节五：课堂小结，反思升华(2分钟)

教师活动：

1.引导学生从知识、方法、思想三个维度进行总结。

2.提问：“通过本节课的学习，你收获了哪些‘确定’的知识？体会了哪些‘不确定’中的‘确定’思想？”

3.教师用思维导图形式进行系统性总结（可提前准备板贴或PPT动画）：

1.4.知识主干：确定圆的条件→过不共线三点有且仅有一个圆→三角形的外接圆与外心。

2.5.方法枝干：实验探究、尺规作图、逻辑证明、分类讨论。

3.6.思想根源：化归思想（将找圆心转化为找垂直平分线交点）、公理化思想、数学模型思想。

学生活动：

1.自主回顾，梳理知识脉络。

2.分享学习体会和困惑。

设计意图：

1.引导学生进行元认知，回顾学习过程，整合新知识到原有认知结构中。

2.系统化的总结帮助学生形成清晰的知识网络，把握本节课的核心与灵魂。

七、教学评价设计

1.过程性评价：

1.2.观察评价：在探究活动中，观察学生的参与度、合作交流情况、操作规范性和思维活跃度。

2.3.问答评价：通过课堂提问，评价学生对关键问题的理解深度和语言表达能力。

3.4.作品评价：对学生的探究记录单、尺规作图作品进行评价，关注其规范性和准确性。

5.终结性评价：

1.6.课堂练习反馈：通过分层练习的完成情况，诊断各层次学生对知识的掌握程度和应用能力。

2.7.课后作业：布置有针对性的作业，进一步巩固和拓展学习效果。

八、分层作业设计

1.必做题（面向全体）：

1.2.课本对应练习：尺规作给定三角形的外接圆。

2.3.整理本节课的笔记，画出知识结构图。

3.4.完成练习册基础部分关于外心基本性质的题目。

5.选做题（面向学有余力者）：

1.6.探究：寻找或设计一个生活中需要用到“过三点作圆”原理的实际问题，并写出解决方案。

2.7.证明：锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形外部。

3.8.预研：查阅资料，了解“九点圆”的相关知识，感受几何的奇妙。

九、板书设计（提纲式）

主板书：

课题：过不共线三点的圆与三角形的外接圆

一、探究确定圆的条件

1.一点→无数圆

2.两点→无数圆（圆心轨迹：线段垂直平分线）

3.三点：

1.4.不共线→有且只有一个圆（确定）

2.5.共线→没有圆

二、作法与证明

1.作法：分别作两条边的垂直平分线，交点为圆心O，OA为半径。

2.证明：（略，关键词：存在性、唯一性、垂直平分线性质）

三、相关概念

1.三角形的外接圆：过三角形各顶点的圆。

2.三角形的外心：外接圆的圆心（三边垂直平分线的交点）。

1.3.性质：到三角形三个顶点距离相等。

四、外心位置与三角形形状

形状

锐角三角形

直角三角形

钝角三角形

外心位置

内部

斜边中点

外部

副板书：

1.例题解答区

2.学生板演区

3