2026年上海七宝中学高一下学期5月月考数学（含答案）

七宝中学2025-2026学年第二学期高一5月数学练习一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1．扇形半径为6，弧长为4，则面积为________．2．若角的终边过点，则______．3．计算：________4．函数的最小正周期为______.5．已知，，则的最小值为________.6．已知，，则在方向上的投影向量的坐标为______.7．已知非零向量满足，则___________．8．在斜内，内角所对的边分别为，若，则_____________．9．在中，已知是重心，三内角、、的对边分别为、、，且.则______.10．若函数在区间恰有2个零点，则的取值范围是____________.11．已知正边形内接于单位圆，且满足的顶点恰有个.若等腰直角（为直角顶点）的顶点在圆上，并考虑所有满足要求的正边形与等腰直角，则的最大值为______.12．已知复数满足，，，则下列三个等式中恒成立的为______（填写序号）.①；②；③.二、选择题（第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分）13．已知是等差数列，且，，则首项（

）A． B． C． D．14．已知中，，则（

）A． B． C． D．15．中，是中点，是中点，则下述两个命题的判断，正确的为（

）命题①：存在，使得命题②：存在，使得A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假16．已知，且不全相等的三个复数满足，记复平面上对应的点分别为，则三个点（

）A．可能构不成三角形 B．可构成锐角三角形C．可构成直角三角形 D．可构成钝角三角形三、解答题（共78分）17．已知复数满足.(1)求；(2)已知是关于的实系数一元二次方程的一个根，分别求的值.18．如图，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．假设．(1)设、，若、、三点共线，求实数的值；(2)设，求的面积．19．某新能源汽车购车费用为14.4万元，每年应交付保险费、充电费用共0.9万元，汽车的保养维修费如下：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增.(1)设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为，写出的表达式；(2)问这种新能源汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年的年平均费用最少）？年平均费用的最小值是多少？20．设，函数.(1)当时，求函数的值域；(2)讨论函数的零点个数；(3)若函数恰有两个零点，证明：.21．已知数列，设.若满足“存在常数，对任意两两不同的正整数，有”，则称具有性质.(1)若，判断数列是否具有性质（无需说明理由）.(2)若，判断数列是否具有性质，并说明理由.(3)若数列具有性质，判断是否一定为等差数列，并说明理由.1．12由题意扇形，弧长，代入公式计算得：.2．##根据三角函数诱导公式整理原式，再结合三角函数定义求解.由三角函数诱导公式，可得.已知角的终边过点，设点的横坐标，纵坐标，该点到原点的距离：，根据任意角三角函数的定义，，所以.3．##.4．根据正切函数周期即可求解.由于函数的最小正周期为，所以的最小正周期为.5．2由向量三角不等式可知：当与方向相反时，有最小值，所以的最小值为.6．根据向量的数量积、向量的模及投影向量的计算公式求解即可.在方向上的投影向量为.7．，，设，则，．8．根据三角恒等变换得，再根据余弦定理，正弦定理角化边得，最后根据已知条件即可求得答案.因为，所以所以因为，，为外接圆半径，所以因为，所以，9．因为，所以.故.设，则，.由余弦定理得.因此，.故答案为10．利用换元法结合三角函数图象来列出限制条件可得答案.令，∵函数在区间恰有2个零点，∴有两个根，即与有2个公共点，如图，则且，所以.所以的取值范围是.11．题意条件可转化为的顶点的个数仅3个，可先根据向量模长公式得出向量夹角的范围，利用正n边形的性质可得，即，再利用向量加法将转化为，进而利用等腰直角三角形与圆的性质，结合三角函数辅助角公式求最值即可.由题知正n边形顶点为，设和夹角为，由题意可得，满足的顶点仅3个，不等式两边平方可得，因为正n边形内接于单位圆O，所以，且，所以，则，故，故满足条件的顶点只能为这三个，所以有，解得，故；所以.下面求的最大值.如图，由等腰直角三角形中，取中点，连接，则，，故三点共线，设，则，，所以，当时，等号成立，故，且当时，取到最大值.12．①②③利用共轭复数的性质可求判断各结论均恒成立.对于①，，而，故，所以，故，故①恒成立，对于③，因为，故，故，故，而，故，，所以，故，故③恒成立，对于②，由③的分析可得，若，则，从而，若，则，综上，②恒成立.13．C结合等差数列的通项公式列方程组求解即可.设等差数列的公差为，则.由，得，即.联立解得，.14．A由已知结合同角三角函数的基本关系求出，，然后结合诱导公式以及和差角公式进行化简即可求解.因为在中，，，所以，，因为，为锐角，所以，若，则为钝角，又可知，，此时，矛盾，故，则.15．B由得，进而判断①，取的中点，连接，由，得，进而得三点共线，则，进而判断②.由题意得：，对①，由，得，所以，所以，即当满足时，使得，故①真；对②，取的中点，连接，则，若，则可得，所以三点共线，因为，所以，这显然不可能，所以不存在，使得，故②假.16．B由题意可得，反证法可证明，可得不重合，利用反证法证明不共线判断A；设，计算可得对应三角形三边之比为，利用余弦定理计算可判断BCD.由，得，所以，若，则可得，进而可得，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，这与不全相等的三个复数，故，同理可得，，所以三点不重合，若共线，则，则可得，所以，因为，所以，所以可得，这与三点不重合矛盾，所以三点不共线，所以三点一定可构成三角形，故A错误.设，则，所以，所以，所以，所以，同理可得，即三角形的三边之比为，所以，所以为锐角，同理为锐角，故B正确，CD错误.17．(1)(2)（1）设复数，利用复数的运算和复数相等解出即可求解；（2）根据已知条件，推得也为实系数一元二次方程的一个根，再结合韦达定理，即可求解.（1）设复数，所以，又，所以，解得，所以；（2）由题意得：是关于的实系数一元二次方程的一个根，所以也是实系数一元二次方程的另一个根，所以，解得.18．(1)(2)（1）根据已知条件表示，根据求出，根据三点共线得出，进而利用平面向量基本定理构造方程组求解；（2）根据平面向量数量积的定义求出，进而求出，进而利用向量夹角余弦公式计算求出，进而求出，再利用三角形面积公式计算求解．（1）已知、，则，，又，，，又、、三点共线，则存在实数使得，即，由平面向量基本定理得，解得，实数的值．（2）由平面向量数量积的定义可得，由题意可得，，同理，，，又，，．19．(1)；(2)12年，万元.（1）根据给定条件，利用等差数列前n项和公式，即可得到的表达式.（2）由（1）的结论，求出使用n年平均费用表达式，再利用基本不等式，求解即得.（1）依题意，汽车每年的保养维修费构成以0.2为首项，0.2为公差的等差数列，所以，.（2）设该车的年平均费用为S万元，，则有仅当，即时取等号，所以汽车使用12年报废最合算，年平均费用的最小值是万元.20．(1)(2)答案见解析(3)证明见解析（1）化简函数，令，利用二次函数的性质计算值域；（2）化简函数，令，得到，结合，得到，分类讨论，结合余弦函数的性质，即可求解；（3）由有两个零点可得，再结合余弦函数的性质即可证明.（1），令，则，因为的值域为，即的值域为；（2）易知，令，则，令，则.当或，即或时，（*）无解，故无零点；当，即时，（*）仅一解，故仅有一个零点；当，即时，（*）有两解，，故有两个零点.（3）若恰有两个零点，令，所以为方程的两个根，所以，所以，由于，所以，所以，所以，即，而，所以，因为在上单调递减，所以，即.21．(1)数列不具有性质.(2)数列具有性质，理由见解析.(3)一定为等差数列，理由见解析.（1）取特殊值代入检验判断即可.（2）先根据求出，然后将代入表达式进行判断即可.（3）先通过赋值求出的通项公式，然后求出的通项公式，然后判断是否为等差数列即可.（1），是以为首项，公比为的等比数列，其前项和，.取代入计算.再取代入计算.两次计算结果不相等