股票多因子系列：风险模型应用之协方差矩阵估计篇

正文目录前言 3因协方矩估计 5因协差矩的估计 5因协差矩的Newey-West5特因调整法 7因波率偏调整 特性收协差估计 13特性险的13特性险的构型调整 14贝斯缩法（Bayesianshrinkage） 16特性险偏调整 18Barra险型践用 19投组风险测 19最方组合 215总结 23风提示 24参文献 248附录 25偏统量（BiasStatistics） 25最投组合（OptimalPortfolios） 25图表目录图1Barra险型个股方矩流图 4图2Newey-West调因子相系矩热图 6图3因子资合统计（整） 8图4最优资合统计（整） 8图5因子资合统计（整） 10图6最优资合统计（整） 10图7波动偏调数与CSV（轴对比 12图8特征子合平均BiasVSVRA调移动均Bias 12图9近十𝛾𝑛=1个股市场重 15图10贝斯缩分组合差计量 16图、叶压后组合差计明更近1 17图12特性险误整乘能速应CSV（右轴的动 18图13沪深300预波率VS际动率 19图14中证500预波率VS际动率 19图15创板预波率VS际动率 20图16科创50测率VS际动率 20图17中证A500测动率VS实波率 20图18中证1000预动率VS实波率 20图19沪深300最方组合VS沪深300 21图20中证500最方组合VS中证500 22图21创板最方组合VS创板指 22表1本文型用因子其成子览 3表2因子方矩计参表单：易） 13表3特质风协矩阵计数（位交易） 19表4最小差合准指指对（2020年1月至2026年423前言上篇报告中，我们先详细介绍了Barra风险模型的搭建与求解方法，然后在理论的基础上实践构造了8大类风格因子（Size、Volatility、Liquidity、Momentum、Quality、Value、Growth、DividendYield）的纯因子模型，并计算得出大类因子的纯因子收益率曲线。随后，我们利用所搭建的风险模型对常见宽基指数的风格暴露与收益分别进行计算与归因。本篇报告中，我们将进一步探索Barra风险模型的核心应用——个股协方差矩阵估计。前文曾反复强调，个股协方差矩阵之所以重要，是因为其是投资组合风险控制中不可或缺的一环。有了个股协方差矩阵𝜮，我们便可以使用不同的目标函数构建最优投资组合。表1、本文模型所用大类因子及其构成因子一览大类子 二级子 三级子SizeSizeLnCapMidCapMidCapVolatilityBetaBetaResidualVolatilityHistsigmaDailystdCumulativerangeLiquidityLiquidityMonthlyshareturnoverQuarterlyshareturnoverAnnualshareturnoverAnnualizedtradedvalueratioMomentumShortTermreversalShortTermreversalSeasonalitySeasonalityIndustryMomentumIndustryMomentumMomentumRelativestrengthHistoricalalphaQualityLeverageMarketLeverageBookLeverageDebttoassetratioEarningsVariabilityVariationinSalesVariationinEarningsVariationinCash-FlowsEarningsQualityAccrualsBalancesheetversionAccrualsCashflowversionProfitabilityAssetturnoverGrossprofitabilityGrossProfitMarginReturnonassetsInvestmentQualityTotalAssetsGrowthRateIssuancegrowthCapitalexpendituregrowthValueBTOPBooktopriceEarningsYieldTrailingEarnings-to-priceRatioCashearningstopriceEnterprisemultiple(EbittoEv)LongTermreversalLongtermrelativestrengthLongtermhistoricalalphaGrowthGrowthHistoricalearningspersharegrowthrateHistoricalsalespersharegrowthrateDividendYieldDividendYieldDividend-to-priceratioBarraCNE6Barra对个股协方差矩阵的估计可以拆分为对因子协方差矩阵的估计和特质性收益协方差矩阵估计，具体而言，三者的关系可以由式（1）给出：Σ=Σ'+Σ

(1)其中，𝜷=[𝜷1,𝜷2,…,𝜷𝑁]𝑇为𝑁×𝐾因子暴露矩阵，𝜮𝜆、𝜮𝜀分别𝐾×𝐾因子协方差矩阵与𝑁×𝑁特质性收益协方差矩阵。对于𝜮𝜆与𝜮𝜀，如果直接使用历史均值作为未来估计的话，会产生较大的偏误。为了缩减偏误，增强模型预测的准确性，Barra采用了一系列调整方法来对两者的估计值进行修正。图1、Barra风险模型估计个股协方差矩阵流程图BarraCNE6通过上述流程，估算出最终的个股协方差矩阵后，对于投资组合𝑃，假设其持仓权重为𝑤𝑃，那么其组合风险可以表示为：P (P)2w'P P '+ΣP

(2))wP因子协方差矩阵估计在得到了因子收益率时间序列后，便可利用时间窗口𝑇内历史收益率序列计算因子收益率的样本协方差矩阵，这是因子协方差矩阵最简单、最原始的估计方法。令̂𝜆𝝀𝒕=[1,2,…,𝐾]𝑇为𝐾𝑡 𝑡 𝑡（𝑇内：1T

11

1

12

1

1KT1

ttt1

T1

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T1

ttt1T

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22

1

2Kˆ

T-1

ttλλ' ttλλ' ttT1

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T1

t

tt(3)t1

1 T

1T1T1K1 K2 KKT1

t t1

T1

t

t t t tt式（3）对时间窗口内的因子收益率采用了简单平均，而BarraCNE6中则采用了指数移动平均（EWMA）的方式进行加权，赋予近期观测值更高的权重并同时降低远期观测值对协方差估计的影响：T TˆWTtλλ'

Ttt1

t tt t1

(4)其中，𝜏为半衰期大小，决定了历史观测值权重衰减的速度。调整以上对协方差矩阵的估计并未考虑因子收益率之间的时序自相关性（aeli，当自相关性存在时，上述样本估计量并不是真实估计量iteiiBaaN6BarraCNE6使用了（1987）qˆ(')q0 i i i1T TWTtλλ'

WTt0 t tt tt

(5)Ti Ti t tti WTi t tti

WTtti1

i1

t1其中，𝑞为最大滞后期数，𝜔𝑖为权重系数与滞后期𝑖经过（。BarraCNE6在采用Newey-West调整法时，并非直接对协方差矩阵进行调整，而是先计算因子收益率的波动率与因子收益率间的相关系数矩阵，再分别对二者进行Newey-West调整，最后相乘得到调整后协方差矩阵。例如，对于因子𝑖与因子𝑗，它们的协方差可以表示为：Cov(fi,fj)ijij

(6)其中𝜌𝑖𝑗是两者间的相关系数，𝜎𝑖与𝜎𝑗分别是两者的波动率。图2、Newey-West调整后因子间相关系数矩阵热力图 聚宽JoinQuant特征因子调整法1952年，Markowitz提出了均值方差模型（Mean-VarianceModel）帮助投资者构建了在给定风险水平下实现收益最大化的最优组合。该理论奠定了现代资产投资组合理论的基石，在学界与业界也都有着丰富的拓展与应用。然而，多数研究实证表明，风险模型往往低估了最优组合的风险水平，为了消除这种偏误，BarraCNE6使用特征因子调整法直接对因子相关系数矩阵进行调整，本节将对该方法进行概述。对于因子相关系数矩阵的样本估计̂𝜆(𝐾×𝐾)，根据其实对称矩阵的性ˆ' ()其中𝑼为𝜆的特征值向量矩阵，每一列对应̂𝜆的每一个特征向量，且特征向量两两正交（𝑼−𝟏=𝑼′；𝑫是对角阵，其对角线上元素为̂𝜆的特征（7）'ˆUD

(8)假设某个投资组合中个股的权重向量为𝒘，个股的协方差矩阵为𝚺，那么该投资组合的方差为𝒘′𝚺𝒘。若将因子视作资产，𝑼中的每一列视作因子投资组合的权重向量，那么𝑫可以视作K个因子投资组合的方差矩阵，其对角线元素就是K个因子投资组合的方差。我们将因子投资组合按照特征值从小到大进行排列，对应将因子投资组1，其偏差统计量远高于95%置信区间，与之相反的是高风险因子投资组合风险估计较为准确，其偏差统计量大多位于95%100组最优投资组合2，并同样计算其偏差统计量的大小，从图二可以看出，最优投资组合的风险同样被低估，其偏差统计量全部位于95%1偏差统计量的计算方式请见附录8.1节2最优投资组合的构建方式请见附录8.2节图3、因子投资组合偏差统计量（调整前）聚宽JoinQuant ，因子数据2020年1月至2026年4月共64月。图4、最优投资组合偏差统计量（调整前） 资料 聚宽JoinQuant ，因子数据2020年1月至2026年4月共64月。在将因子相关系数矩阵分解得到特征向量矩阵𝑼与方差矩阵𝑫后，假设因子投资组合𝑘的收益率序列满足正态分布𝑁(0,𝑫(𝑘))，使用bootstrap自助法模拟生成全部𝑇期的该因子投资组合的收益率序列，并对剩余𝐾−1个组合同样进行上述操作，得到大小为𝐾×𝑇的因子投资组合收益率矩阵。在第𝑖次模拟中，记模拟生成的收益率矩阵为𝑩𝑖，因子收益率矩阵可表示为：计算模拟样本相关系数矩阵̃𝚺𝜆𝑖:

iiiii i继续对𝜆𝑖进行特征值分解得到̃𝒊与̃𝒊，假设相关系数矩阵的样本估计𝜆为“真实”值，那么“真实”的方差矩阵𝑫𝒊可以由̃𝒊与𝜆计算得出：i D='ˆi

(11)重复式9）至1）所涉及步骤𝑁次，对比每次过程中𝒊与̃𝒊对角𝑁偏误：N D(k)NN D(k)N1Di(k)i1i

for k2,

(12)式1）中𝑘表示第𝑘个因子投资组合，𝑖(𝑘)与𝑖𝑘)则对应对角线上的第𝑘vs(k)a(v(k)1)1

(13)其中𝑎=1.4为经验系数。得到经缩放平均偏误后，将其对方差矩阵𝑫进行修正，并反推出经修正后因子相关系数矩阵：aD=V2Da

a=UDU'a式中𝑽2是K阶对角阵，其对角线元素为𝑣𝑠(𝑘)2𝑓𝑜𝑟𝑘=1,…,𝐾。图5、图6分别展示了经特征因子调整后，因子投资组合与最优投资组合的偏差统计量大小。不难发现，调整后二者的偏差统计量明显下降，表明调整效果明显，对波动率预测的准确性明显提升。图5、因子投资组合偏差统计量（调整后）聚宽JoinQuant ，因子数据2020年1月至2026年4月共64月。图6、最优投资组合偏差统计量（调整后） 资料 聚宽JoinQuant ，因子数据2020年1月至2026年4月共64月。上节谈到，BarraCNE6在采用Newey-West调整法时，同时考虑了因子间的相关系数矩阵与因子波动率，因此我们也需要对因子收益率进行估算。在使用传统方法计算波动率时，每个资产（因子）仅考虑自身的收益率序列，而并未考虑截面上其他资产对其的影响。Barra使用波动率偏误调整（VolatilityRegimeAdjustment）纳入截面上的影响因素以更好地估算因子波动率。1K2Kkkt1K2Kkktktf𝑡tBFt

(15) t tt t tt B wF2F

(16)是半衰期为𝜏𝐹 的指数加权权重，于是经偏误调整后的波动率可以表示为：k FVRAk F

(17)f,f

2

(18)i j iji j F ijij可以发现，波动率偏误调整仅仅对协方差矩阵进行一定的缩放，它并不影响因子间的相关性系数。1KKf21KKf2ktktCSVFt

(19)我们将波动率偏误调整乘数与CSV进行指数移动平滑（半衰期42个交易日）后画图进行对比，可以看到两者整体的相关性较高，且波动率偏误乘数可以快速地响应因子截面波动的变化进而可以较好地调整因子波动的整体水平。图7、波动率偏误调整乘数与CSV（右轴）对比聚宽JoinQuant图8、特征因子组合移动平均BiasVSVRA调整后移动平均Bias聚宽JoinQuant图4展示了特征因子组合滚动42将波动率进行偏误调整以及对因子相关系数矩阵进行特征因子调整后，我们可以得到经修正后因子协方差矩阵。至此，我们完成了对因子协方差矩阵的估计，下面我们将聚焦于对个股特质性收益协方差矩阵的估计。表2、因子协方差矩阵估计参数表（单位：交易日）模型因子波动率EWMA加权半衰期因子相关系数矩阵Newey-West调整滞后期因子相关系数矩阵EWMA加权半衰期因子波动率偏误调整EWMA加权半衰期BarraCNE6Trading-model04212004BarraCNE6特质性收益协方差矩阵估计个股特质性风险是无法被风险因子模型所解释的独特风险，在多因子体系下，它通常被描述为个股特质性收益的时序标准差，其中个股在𝑡日的特质性收益𝜇𝑛𝑡由截面多因子回归得出：KKnkntntk1specific_risknsdev(n

(20)其中，𝑟𝑛𝑡是个股𝑛在𝑡日的收益率，𝛽𝑛𝑘是个股𝑛对于因子𝑘的暴露，𝜆𝑘𝑡为因子𝑘的收益率。调整式（20）对个股特质性风险的估计同样未考虑特质性收益之间的时序自相关性，因此也需要对其进行Newey-West调整，具体而言：nw()2nn t nt i1n n NWCNWn n

(21)𝑛其中是个股的特质性风险，𝑤𝑡为指数移动平均加权指数，𝐶𝑁𝑊为𝑛Newey-West调整系数，其计算方法与式（5）类似，仅需要将协方差矩阵替换为个股的特质性风险向量即可。例如，对于新上市的个股，其历史数据长度并不足以支撑使用时间序列法，同样的，对于成交量较小的个股，其收益率曲线的波动过大，也不适用于使用时间序列法。针对以上情形，Barra提出了结构化模型来对特质性风险进行调整，用以提升特质性风险估算的稳健性。具体地，令为blending系数，如果个股收益率数据充足则=1=0，剩余个股的Blending01为了计算𝛾𝑛，首先定义个股𝑛的稳健标准差：n1/)31)

(22)n,qnn其中，和分别为该个股残差收益分布的25%75%分位数，剔除位[−0𝑛,+1n,qnnZn|

(23)𝑍𝑢值越大，表明个股数据质量越差，越需要通过结构化模型进行调整；如果𝑍𝑢≤1且近180个交易日内并无缺失数据，说明异常值对数据影响不大。我们可以通过𝑍𝑢来计算Blending调整系数：hZn

)))]

(24)图9、近十年来𝛾𝑛=1个股占全市场比重聚宽JoinQuant其中ℎ为回溯时间长度。从上图不难发现，市场中绝大多数个股的𝛾𝑛值为1，特别是2020年以来，全市场𝛾𝑛=1的股票占比几乎一直维持在90%以上，表明大多数个股的数据质量较高，需要调整的个股仅为少数。𝑛得到Blending无需调整的个股=1）对需要调整的个股（0≤<1）进行结构化调整。具体而言，对于所有=1的个股，取上文𝜎𝑁𝑊的对数后，对全部风S𝑘：𝑛WLS(ln(NW),X

)NW)

Xb

(25)n k knkk 𝑘𝑛的暴露，𝜀𝑛0n k knkk STRE

exp(Xnkbkn n

(26)其中，𝐸0是一个略微大于1的常数，目的是为了消除指数化所带来的偏差。最后，经结构化模型调整的最终混合特质性风险估计为：BRNW(1

(27)n nn n n贝叶斯收缩法（Bayesianshrinkage）个股特质性风险的样本外延续性往往很差。具体来说，我们将所有个股按照特质性风险从小到大分成10档，并计算每档的平均偏差统计量。将每档偏差统计量进行绘制后，同样可以发现，对于低风险档个股，其样本外特质性风险往往被低估，而与之相反的是，高风险档个股样本外特质性风险往往被高估。图10、贝叶斯压缩前分档组合偏差统计量聚宽JoinQuant𝑛既然样本数据对特质性风险的估计有偏差，那么我们考虑通过贝叶斯收缩的方式使用先验信息对其进行修正，先验即通过历史经验对特质性风险进行预估计，再将先验估计与样本估计组合起来得到后验估计。整个过程可以视为将原始的样本估计向先验估计靠拢，从而达到“收缩”的效果。具体而言，令𝜎𝐵𝑆为贝叶斯收缩调整后的特质性风险：𝑛n n n n BSv(s)(1v)BRn n n n

(28)其中，̃(𝑛)为先验估计，𝑛为收缩强度系数，它决定了赋予先验估计)wBRn nnnsnwn

sn

(29)ig其中，𝑠𝑛为个股市值，𝑤𝑛为个股在按照市值分档后的档内权重。可以看到，先验估计实际上就是个股所属市值档位内的市值加权平均，收缩强度系数的表达式为：q|BR(s)|vnn n n n (s)q|BRn n 1 N(s1 N(s)nsn(BRn(s))2nn

(30)(31)其中，𝑞为经验系数。式（30）告诉我们，收缩强度系数由特质性风险的样本估计与先验估计的偏离程度（|𝜎𝐵𝑅−̃(𝑠)|的大小）来决定，因此，𝑛 𝑛贝叶斯收缩法的背后逻辑非常直观，即当样本估计越偏离市值加权平均，就赋予先验估计更高的权重，反之亦然。图11、贝叶斯压缩后分档组合偏差统计量明显更接近1聚宽JoinQuant特质性风险的偏误调整与因子波动率的偏误调整的方法类似，都是通过截面偏差统计量对波动率预测进行修正，不同的是，特质性风险的偏差统计量采取市值加权而不是等权：wntwntnt2nntt同时定义特质性风险乘数𝜆𝑆为： t tt t tt B wS2

是半衰期为𝜏𝑆 =𝜏𝐹 的指数加权权重，那么经偏误调整后的特质𝑉𝑅𝐴 𝑉𝑅𝐴性风险可以表示为：n SVRAn S

(34)我们定义特质性风险截面波动率（CSV）为：nwu2ntnttnwu2ntntt图12、特质性风险偏误调整乘数能快速相应CSV（右轴）的变动 聚宽JoinQuant

(35)表3、特质性风险协方差矩阵估计参数表（单位：交易日）模型特质性风险EWMA加权半衰期贝叶斯收缩参数q特质性风险偏误调整EWMA加权半衰期BarraCNE6Trading-model0422520.14BarraCNE6

Barra风险模型实践与应用Barra绕风险预测结果构造最小方差组合（iim。当然，实际投资中有关风险模型的运用远不止此，本节我们仅仅是抛砖引玉，更多相关应用第一节式（2）给出了组合风险与个股协方差矩阵的关系，通过第二节w(Σ+Σ)w''P P我们可以将宽基指数视作一篮子股票的投资组合，并通过上式计算出宽（21）（未来21（2020年1月至2026年4月。图13、沪深300预测波动率VS实际波动率 图14、中证500预测波动率VS实际波动率聚宽JoinQuant 聚宽JoinQuant图15、创业板指预测波动率VS实际波动率 图16、科创50预测波动率VS实际波动率 聚宽JoinQuant 聚宽JoinQuant图17、中证A500预测波动率VS实际波动率 图18、中证1000预测波动率VS实际波动率 聚宽JoinQuant 聚宽JoinQuant从上述对比图不难发现，风险模型预测效果整体较好，走势基本与实际300、中证500、创业板指、科创50、中证A50010000.712、0.7020.708、0.658、0.440以及0.510BarraA5001000A500上市时间较晚，可回溯的时间段不足两年，也会影响风险预测的准确性。4.2最小方差组合顾名思义，最小方差组合是在给定投资组合成份的情况下，使得组合的方差最小。由于A股限制做空，那么在A股上最小方差组合可转化为以下优化问题：s.t

minw'Σwww'e=w'

(37)𝚺𝒆为N维数值全为1300、中证500图19、沪深300最小方差组合VS沪深300聚宽JoinQuant图20、中证500最小方差组合VS中证500 聚宽JoinQuant图21、创业板指最小方差组合VS创业板指聚宽JoinQuant表4、最小方差组合与基准指数指标对比（2020年1月至2026年4月）年化收益率年化波动率夏普率最大回撤卡玛比率胜率赔率沪深3005.80%18.48%0.2139.70%0.1550.72%1.04沪深300MV3.61%15.66%0.1032.05%0.1150.39%1.04中证50010.73%21.44%0.4138.45%0.2853.19%0.98中证500MV5.73%16.98%0.2229.07%0.2051.50%1.02创业板指14.91%28.94%0.4553.24%0.2849.28%1.15创业板指MV5.96%24.72%0.1655.58%0.1150.85%1.03聚宽JoinQuant

MV（）MV升。究其原因，由于指数成份股权重基本与流通市值挂钩，而本文并未对MV组合就容易跑输指数。在后续研究中，我们可以对持仓偏离度做限制或是增MV总结Barra4详细介绍并实践构造了一整套完整的Barra风控体系，涵盖了Barra风格因子计算及检验、大类因子合成、纯因子模型求解与构造以及个股协方差矩阵估计。本文是构造Barra风控体系下的第4对个股协方差矩阵估计可拆成两部分，第一部分便是对因子协方差矩阵EWMA关系数矩阵与波动率矩阵进行了调整，然后对因子相关系数矩阵使用特征值调整法进行修正、对因子波动率矩阵进行了偏误调整，最后相第二部分对特质性收益协方差矩阵估计的过程与第一部分较为类似，也是先通过EWMA法完成对特质性风险的原始估计，然后使用结构化模型完善个股特质性风险的数据结构，以提升预测的稳定性；接着，我们使用贝叶斯收缩的方式对特质性风险估计进行调整；最后，也是利用波动率偏误调整的方法对特质性风险进行修正，进而完成了对特质性收益协方差矩阵的估计。在应用部分，我们对常见宽基指数风险进行了预测并围绕它们构建了相应的最小方差组合。结果显示，风险模型预测效果整体较好，可以将其作为风险预测的有效工具。其中沪深300、中证500、创业板指、科创50、中证A500以及中证1000预测值与实际值的相关性系数分别为0.712、0.702、0.708、0.658、0.440以及0.510。在构建最小方差组合的过程中，我们发现尽管最小方差组合降低了基准指数的风险和回撤，但也造成了收益风险比的下降，究其原因，由于指数成份股权重基本与流通市值挂钩，而我们并未对MV组合的持仓偏离度做约束，因此当指数上行主要靠行业龙头拉动时，MV组合就容易跑输指数。以上仅仅是对风险模型的简单尝试，投资者们还可利用它进风险归因、组合优化、指数增强等策略搭建。在后续研究过程中，我们也将结合收益模型与风险模型对指数增强方向进行探索，敬请期待。风险提示本报告可能存在数据缺失、数据错误、数据不及时、模型处理错误等险。本报告仅从 角度，对权益市场数据进行统计、分析，不构成市场数行或股行预或荐。本报告涉及的策略搭建方法仅供参考，不构成任何投资建议。本报告回测结果仅依赖于过去公开数据，不代表未来收益，随着市场变化，所测试的结果与研究结论可能存在失效的风险。参考文献MSCI，TheBarraEuropeEquityModel(EUE3)ResearchNotes，2009MSCI，TheBarraUSEquityModel(USE4)MethodologyNotes，2011MSCI，INTRODUCINGMSCIFACS:ANewFactorClassificationStandardforEquityPortfolios，2018MSCI，BarraChinaATotalMarketEquityModelforLong-TermInvestors(CNTL)-EmpiricalNotes，2018MSCI，BarraChinaATotalMarketEquityTradingModel(CNTR)-EmpiricalNotes，20182020。2022。附录偏差统计量（BiasStatistics）偏差统计量常用来衡量风险模型对风险预测的准确性（Mencheroetal.21，它描述了真实风险与预测风险间的差异大小。具体而言，令𝑛𝑡为投资组合𝑛在过去𝑡为𝑡期期初风险的预测值，定义如下：bRntbntnt

(38)上式意味着将𝑅𝑛𝑡用𝜎𝑛𝑡进行标准化，且如果风险预测完全准确，那么𝑏𝑛𝑡的标准差为1。令𝑇为总期数，定义偏差统计量𝐵𝑛为𝑏𝑛𝑡的标准差：1T11T1T(bbn)2ntt

(39)其中，是的均值。假设𝑅𝑛𝑡满足正态分布且风险预测完全准确，𝑇1的正态分布，其95%Bn[1

2T,1

2T

(40)如果偏差统计量不在上述范围内，我们则可以拒绝原假设，认为风险估计是不准确的。最优投资组合（OptimalPortfolios）假设𝑽表示某个投资组合的协方差矩阵，那么最小方差组合（minimumvariance）的目标函数为：minww'e=1

(41)其中𝒆为N维数值全为1的列向量，根据Grinold与Kahn(2000)的研究，最小方差组合目标函数的解析解𝒘𝑂为：V-1ewo e'V-1e (42)如果将因子视为资产，令因子协方差矩阵为𝚺，因子收益率为𝜶，那么因子最小方差组合的目标函数为：minw'Σw则其解析解为：

wpw'α=α1p

(43)Σ-1αw α'Σ-1α (44)我们可以模拟生成随机的因子收益率矩阵，计算最小方差组合权重进而搭建最优因子投资组合。BarraCNE-6因子定义概述一级因子 二级因子 三级因子 说明 因子定义SizeSizeLNCAP规模流通市值的自然对数MidcapMIDCAP中市值首先取Size因子暴露的立方，然后以加权回归的方式对Size因子正交，最后进行去极值和标准化处理VolatilityBetaBETA贝塔股票收益率𝑟𝑡对沪深300收益率𝑅𝑡进行时间序列回归，取回归系数，回归时间窗口为252个交易日，半衰期63个交易日𝑟𝑡=𝛼+𝛽𝑅𝑡+𝑒𝑡ResidualVolatilityHistsigma历史sigma在计算BETA所进行的时间序列回归中，取回归残差收益率的波动率Dailystd日标准差日收益率在过去252个交易日的波动率，半衰期42个交易日Cumulativerange累积收益范围𝑍(𝑇)为过去T（1，即𝑇𝑍(𝑇)=∑ [ln(1+𝜏=1其中𝑟𝜏为股票在𝜏月的收益，从而定义累积收益范围如下：CMRA=𝑍𝑚𝑎𝑥−𝑍𝑚𝑖𝑛其中𝑍𝑚𝑎𝑥=max{𝑍(𝑇)},𝑍𝑚𝑖𝑛=min{𝑍(𝑇)}𝑇=1,…,12LiquidityLiquidityMonthlyshareturnover月换手率对最近21个交易日的股票换手率求和，然后取对数，即：21𝑉𝑡𝑆𝑇𝑂𝑀=𝑙𝑛(∑ )𝑡=1𝑆𝑡其中𝑉𝑡为股票在t日的成交额，𝑆𝑡为股票在t日的流通市值Quarterlyshareturnover季换手率𝑆𝑇𝑂𝑀𝜏为τ月的换手率（每月包含21个交易日）季换手率定义为：1 𝑇𝑆𝑇𝑂𝑄=𝑙𝑛(∑ 𝑒𝑥𝑝(𝑆𝑇𝑂𝑀𝜏))𝑇 𝜏=1T=3个月Annualshareturnover年换手率𝜏为τ11 𝑇𝑆𝑇𝑂𝐴=ln(∑ exp(𝑆𝑇𝑂𝑀𝜏))𝑇 𝜏=1T=12个月Annualizedtradedvalueratio年化交易量比率对日交易份额比率（换手率）进行加权求和，时间窗口252个交易日，半衰期63个交易日MomentumShortTermreversalShortTermreversal短期反转最近一个月的加权累积对数日收益率𝑆𝑇𝑅𝐸𝑉(𝑡)=∑𝑤𝜏−𝑡−1[ln(1+𝑟(𝜏))]𝜏∈𝑇𝑟为算数平均股票收益率，𝑤为半衰指数权重，时间窗口21个交易日，半衰期5个易日，T={t-1, ,t-n}SeasonalitySeasonality季节因子过去五年的已实现次月收益率的平均值𝑌1𝑆𝐸𝐴𝑆𝑂𝑁(𝑡)=∑𝑟𝑦𝑌𝑦=1ry为滞后y年的月收益率IndustryMomentumIndustryMomentum行业动量该指标描述个股相对中信一级行业的强度𝑅𝑆𝑆(𝑡)=∑𝑤𝜏−𝑡[𝑙𝑛(1+𝑟𝑠(𝜏)]𝜏𝜖𝑇(𝑡)式中，𝑟𝑠为日股票收益率，𝑤为半衰指数权重，时间窗口6个月，半衰期1个月，T(t)={t，...,t-n}行业𝐼𝑡𝑅𝑆𝐼(𝑡)=∑𝑐𝑖(𝑡)𝑅𝑆𝑖(𝑡)𝑖∈𝐼(𝑡)式中，𝑐𝑖(𝑡)为行业i内个股流通市值的平方根INDMOM𝑠(𝑡)=−(𝑐𝑠(𝑡)𝑅𝑆𝑠(𝑡)−𝑅𝑆𝐼(𝑡))MomentumRelativestrength相对于市场的强度计算非滞后的相对强度：对股票的对数收益率进行半衰指数加权求和，时间窗口252126个交易日以11个交易日为窗口，滞后11Historicalalpha历史Alpha在计算BETA所进行的时间序列回归中，取回归截距项QualityLeverageMarketLeverage市场杠杆计算公式为：𝑀𝐿𝐸𝑉=𝑀𝐸+𝑃𝐸+𝐿𝐷𝑀𝐸其中ME为上一交易日的市值，PE和LD分别是上一财政年度的优先股和长期负债BookLeverage账面杠杆计算公式为：𝐵𝐿𝐸𝑉=𝐵𝐸+𝑃𝐸+𝐿𝐷𝑀𝐸其中BE，PE和LD分别是上一财政年度的普通股账面价值，优先股和长期负债Debttoassetratio资产负债比𝐷𝑇𝑂𝐴=𝑇𝐿𝑇𝐴TL、TA分别为上一财政年度总负债和总资产EarningsVariabilityVariationinSales营业收入波动率过去五个财年的年营业收入标准差除以平均年营业收入VariationinEarnings盈利波动率过去五个财年的年净利润标准差除以平均年净利润VariationinCash-Flows现金流波动率过去五个财年的年现金及现金等价物净增加额标准差除以平均年现金及现金等价物净增加额StandarddeviationofAnalystEarnings-to-Price分析师预测盈市率标准差预测12月eps的标准差除以当前股价EarningsQualityAccrualsBalancesheetversion资产负债表应计项目𝐴𝐶𝐶𝑅_𝐵𝑆=𝑁𝑂𝐴𝑡-𝑁𝑂𝐴𝑡−1−𝐷𝐴𝑡𝑁𝑂𝐴=(𝑇𝐴−𝐶𝑎𝑠ℎ)−(𝑇𝐿−𝑇𝐷)其中，NOA为净经营资产，Cash为现金及现金等价物，TA为总资产，TL为总负债，TD为总带息债务（负债合计-无息流动负债-无息非流动负债）,DA为折旧与摊销之和ACCR_BSTA:−𝐴𝐶𝐶𝑅_𝐵𝑆𝐴𝐵𝑆=𝑇𝐴AccrualsCashflowversion现金流量表应计项目𝐴𝐶𝐶𝑅𝐶𝐹=𝑁𝑖𝑡−(𝐶𝐹𝑂𝑡+𝐶𝐹𝐼𝑡)+𝐷𝐴𝑡Ni为净利润，CFO为经营现金流量净额，CFI为投资活动现金流量净额,DA为折旧与摊销之和ACCR_CFTA:−𝐴𝐶𝐶𝑅_𝐶𝐹𝐴𝐶𝐹=𝑇𝐴ProfitabilityAssetturnover资产周转率𝑆𝑎𝑙𝑒𝑠𝐴𝑇𝑂=𝑇𝐴Sales为过去12个月的营业收入，TA为最近报告期的总资产Grossprofitability资产毛利率𝑆𝑎𝑙𝑒𝑠−𝐶𝑂𝐺𝑆𝐺𝑃=𝑇𝐴其中Sales、COGS和TA分别是上一个财务年度的营业收入、营业成本和总资产GrossProfitMargin销售毛利率𝑆𝑎𝑙𝑒𝑠−𝐶𝑂𝐺𝑆𝐺𝑃𝑀=𝑆𝑎𝑙𝑒𝑠其中Sales和COGS分别为上一会计年度的营业收入和销货成本Returnonassets总资产收益率𝐸𝑎𝑟𝑛𝑖𝑛𝑔𝑠𝑅𝑂𝐴=𝑇𝐴Earnings为过去12个月的净利润，TA为最近报告期的总资产InvestmentQualityTotalAssetsGrowthRate总资产增长率最近5个财政年