四川省凉山州2024-2025学年高二下学期期末考试 数学

凉山州2024-2025学年度下期期末统一检测高二年级试题

数学

全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题

卡上，并检查条形码粘贴是否正确.

2.选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书

写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.

3.考试结束后，将答题卡收回.

第Ⅰ卷（选择题共58分）

一、单项选择题（共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题的选项中，只有一项是符合

题目要求的.）

Axxa

1.设集合，B2,1,0,1,2，若集合AB中有且仅有2个元素，则实数a的取值范围

为（）

A.1,0B.0,1C.1,0D.1,0

【答案】C

【详解】因为Axxa，B2,1,0,1,2，集合AB中有且仅有2个元素，

则1a0，所以实数a的取值范围为1,0.

故选：C.

2.若cos2sin，则sin2（）

2423

A.B.C.±D.

4535

【答案】B

sin1

【详解】由cos2sin有tan，所以

cos2

1

2

2sincos2tan4

2

sin22sincos2222，

sincostan115

1

2

故选：B.

1

3.设z，则z（）

i

A.iB.iC.1D.1

【答案】A

1i

【详解】，所以，

z2izi

ii

故选：A.

6

y22

4.在x的展开式中，xy的系数为（）

x

A.30B.15C.15D.30

【答案】B

6

y

【详解】因为二项式x的展开式的通项公式为

x

k

k6kykk62kk，

Tk1C6xC61xy,k0,1,2,,6

x

62k2

令，解得，所以222222，

k2T3C61xy15xy

k2

所以x2y2的系数为15.

故选：B.

*

5.已知数列an的前n项和为Sn，a11，且an1a1a2annN，则（）

n1n1

A.a22B.an2C.S22D.Sn2

【答案】CD

【详解】已知an1a1a2anSn，则a2a11，所以A错误；

由an1a1a2anSn，可得an2Sn1，

可得an2an1Sn1Snan1，即an22an1，

当n1时，a32a2，即数列an自第二项开始是以1为首项，2为公比的等比数列，即

1,n1

，所以B错误；

ann2

2,n2,nN

S2a1a2112，所以C正确，

当n1时，S11，符合条件，

12n1

当n2,nN时，S120212n212n1，所以D正确；

n12

故选：CD.

22

6.若直线l:xym0m0被圆C:x1y14截得的弦长为22，则m（）

A.2B.2C.2D.22

【答案】C

22

【详解】因为圆C:x1y14，所以圆心C为1，1，半径为2.

11mm

设圆心到直线距离为：d.

12122

因为直线与圆截得的弦长为22.

2

2m

所以2222.

2

解得：m2.

故选：C.

π

7.已知函数fxsinx3cosx（0，）的图象关于原点对称，且与直线y1

2

π

的所有交点中，最近的两点间的距离为，则下列说法正确的是（）

3

πππ

A.fxfxB.f0fC.f1D.fxfπx0

223

【答案】D

13π

【详解】已知fx2sinxcosx2sinx，

223

ππ

函数图象关于原点对称，则kπ,kZ，解得kπ,kZ，

33

ππ

因为，所以，可得fx2sinx，

23

1π5π

当fx2sinx1时，sinx，则x2kπ,kZ,x2kπ,kZ，

21626

2π4π

则xx或x2x1，

2133

ππ2π

结合最近的两点间的距离为，即得xx，此时应满足xx，

321min3213

解得2，所以fx2sin2x，

故函数最小正周期为π，所以fxfxπ，所以A错误；

ππ

f02sin00,f2sinπ0，所以f0f，所以B错误；

22

π2π

f2sin3，所以C错误；

33

fπx2sin2πxsin2x，所以fxfπx0，所以D正确；

故选：D.

8.已知函数fxlnx1exex，则使不等式fx1f2x成立的x的取值范围是（）

A.,12,B.1,1C.,21,D.,21,

【答案】A

【详解】由x10，解得x1或x1，定义域为,11,，关于原点对称，

又fxlnx1exexlnx1exexfx，

所以函数fx为偶函数，

1

当x1时，fxlnx1exex，求导得fxexex，

x1

令hxexex，求导得hxexex0，所以hx>h1e1e10，

11

又0，所以fxexex0，

x1x1

所以fx在1,上单调递增，

由fx1f2x，得fx1f2x，

22

所以1x12x，解得1x12x，解得1x22x14x2，

解得x1或x2.

所以使不等式fx1f2x成立的x的取值范围是,12,.

二、多项选择题（共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多个选项

符合题目要求.）

9.下列命题正确的是（）

A.x1，x2，x3xn是一组样本数据，去掉其中的一个最大数和一个最小数后，剩下的数的中位数不一定

等于原样本的中位数

B.若事件A，B相互独立，且PA0，PB0，则事件A，B不互斥

C.若随机变量XN0,22，YN0,32，则PX2PY2

D.若随机变量X的方差DX10，期望EX4，则随机变量YX2的期望EY16

【答案】BC

【详解】当一组数据去掉其中的一个最大数和一个最小数后，没有改变数据顺序，所以中位数不变，所以A

错误；

根据独立事件概率乘法公式可知P(AB)P(A)P(B)，因为PA0，PB0，

所以P(AB)P(A)P(B)0，所以不互斥，所以B正确；

由题意得，正态分布对称轴为0，12,23，所以随机变量X更加集中，所以

PX2PY2，所以C正确；

2

根据期望与方差的关系可知DXEX2EX，代入得EX2101626，所以D错误；

故选：BC.

2x

10.已知fx是定义在R上的奇函数，当x0时，fxx8e8，则（）

A.f00

B.fx有两个极值点分别为x2或x2

C.当x0时，fx8x2ex8

D.若fx8，则解集为22,22

【答案】AC

【详解】对于A，因为fx是奇函数，所以fxfx，令x0，

可得f0f0，解得f00，故A正确；

对于B，当x0时，由fxx28ex8，可得fx2xexx28exx22x8ex，

令fx=0，可得x22x80，解得x4或x2（舍去），

当x<4时，fx>0，当4x0时，fx<0，所以x4是极大值点，

由奇函数的结称性可得x4是函数的极小点，

故函fx有两个极值点分别为x4或x4，故B错误；

对于C，当x0时，则x0，由fxfx，可得fxfx，

2x2x

所以fxx8e88xe8，故C正确；

2x

8xe8,x0

对于D，由C可知fx，

2x

x8e8,x0

当x0时，由fx8x2ex8，

2x2x

当x22时，8xe0，所以8xe888，所以满足fx8成立，故D错误

故选：AC

x2y2

11.双曲线C:1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，

a2b2

π

以FF为直径的圆与曲线C的一条渐近线交于M、N两点，且AMA，则下列说法一定正确的是

12124

（）

3π

A.C的离心率为5B.MAN

24

C.MA12MA2D.当a5时，四边形NF1MF2的面积为205

【答案】ABD

x2y2b

【详解】双曲线C:1，则F1c,0，F2c,0，A1a,0，A2a,0，渐近线方程为yx，

a2b2a

222

以F1F2为直径的圆方程为xyc；

b

yxx1ax2a

联立方程组得a，解得,，不妨设Ma,b,Na,b，

222y1by2b

xyc

π

则MA2a,b,MA0,b，由AMA，得

12124

MAMAb22

cosMA,MA12，

1222

MA1MA24ab2

5a

解得b2a，则c=a2+4a2=5a，离心率e5，所以A正确；

a

AMANb22

可知，则cosAM,AN22，所以

A2M0,b,A2N2a,b2222

A2MA2Nb4ab2

3π

MAN，所以B正确；

24

由b2a，则MA12a,2a，A2M0,2a，MA122a,MA22a，MA12MA2，

当M,N位置互换时，2MA1MA2，不符合条件，所以C错误；

由，则，所以，

A1A22a,0,MA20,bA1A2MA20MA2A1A2

已知b2a，c5a，

1

所以，所以D正确；

S四边形2SMFF2b2c2a25a205

MF1NF2122

故选：ABD.

第Ⅱ卷（非选择题共92分）

三、解答题（共3个小题，每小题5分，共15分）

12.已知向量a1,1，b2,1，若kaba，则实数k__________.

3

【答案】

2

【详解】因为a1,1,b2,1，

所以kabk2,1k.

因为kaba，所以k2k10，

3

解得k.

2

3

故答案为：.

2

119

13.已知正实数m，n，满足mn4，则的最小值为__________.

mnmn

【答案】3

119nm9mn9

【详解】，

mnmnmnmn4mn

又m，n为正实数，所以mn0，

mn9mn9mn93

则23，当时取等，

4mn4mn4mn2

119

所以的最小值为3.

mnmn

故答案为：3

2

14.已知抛物线E:y4x的焦点为F，过点F斜率为3的直线与E交于A，B两点，过AB的中点M

MN

作y轴的垂线交E于N点，则__________.

AB

1

【答案】##0.25

4

【详解】由抛物线E:y24x，可得焦点坐标为F1,0，直线AB的方程为y3x1，

2

y4x2

由，可得3x14x，整理得3x210x3，

y3x1

1123

解得x3或x，当x3时，y23，当x时，y，

333

22

12312316

所以A3,23，B,，所以，

AB323

33333

523123514

又AB中点M,，所以N,，所以MN，

3333333

MN1

所以.

AB4

1

故答案为：.

4

四、解答题（共5个大题，共77分，解答过程写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）

15.已知函数fxlnx1.

（1）求fx在点1,f1处的切线方程；

（2）求gxaxfx，aR的极值.

11

【答案】（1）yxln2

22

（2）答案见解析

【小问1详解】

1

fxlnx1，fx，

x1

11

则f1ln(11)ln2，f1，

112

1

所以在点1,f1处的切线方程为：yln2x1，

2

11

即：yxln2.

22

【小问2详解】

由题意知gxaxlnx1的定义域为1,，

1

则gxa，

x1

1

①当a0时，gxa0在1,上恒成立，gx在1,上单调递减，所以gx在

x1

1,上无极值；

1111

②当a0时，令gxa0，则x1，令gxa0，则1x1，

x1ax1a

11

所以当x1时，gx单调递增，当1x1时，gx单调递减，

aa

11

所以gx在x1时，取得极小值g11alna，无极大值；

aa

综上所述：当a0时，gx在1,上无极值，

1

当a0时，gx在1,上有极小值g11alna，无极大值.

a

16.如图，在圆锥PO中，ABCD为底面圆的内接四边形，对角线AC过圆心O，圆锥母线长为22，

π

BC2，ACB.

3

（1）若AD//BC，平面PAD与平面PBC的交线为l，证明：AD//l；

（2）若AD2，求平面PAD与平面PBC所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

（2）43

7

【小问1详解】

证明AD//BC，AD平面PBC，BC平面PBC，

AD//平面PBC，

平面PAD平面PBCl，AD平面PAD，

AD//l.

【小问2详解】

π

由题意知PAPC22，BCAD2，ACB，

3

π

AC4，ABCD23，ADCABC，PO2，

2

方法一：向量法

ABCD为矩形，因此可建立如图所示空间直角坐标系，过点D平行于PO竖直向上为z轴，

D0,0,0，A2,0,0，B2,23,0，C0,23,0，P1,3,2，

DA2,0,0，DP1,3,2，CB2,0,0，CP1,3,2，

设平面PAD的法向量为mx1,y1,z1，平面PBC的法向量为nx2,y2,z2.

DAm02x10

则，所以，令，，

y12m0,2,3

DPm0x13y12z10

CBn02x20

，所以，令，可得，

y22n0,2,3

CPn0x23y22z20

m·n431

cosm,n，

mn777

2

143

平面PAD与平面PBC所成角的正弦值为1.

77

方法二：几何法：

过点P分别向AD、BC引垂线，垂足分别为M、N，连接MN，

由（1）知AD//l，所以PMl，PNl，

MPN为平面PAD与平面PBC所成角的平面角，

PMPN7，MN23，

222

PMPNMN1

根据余弦定理得：cosMPN，

2PMPN7

43

平面PAD与平面PBC所成角的正弦值为.

7

π

17.已知锐角ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b1且2ca2sinC.

6

（1）求角B的大小；

（2）求ABC周长的最大值.

π

【答案】（1）B

3

（2）3

【小问1详解】

ππ

由b1及2ca2sinC得：2ca2bsinC.

66

π

结合正弦定理得：2sinCsinA2sinBsinC.

6

因为ABCπ，且ABC为锐角三角形.

π

所以：2sinCsinBC2sinBsinC.

6

即：2sinCsinCcosB3sinBsinC，因为ABC为锐角三角形，所以sinC0.

13ππ

因此：cosBsinBsinB1，故：B；

2263

【小问2详解】

由余弦定理知：b2a2c22accosB.

2

2222ac12

即：1acacac3acac3ac.

24

所以：ac2.

因此：ABC周长为abc3，即周长最大值为3.

18.某学校食堂每天中午提供A，B两种套餐，同学小李第一天午餐时随机选择一种套餐，如果前一天选

11

择A套餐，那么第二天选择A套餐的概率为；如果前一天选择B套餐，那么第二天选择A套餐的概率为.

23

（1）该食堂对A套餐的菜品种类与品质等方面进行了改善后，调查了学生对A套餐的满意程度情况，统计

了100名学生的数据，如下表（单位：人）

A套餐满意度情况A套餐改善前A套餐改善后合计

满意354075

不满意151025

合计5050100

根据小概率值0.001的独立性检验，能否认为学生对A套餐的满意程度与套餐的改善有关?

（2）若A套餐拟提供2种品类的素菜，n（n3，nN*）种品类的荤菜，同学小李从这些菜品中随机

选择4种菜品，记选择素菜的种数为X，求PX2的最大值，并求此时n的值.

（3）设同学小李第n天选择B套餐的概率为Pn，求Pn.

2

nadbc

参考数据：x2，其中nabcd

abcdacbd

0.10.050.010.0050.001

x2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】（1）学生对套餐的满意程度与套餐的优化无关

3

（2）当n3时，PX2有最大值

5

n1

（3）311

Pn

5106

【小问1详解】

零假设H0：学生对套餐的满意程度与套餐的优化相互独立.

2

100351015404

21.33

505075253

2

1.3310.8280.001

没有充分理由证明H0不成立，即学生对套餐的满意程度与套餐的优化无关.

【小问2详解】

C2C2

由题意知：小李同学选择荤菜种数的概率为：2n

X2PX24

Cn2

C2C2341212

2n

PX2422

Cn2n1n2n3n231

n

24

3

由于nn3,nN*，所以PX2在n3处取得最大值.

5

【小问3详解】

同学小李第n天选择套餐B的概率为Pn，则第n1天选择套餐B的概率为Pn1，n2，

1111

Pn11Pn11Pn1Pn1，n2

2362

313

PnPn1

565

1311

当n1时，P，所以Pn是以为首项，为公比的等比数列，

125106

n1

因此311.

Pn

5106

x2y2

19.设焦点在x轴上的椭圆C:1，M0,m，A是C的右顶点.

a23

1

（1）若离心率e，求椭圆C的标准方程；

2

（2）在（1）的条件下，椭圆C上存在一点P，满足PA2MP，求m；

π

（3）若AM的中垂线l的斜率为2，l与C交于S、T两点，是否存在这样的椭圆，使得SMT，

2

若存在求a的取值，若不存在请说明理由.

x2y2

【答案】（1）