第十五章 章末复习2025-2026学年人教版八年级上册数学

章末复习教学目标教学目标1．熟练掌握分式的概念及其基本性质，会进行分式的约分、通分．2．掌握分式的运算法则，能熟练地进行分式的混合运算．3．会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验分式方程的解．4．能解决与分式、分式方程有关的实际问题，培养分析和解决问题的能力，学会用数学的眼光观察现实世界．教学重点教学重点分式的混合运算及化简求值．教学难点教学难点解决与分式、分式方程有关的实际问题．教学过程教学过程知识回顾请你带着下面的问题，进入本课的复习吧！1．如何用式子形式表示分式的基本性质和运算法则？通过比较分数和分式的基本性质和运算法则，你有什么认识？类比的方法在本章的学习中起什么作用？2．分式怎样约分和通分？依据是什么？3．n是正整数时，（a≠0）表示什么意思？整数指数幂有哪些运算性质？4．怎样解分式方程？解分式方程要注意什么？为什么解分式方程要检验？5．方程是一种刻画实际问题中数量关系的重要数学模型，你能结合利用分式方程解决实际问题的实例，谈谈你的体会吗？【设计意图】以问题串的形式创设情境，引导学生复习回顾已学知识点，通过学生回答，检查学生对知识的掌握情况，加深学生对知识的理解，提高学生灵活运用知识的能力．要点复习考点一分式的概念与基本性质【例1】式子，，，，中，哪些是整式？哪些是分式？【师生活动】学生进行回答，教师根据学生的回答情况补充说明．【答案】式子，，是分式；，是整式．【归纳】判定分式的两个条件：（1）式子为的形式，A，B为整式；（2）分母B中必须含有字母．【设计意图】学生通过独立解决例1，进一步加深对分式的概念的理解．通过学生练习和教师讲解，让学生知道分式的结构特征，并能熟练地解决同类问题．【例2】若把分式中的x，y都扩大到原来的5倍，则分式的值（）．A．扩大到原来的5倍B．缩小为原来的 C．不变 D．无法确定【答案】C【师生活动】学生独立解答，小组内部交流纠错．【解析】分式的基本性质：＝，＝（C≠0），其中A，B，C为整式．＝＝，分式的值不变．【设计意图】通过例2，加深学生对分式的基本性质的理解，让学生能灵活运用分式的基本性质解决问题．【跟踪训练1】在式子，－，－y2，，，中，分式的个数是（）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】，，三个式子是分式；－，－y2，三个式子的分母中都不含字母，故不是分式．【跟踪训练2】若分式中的a，b的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值（）．A．变为原来的20倍 B．变为原来的10倍C．变为原来的 D．不变【答案】B【解析】由题意得＝＝10·，分式的值变为原来的10倍．考点二分式有（无）意义和值为0的条件【例3】当x取________时，分式无意义；当x取________时，分式的值为0．【师生活动】学生口述解题过程，教师进行指导．【答案】－1【解析】当3x－1＝0，即x＝时，分式无意义；因为分式的值为0，所以|x|－1＝0，且1－x≠0，解得x＝－1．【归纳】分式有（无）意义及分式值为0的条件：（1）分式无意义⇔分母为0．（2）分式有意义⇔分母不为0．（3）分式值为0⇔分子为0，且分母不为0．【设计意图】通过例3，引导学生具体复习分式的相关知识，在解题的过程中师生归纳出分式有（无）意义和值为0的条件．【跟踪训练3】若分式的值为0，则x的值为（）．A．－2 B．0 C．2 D．±2【答案】C【解析】由题意得x2－4＝0，且x＋2≠0，解得x＝2．故当x＝2时，分式的值为0．【跟踪训练4】已知当x＝－2时，分式无意义，求a的值．【答案】解：若分式没有意义，则x＋a＝0．当x＝－2时，－2＋a＝0，所以a＝2．考点三分式的混合运算【例4】计算：÷．【师生活动】教师展示问题，引导学生采用不同的方法解题．【答案】解：方法1：÷＝÷＝·＝·＝．方法2：÷＝·＝·＋(x－1)·＝＋＝．【归纳】分式的混合运算要注意什么？（1）注意运算顺序：含有加、减、乘、除、乘方的混合运算，应先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的；（2）注意转化：分式的除法运算要转化为乘法运算，异分母分式相加减要转化为同分母分式相加减；（3）注意必要的因式分解：若分子、分母中有多项式，应先进行因式分解；（4）注意化简：若分子、分母中有公因式，应先约分，最后结果要化为最简分式或整式．【设计意图】通过例4，引导学生复习巩固分式的混合运算，让学生熟练掌握分式的运算法则，并能灵活运用法则准确、简捷地运算．【跟踪训练5】计算÷－的结果为（）．A． B． C． D．a【答案】B【解析】原式＝·－＝－＝．【跟踪训练6】先化简÷，再从－1，0，1这三个数中，选择一个你认为合适的数作为x的值代入求值．【答案】解：÷＝·(x2－1)＝·(x＋1)(x－1)＝x2＋1．由各分式的分母不能为0，知x不能取±1，故x＝0，所以原式＝02＋1＝1．考点四负整数指数幂及其应用【例5】计算：（1）； （2）·；（3）(3×)2÷(3×)2； （4）＋－．【师生活动】教师展示问题，学生独立完成．【答案】解：（1）＝＝＝；（2）·＝·＝＝；（3）(3×)2÷(3×)2＝9×÷(9×)＝＝；（4）＋－＝＋1－＝＝．【归纳】零指数幂、负整数指数幂的运算技巧（1）遇到零指数幂，关键看底数是否为0，若底数不为0，则无论底数是何值，其结果都是1．（2）若负整数指数幂的底数是分数，将负整数指数幂转化为正整数指数幂时，需要把底数的分子与分母交换位置．【设计意图】检测学生对负整数指数幂的理解，通过实践，加深对整式指数幂的认识．【例6】某种细胞的直径是0.00000095m，将0.00000095用科学记数法表示为（）．A．9.5× B．9.5× C．0.95× D．95×【师生活动】教师提问，学生回答．【答案】A【解析】0.00000095＝9.5×．【归纳】用科学记数法表示小于1的正数时，可表示为a×的形式，n为原数左边第一个不为0的数字前面所有0的个数（包括小数点前的0）．【设计意图】考查学生对科学记数法的运用，通过实践，让学生能熟练地用科学记数法表示小于1的正数．【跟踪训练7】计算：（1）；（2）·；（3）÷．【答案】解：（1）＝＝＝；（2）·＝·＝＝；（3）÷＝÷()＝＝．【跟踪训练8】随着微电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.00000069mm2，这个数用科学记数法表示为（）．A．6.9× B．69× C．6.9× D．0.69×【答案】C【解析】将0.00000069的小数点向右移动7位，得到整数位数只有一位的正数6.9，所以0.00000069＝6.9×．考点五分式方程【例7】解下列方程：（1）－＝3； （2）－＝．【师生活动】教师展示问题，学生独立完成．【答案】解：（1）方程两边同乘2x－1，得2x－5＝3(2x－1)．解得x＝－．检验：当x＝－时，2x－1≠0．所以原分式方程的解为x＝－．（2）方程两边同乘x(x＋1)(x－1)，得7(x－1)－6x＝－3(x＋1)．解得x＝1．检验：当x＝1时，x(x＋1)(x－1)＝0．所以x＝1不是原分式方程的解．所以原分式方程无解．【归纳】检验分式方程的解的方法（1）公分母检验法是把求得的解代入最简公分母中进行检验，使最简公分母的值为0的解不是原分式方程的解．此方法比较简单，因此比较常用．（2）直接检验法是把求得的解分别代入原分式方程的左边和右边进行检验．直接检验法不仅能检验求得的解是不是原分式方程的解，而且能检验求得的解是否正确．【设计意图】在具体例子的基础上，引导学生进行概括、归纳检验分式方程的解的方法，让学生能准确地解分式方程，并知道检验的必要性．【跟踪训练9】解方程：－＝－1．【答案】解：方程两边同乘3x－6，得3(5x－4)－(4x＋10)＝－(3x－6)．解得x＝2．检验：当x＝2时，3x－6＝0．因此x＝2不是原分式方程的解．所以原分式方程无解．考点六分式方程的实际应用【例8】A，B两种型号的机器加工同一种零件，已知A型机器比B型机器每小时多加工20个零件，A型机器加工400个零件所用时间与B型机器加工300个零件所用时间相同，求A型机器每小时加工零件的个数．【师生活动】学生独立完成，并小组讨论，尝试进行解答，教师给予帮助．【答案】解：设A型机器每小时加工零件x个．根据题意，得＝．解得x＝80．经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合实际意义．答：A型机器每小时加工零件80个．【归纳】利用分式方程解决实际问题时，需要注意什么？（1）要准确找出等量关系；（2）熟知行程问题、工程问题、销售问题等问题中常用的等量关系；（3）不要忘记检验，既要检验所得的解是否为分式方程的解，又要检验该解是否符合实际意义．【设计意图】通过解答本题，让学生复习利用分式方程解决实际问题的方法与过程，培养学生分析问题、解决问题的能力．【跟踪训练10】某商场购进甲、乙两种商品，乙商品的单价是甲商品单价的2倍，购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多15件，求两种商品的单价各为多少元．【答案】解：设甲商品的单价为x元，则乙商品的单价为2x元．根据题意，得－＝15．解得x＝6．经检验，x＝6是原分式方程的解，且符合题意．当x＝6时，2x＝2×6＝12．答：甲、乙两种商品的单价分别为6元、12元．课堂小结板书设计一、分式的概念与基本性质二、分式有（无）意义和值为0的条件三、分式的混合运算四、负整数指数幂及其应用五、分式方程六、分式方程的实际应用课后任务课后任务完成教材第158页复习题15第1～10题．教学反思教学反思_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________