2027届新高三数学热点突破复习常用逻辑用语

2027届新高三数学热点突破复习常用逻辑用语五年高考考点1充分条件与必要条件1.★(2025天津,2,5分)已知x∈R,则“x=0”是“sin2x=0”的

()A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

A

解析由x=0⇒sin2x=sin0=0,则“x=0”是“sin2x=0”的充分条件;若sin2x=0,则2x=kπ(k∈Z),则x=

(k∈Z),故“x=0”不是“sin2x=0”的必要条件.综上可知,“x=0”是“sin2x=0”的充分不必要条件.故选A.2.★(2024天津,2,5分)已知a,b∈R,则“a3=b3”是“3a=3b”的

()A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

C

解析若a3=b3,则当且仅当a=b时a3=b3成立;若3a=3b,则当且仅当a=b时3a=3b成立,所以a3=

b3与3a=3b互为充要条件.故选C.3.★★(2024北京,5,4分)设a,b是向量,则“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的()A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

B

解析若(a+b)·(a-b)=0,则a2=b2,即|a|=|b|,但|a|=|b|推不出a=-b或a=b,如a=(1,0),b=(0,1),满

足|a|=|b|,但a≠-b,a≠b;而a=-b或a=b可推出|a|=|b|,所以“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的必要不充分条件.4.★★(2024全国甲理,9,5分)设向量a=(x+1,x),b=(x,2),则()A.x=-3是a⊥b的必要条件B.x=1+

是a∥b的必要条件C.x=0是a⊥b的充分条件D.x=-1+

是a∥b的充分条件

C

解析对于A,当a⊥b时,a·b=0,所以x·(x+1)+2x=0,解得x=0或-3,即必要性不成立,故A错

误;对于C,当x=0时,a=(1,0),b=(0,2),故a·b=0,所以a⊥b,即充分性成立,故C正确;对于B,当a∥b时,2(x+1)=x2,解得x=1±

,即必要性不成立,故B错误;对于D,当x=-1+

时,不满足2(x+1)=x2,所以a∥b不成立,即充分性不成立,故D错误.故选C.5.★★★(2023全国甲理,7,5分)设甲:sin2α+sin2β=1,乙:sinα+cosβ=0,则

()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

B

解析当sin2α+sin2β=1时,sin2α=1-sin2β,即sin2α=cos2β,∴sinα=±cosβ,即sinα+cosβ=0或

sinα-cosβ=0,故充分性不成立;当sinα+cosβ=0时,sin2α=cos2β,∴sin2α=1-sin2β,即sin2α+sin2β=1,故必要性成立.∴甲是乙

的必要条件但不是充分条件.故选B.6.★★★(2025北京,7,4分)已知函数f(x)的定义域为D,则“f(x)的值域为R”是“对任意

M∈R,存在x0∈D,使得|f(x0)|>M”的

()A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

A

解析若f(x)的值域为R,则|f(x)|的值域为[0,+∞),故对于任意M∈R,都存在x0∈D,使得|f(x0)|>M,充分性成立;设f(x)=x2,满足对任意M∈R,都存在x0∈D,使得|f(x0)|>M,但f(x)的值域不为R,必要性不成

立,故选A.三年模拟1.★(2026届浙江绍兴诊断,4)“x=π”是“sinx=0”的

()A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

A

解析当x=π时,sinx=0,充分性成立;当sinx=0时,x=kπ,k∈Z,必要性不成立,所以“x=π”

是“sinx=0”的充分不必要条件.2.★(2026届山东名校联盟阶段检测,3)“a>b>0”是“a-lnb>b-lna”的

()A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

C

解析由a-lnb>b-lna,得a+lna>b+lnb,因为函数f(x)=x+lnx在(0,+∞)上单调递增,所以a>b>0,即必要性成立;当a>b>0时,由函数f(x)=x+lnx在(0,+∞)上单调递增,得a+lna>b+lnb,所以a-lnb>b-lna,即充分性成立,所以“a>b>0”是“a-lnb>b-lna”的充要条件.故选C.3.★(2025届福建泉州考前模拟(一),2)设A={x|1≤2x≤4},B={x|x2≤ax},若x∈A是x∈B的

充分条件,则

()A.0<a<2

B.1<a<2

C.a=2

D.a≥2

D

解析由题意,得A=[0,2],因为x∈A是x∈B的充分条件,所以A⊆B,即∀x∈[0,2],x2-ax≤0,已知二次函数y=x2-ax=x(x-a)的图象开口向上,与x轴交于点(0,0),(a,0),仅当a≥2时满足∀x∈[0,2],x2-ax≤0.故选D.4.★★(2026届河北衡水四调,5)记向量a=(1,2),b=(0,1),设甲:向量a与向量a+xb的夹角为

锐角,乙:x>-

,则甲是乙的

()A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

A

解析由题意得a+xb=(1,2+x),若a与a+xb的夹角为锐角,则a·(a+xb)=1+2(2+x)>0,且1×(2

+x)-1×2≠0,即2x+5>0且x≠0,解得x>-

,且x≠0,因为

⫋

,所以甲是乙的充分不必要条件.故选A.5.★★(2026届安徽合肥一中质量测评,2)已知m∈R,p:3m2-4m+1≤0,q:函数f(x)=

x3-3mx2+1在区间(2,6)上不单调,则p是q的

()A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

D

解析由3m2-4m+1≤0,得

≤m≤1;f

'(x)=x2-2·3mx=x(x-2·3m),要使函数f(x)在区间(2,6)上不单调,则有2<2·3m<6,解得0<m<1,所以p是q的既不充分也不必要条件.故选D.6.★★(2025届河北秦皇岛一模,2)已知λ>0,集合A={x|x2-5x-6<0},B={x|(x-λ)(x-2λ)<0},若x

∈A是x∈B的必要不充分条件,则λ的取值范围为

()A.(0,3)

B.(0,3]

C.(0,2)

D.(0,2]

B

解析

A={x|x2-5x-6<0}={x|-1<x<6},B={x|(x-λ)(x-2λ)<0}={x|λ<x<2λ},因为x∈A是x∈B的

必要不充分条件,所以B⫋A,可得

等号不同时成立,结合λ>0,解得0<λ≤3,所以λ的取值范围为(0,3],故选B.易错警示求解参数取值范围时应注意:(1)对区间端点值的处理;(2)条件的等价变形.7.★★(2026届浙江学军中学练习,4)设{an}是等差数列,其前n项和为Sn,则“S1+S3>2S2”

是“{an}为递增数列”的

()A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

C

解析设{an}的公差为d,由S1+S3>2S2得a1+a1+a2+a3>2(a1+a2)⇒a3>a2,即d>0,所以{an}为递

增数列,充分性成立.由{an}为递增数列得a3>a2>a1,所以S1+S3=a1+a1+a2+a3>a1+a1+a2+a2=2(a1+a2)=2S2,必要性成立.所以“S1+S3>2S2”是“{an}为递增数列”的充分必要条件.故选C.8.★★(2025届江西萍乡三模,5)记x,y为实数,设甲:y>x>0;乙:x-cosy<y-cosx,则甲是乙的

()A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

A

解析构造函数f(x)=x+cosx,则f

'(x)=1-sinx≥0,故f(x)在R上单调递增,由y>x>0,得f(y)>f(x),即y+cosy>x+cosx,即x-cosy<y-cosx,故充分性成立;由x-cosy<y-cosx,得x+cosx<y+cosy,即f(x)<f(y),可得y>x,故必要性不成立.综上,甲是乙的充分不必要条件.故选A.9.★★(2025届广西桂林联考,6)“∃x∈R,使ax2-4x-3>0”的一个充分不必要条件是

()A.a≤0

B.a<-

C.a≥1

D.a<-

或a≥0

C

解析当a=0时,-4x-3>0有解;当a>0时,二次函数y=ax2-4x-3的图象开口向上,所以ax2-4x-3>0有解;当a<0时,若ax2-4x-3>0有解,则

解得-

<a<0.综上,可得a>-

.选项C满足[1,+∞)⫋

,所以“∃x∈R,使ax2-4x-3>0”的一个充分不必要条件是a≥1.故选C.方法总结解决充分、必要条件相关问题:一是注意问题的形式,看清“p是q的……”

还是“p的……是q”,如果是第二种形式,要先转化为第一种形式,再判断;二是灵活利

用各种方法判断两个条件之间的关系,充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行,即

转化为两个命题关系的判断,当较难判断时,可借助两个集合之间的关系来判断.10.★★(2026届广东中山纪念中学月考,13)设命题p:0<

<a,命题q:

∈N且x∈N*,若p是q的必要条件,则a的取值范围是_______________.

(26,+∞)

解析由x∈N*时,

∈N,知x+1为26的正因数,即为1,2,13,26,当x+1=1时,x=0,不合题意,舍去;当x+1=2时,x=1;当x+1=13时,x=12;当x+1=26时,x=25,故命题q:x∈{1,12,25};由于p是q的必要条件,故{1,12,25}⊆

,只需满足

<a,即a>26,即a的取值范围是(26,+∞).考点2含有量词的命题五年高考1.★(2024新课标Ⅱ,2,5分)已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1;命题q:∃x>0,x3=x.则()A.p和q都是真命题B.¬p和q都是真命题C.p和¬q都是真命题D.¬p和¬q都是真命题

B

解析

解法一通解

由|x+1|>1得x+1>1或x+1<-1,即x>0或x<-2,因此命题p是假命题,¬p是真命题;由x3=x可得x(x-1)(x+1)=0,即x=0,-1或1,因此∃x=1>0,使得x3=x,命题q是真命题,故选B.解法二特殊值法

对于p,取x=-1,则有|x+1|=0<1,故p是假命题,¬p是真命题;对于q,取x=1,则有x3=13=1=x,故q是真命题,¬q是假命题.综上,¬p和q都是真命题.2.★(2016浙江理,4,5分)命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是

()A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2

D

解析先将条件中的全称量词变为存在量词,存在量词变为全称量词,再否定结论.故选

D.3.★(2015课标Ⅰ,3,5分)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为

()A.∀n∈N,n2>2n

B.∃n∈N,n2≤2nC.∀n∈N,n2≤2n

D.∃n∈N,n2=2n

C

解析根据存在量词命题的否定为全称量词命题,知¬p:∀n∈N,n2≤2n,故选C.三年模拟1.★(2025届天津和平三模,2)命题“∃x∈N,x2>1”的否定是

()A.∀x∉N,x2<1

B.∀x∈N,x2<1C.∀x∉N,x2≤1

D.∀x∈N,x2≤1

D

解析命题“∃x∈N,x2>1”的否定是“∀x∈N,x2≤1”【改变量词,否定结论】,故选

D.2.★(2026届江西景德镇联考,2)下列命题既是真命题又是存在量词命题的是

()A.∀x∈Q,

∈QB.∃x∈(0,1),x2=

-1C.菱形的对角线互相垂直平分D.在40到50之间至少有两个质数

D

解析对于A,命题“∀x∈Q,

∈Q”为全称量词命题,所以A不符合题意;对于B,因为

-1>1,所以方程x2=

-1在x∈(0,1)无解,所以命题“∃x∈(0,1),x2=

-1”为假命题,所以B不符合题意;对于C,命题“菱形的对角线互相垂直平分”,即所有菱形的对角线互相垂直平分,所以

命题为全称量词命题,所以C不符合题意;对于D,在40到50之间有三个质数,分别为41,43,47,故在40到50之间至少有两个质数,为

存在量词命题且为真命题,所以D符合题意.故选D.3.★(2025届江西师大附中三模,2)已知命题p:∀α∈R,sin

=cos

,则下列结论正确的是

()A.p为真命题,且命题p的否定为∀α∈R,sin

≠cos

B.p为真命题,且命题p的否定为∃α∈R,sin

≠cos

C.p为假命题,且命题p的否定为∀α∈R,sin

≠cos

D.p为假命题,且命题p的否定为∃α∈R,sin

≠cos

B

解析

sin

=sin

=cos

,所以∀α∈R,sin

=cos

都成立,所以命题p为真命题.命题p的否定为∃α∈R,sin

≠cos

.故选B.4.★★(2026届广东广州花都调研,3)已知命题p:∃x∈R,sinx+cosx=2;命题q:∀x∈R,e|x|

≥1,则

()A.p真q真

B.p真q假

C.p假q真

D.p假q假

C

解析

∀x∈R,sinx+cosx=

sin

≤

,所以命题p为假命题;∀x∈R,都有e|x|≥e0=1,命题q为真命题.故选C.5.★★(2026届山东聊城调研,3)若∃x∈{x|-3≤x≤3},使得x-4a-13<0成立,则实数a的取

值范围是()A.(-∞,3)

B.(-4,+∞)C.(-3,+∞)

D.(-∞,-4)

B

解析

∃x∈{x|-3≤x≤3},使得x-4a-13<0成立,则(x-4a-13)min=-3-4a-13<0,解得a>-4,则实

数a的取值范围是(-4,+∞).故选B.6.★★(2026届江苏扬州七校联盟联考,6)已知命题p:“∃x∈R,ax2+2ax-4≥0”为假命

题,则a的取值范围是

()A.(-4,0)

B.(-4,0]C.(-∞,-4)∪(0,+∞)

D.(-∞,-4)∪[0,+∞)

B

解析由命题“∃x∈R,ax2+2ax-4≥0”为假命题,可得∀x∈R,ax2+2ax-4<0为真命题,当a=0时,不等式显然成立.当a≠0时,由题可得函数y=ax2+2ax-4的图象恒在x轴下方,则

解得-4<a<0.综上,a的取值范围是(-4,0].故选B.7.★★★(2025届西南名校联盟“3+3+3”备考诊断性联考(四),6)已知命题:“∃x∈(0,

+∞),2x2-ax+1<0”为假命题,则实数a的取值范围是

()A.(-∞,2

]

B.(-∞,2]C.(-∞,1]

D.

A

解析由命题“∃x∈(0,+∞),2x2-ax+1<0”为假命题,可知其否定“∀x∈(0,+∞),2x2-ax

+1≥0”为真命题.由2x2-ax+1≥0,得ax≤2x2+1,因为x>0,所以不等式两边同时除以x,得a≤2x+

在(0,+∞)上恒成立.2x+

≥2

=2

,当且仅当2x=

,即x=

时等号成立.因为a≤2x+

在(0,+∞)上恒成立,所以a≤2

.故选A.8.★★★(2025届贵州毕节第四次适应性考试,5)给出下列四个命题:①∀x∈R,ln(2x+1)>0;②∃x∈Q,x2=2;③∀x∈(0,+∞),lnx≤x-1;④将函数f(x)=

cos2x的图象向左平移