2026年中考数学二轮复习几何重难选填题：专题2与几何相关的分类讨论问题 含答案

/专题2与几何相关的分类讨论问题类型1·点的位置不确定1.2023沈阳中考如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=3,点D在直线AC上,AD=1,过点D作DE∥AB交直线BC于点E,连接BD,O是线段BD的中点,连接OE,则OE的长为.思路引导将此类题目的分类讨论核心思路点指出，并以此题为例应用分析，助明晰解题思路.由点D在直线AC上,AD=1,分为点D在AC边上和点D在CA的延长线上两种情况：(1)当点D在AC边上时,如图,OE=;(2)当点D在CA的延长线上时，如图1(请在虚线框中画出)，此时OE=.2.2024大连模拟在矩形纸片ABCD中,AB=3,BC=5,点M在AD边所在的直线上,且DM=1,将矩形纸片ABCD折叠,使点B与点M重合,折痕与AD,BC分别交于点E,F,则EF的长为.3.如图,将矩形纸片ABCD折叠,折痕为MN,点M,N分别在边AD,BC上,点C,D的对应点分别为点E,F,且点F在矩形的内部,MF的延长线交边BC于点G,EF交边BC于点H,且EN=2,AB=4,当H为GN的三等分点时,MD的长为.4.如图,四边形ABCO是菱形,过点O作OH⊥AB于点H,OH与AC相交于点M,连接BM，动点P从点A出发，沿AB→BC方向以每秒2个单位长度的速度向终点C匀速运动,已知OC=5,AH=3,当△PMB的面积为72时，点P运动的时间为5.如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠ABC=60°,对角线AC,BD相交于点O.点E从点D出发沿DA向终点A运动,点F在线段AC上运动,且DE=2OF,当EF=19时,DE的长为6.2023辽宁模拟如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,AC=3,以AC为边作正方形ACDE(点A,C,D,E按逆时针方向排列),BC和ED的延长线相交于点F,点P从点B出发沿BF向点F运动，到达点F时停止运动，点Q在线段CD上运动，且始终满足DQ=227.如图,在△OAB和△OCD中,∠A=∠C=90°,OB=OD,∠AOB=45°,∠COD=30°,OA=3,点M在线段AB上,且AM=2,当△OCD有一条边经过点M时,线段AB在△OCD内部的长为.类型2·等腰三角形顶角不确定8.2024鞍山模拟如图,正方形ABCD和正方形EBGF的边长分别为7和3,点E,G分别在边AB,BC上,点H在GF,FE两边上运动,连接DH,CH,当△DHC为等腰三角形时,FH的长为思路引导将此类题目的分类讨论核心思路点指出，并以此题为例应用分析，助明晰解题思路，分别以三角形的三个内角为等腰三角形顶角分类讨论.(1)当以∠HDC为顶角时,DH=DC.以点D为圆心,DC长为半径作弧,分别与EF,FG相交找到点H的位置.当交点H在FG上时,如图1,FH=;当交点H在EF上时,如图2(请画出),FH=;(2)当以∠DCH为顶角时，CH=CD，以点为圆心，CD长为半径作弧与EF相交找到点H的位置.如图3(请画出),FH=;(3)当以为顶角时,点H在CD的垂直平分线MN上,如图4,此时CM=DM=,与“点H在GF，FE两边上运动”不符，此情况舍去.画草图9.2024阜新一模如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=4,O为AB的中点,点P在射线OC上,连接AP,BP,当△ABP为等腰三角形时,线段OP的长为.10.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转角α(0∘<11.2024大连模拟如图，正方形的边长为2，E是边AB的中点，F是边AD上不与点A，D重合的一个动点,将∠A沿直线EF折叠,使点A落在点A′处.连接A′B,A′C,当△A′BC为等腰三角形时,AF的长为.12.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=1,AB=2,D为AB边上一动点,F为AC边上一动点,连接BD、已知CFAD=213.2023抚顺三模如图,在平面直角坐标系中,矩形ABOC的边OB,OC分别在x轴、y轴的正半轴上,点A的坐标为(8,6),点P在矩形ABOC的内部,点E在BO边上,且满足△PBE∽△CBO,当△APC是等腰三角形时,点P的坐标为.14.|*领跑改编|如图,AB⊥直线l于点B,点C在直线l上(点C在点B的右侧),连接AC,将线段CA绕点C顺时针旋转90°,得到线段CD,连接AD,E是AD的中点,连接BE,AB=32,类型3·直角顶点不确定15.2024沈阳一模如图，正方形ABCD的边长为5，将正方形ABCD绕点A在平面内旋转得到正方形AEFG,连接DF,DG,当△DFG为直角三角形时,DF的长为.思路引导将此类题目的分类讨论核心思路点指出，并以此题为例应用分析，助明晰解题思路.分别以三角形的三个顶点为直角顶点分类讨论.(1)当以点F为直角顶点时,由∠DFG=90°,∠EFG=90°,得D,E,F三点共线,如图1,此时DF=;(2)当以点G为直角顶点时,由∠DGF=90°,∠AGF=90°,得D,A,G三点共线,如图2(请画出),此时DF=;(3)当以点D为直角顶点时,如图3(请画出),此时DF=.(提示:取FG的中点M,连接AM,DM)画草图·16.2024大连模拟在△ABC中,∠C=90°,M为AB的中点,点N在边BC上,且CN=CA=1.当△BMN是直角三角形时,BC的长为.17如图,直线y=3x+3与y轴、x轴分别相交于点A,B,在直线y=-x+1上有一点C，其横坐标为m(m>0)，若△ABC是直角三角形，则点C的坐标为.18.如图,在▱ABCD中,∠B=60°,BC=2AB,将AB绕点A逆时针旋转角(α(0∘19.2023葫芦岛一模如图,在▱ABCD中,AB=6,∠B=60°,点E在射线BC上运动,连接AE,将△ABE沿AE翻折得到△AFE,EF交射线AD于点G,若△FAG是直角三角形,则BE的长为.20.⑨2023沈阳三模如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,BC=2,P为斜边AB上一动点(点P不与点A,B重合),过点P作PD⊥AC,PE⊥BC,垂足分别为D,E,连接DE,PC相交于点Q,连接AQ,当△APQ为直角三角形时,AP的长为.类型4·全等/相似对应关系不确定21.如图,在矩形ABCD中,E为AB的中点,F为射线AD上一动点,△A'EF与△AEF关于EF所在的直线对称,连接AC,分别交EA',EF于点M,N.已知AB=83,思路引导将此类题目的分类讨论核心思路点指出，并以此题为例应用分析，助明晰解题思路.当题目表述为“△EMN∽(或≌)△EAF”时，对应关系唯一；当题目表述为“△EMN与△EAF相似(或全等)”时，需分类讨论对应关系.(1)当△EMN∽△EAF时,如图,AF的长为;(2)当△EMN∽△EFA时,如图1(请画出),AF的长为.专题2与几何相关的分类讨论问题1.52或.412思路引导(1)(2)如图1所示.41详解当点D在AC边上时、如图2、连接OC、过点O作ON⊥BC于点N.∴∠ONC=∠ONE=90°、∵∠BCD=90°,AC=BC=3、∴∠A=∠ABC=45°、∵AD=1,∴CD=AC-AD=3-1=2、在Rt△BCD中，根据勾股定理、得BD∵O是线段BD的中点、∠BCD=90°,∴∵∵AB∥DE,∴∠CDE=∠A=∠ABC=∠CED=45°.∴CE=CD=2.∴NE=CE-CN=2-32=在Rt△ONE中,根据勾股定理,得OE当点D在CA的延长线上时，如图3，连接OC，过点O作ON⊥BC于点N.∴CD=AD+AC=1+3=4.在Rt△BCD中,根据勾股定理,得BD∵O是线段BD的中点,∠BCD=90°,∴∵∴∵AB∥DE,∴∠CDE=∠CAB=∠ABC=∠CED=45°.∴CE=CD=4.∴NE=CE-CN=4-32=在Rt△ONE中,根据勾股定理,得OE综上所述，OE的长为52412.154或32根据折叠的性质,得OM=OB,EF⊥BM.∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠A=90°.∴∠M=∠OBF,∠MEO=∠BFO.又OM=OB,∴△OEM≌△OFB.∴OE=OF.∵AD=BC=5,DM=1,∴AM=AD+DM=6.在Rt△ABM中，根据勾股定理，得BM∴∵∴当点M在点D的左侧时,如图2,设BM,EF相交于点O.同理可得EF综上所述，EF的长为1543.4或213−4详解当∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AD∥BC.∴四边形ABGP和四边形PGCD均是矩形,∠DMN=∠MNG.∴PG=AB=4,PD=CG.根据折叠的性质,得MF=MD,CN=EN,∠E=∠C=∠D=∠MFE=90°,∠DMN=∠GMN.∴∠GFH=90°,∠GMN=∠MNG.∴MG=GN.∵∠GFH=∠E=90°,∠FHG=∠EHN,∴△设MD=MF=x,则MG=GN=x+4.∴CG=GN+CN=x+6=MD+PM,∴PM=6.在Rt△PMG中,根据勾股定理,(G∴42+6∴当GH=同理可得MG=GN,△FGH∽△ENH,PG=AB=4,PD=CG.∴设MD=MF=x.∴MG=GN=x+1、∴CG=GN+CN=x+3=MD+PM、∴PM=3.在Rt△PMG中、根据勾股定理、G∴解得x=4(负值已舍).∴MD=4、综上所述、MD的长为4或24.16或39∵四边形ABCO是菱形,OH⊥AB,∴AO=OC=AB=BC=5,∠AHO=90°,AB∥OC.∴∠HOG=90°.∴四边形AGOH是矩形.∴AG=HO,AH=GO=3.∴CG=GO+OC=8.在Rt△AHO中，根据勾股定理，得HO∴AG=HO=4.∵AB∥OC,∴∠HAM=∠ACG.又tan∴设点P运动的时间为ts，当点P在AB上运动时,如图2,此时AP=2t.∴PB=5-2t.∴∴125−2当点P在BC上运动时,如图3,此时AP+PB=2t.∴PB=2t-5.∵四边形ABCD是菱形,∴∠MCO=∠MCB.又OC=BC,CM=CM,∴△OMC≌△BMC.∴∠MOC=∠MBC=90°,BM=OM=5∴∴122综上所述，点P运动的时间为16-或5.6−2573或·∴∠ABD=30°,∠AOB=90°,AB=AD=6,AO=CO,BO=DO.∴设OF=x,则DE=2x.当点F在AO上时,如图1.此时AF=AO-OF=3-x,AE=AD-DE=6-2x.∴又∠FAE=∠OAD,∴△FAE∽△OAD.∴AFAO=EFDO,∴当点F在OC上时,如图2,过点E作EG⊥AC于点G.∴∠AGE=90°.∵四边形ABCD是菱形,.∴∴∠∴∠CAD=60°,∴∠AEG=30°.∴∴OG=AO-AG=3-(3-x)=x,∴GF=OG+OF=2x.在Rt△GEF中,根据勾股定理,E∴解得x1综上所述，DE的长为6−2573或6.22详解∵AB=BC,∠ABC=90°,∴∠ACB=45°.①当点P在线段BC上运动时,如图1,过点P作PH⊥EF于点H,过点Q作QM⊥CF于点M.∵四边形ACDE为正方形，∴AC=CD=DE=AE=3,∠ACD=∠CDE=90°.∴∠DCF=180°-∠ACB-∠ACD=45°,∠CDF=90°.∴∠F=45°=∠DCF、∴CD=DF=3、∴∴∵在Rt△PHF中,sin∴∵DQ=x,CD=3,∴CQ=3-x.∵在Rt△CQM中,sin∴∵DE=3,DF=3,∴EF=DE+DF=6.∴SSS∵∴3解得x=1(负值已舍).∴②当点P在线段CF上运动，且点Q在PE右侧时，如图2，连接EC,过点Q作QM⊥CF于点M,∵四边形ACDE为正方形,∴∠ECD=∠ACE=45°,∠EAC=90°,AC=AE=3.∴EC=△CAC4₅=32由①,知∠DCF=45°.∴∠ECF=90°.∴S由上种情况可知：S∵S∴9=3解得x均为负值，此种情况舍去.③当点P在线段CF上运动,且点Q在PE左侧时,如图3,连接EC,过点Q作QN⊥EC于点N,QM⊥CF于点M.∴∠QNC=∠QMC=90°.由上述情况可知，QM=2(3-x),EC=32,∠ECD=∠DCF=45°,S△ECP=3x,S△PCQ=π/2(3-x).∴∴∵∴3解得x=2∴综上所述，CP的长为2或：27.378−264∵∠A=90°,∠AOB=45°,∴∠B=45°=∠AOB.在Rt△OAM中,根据勾股定理,得OM∵∠C=90°,∠COD=30°,OD=OB=32∴∴CD边不可能经过点M.∴此种情况舍去.当OC边经过点M时，如图2，部分放大如图3，设CD交AB于点E、∴∵∠1=∠EMC,∠A=∠C=90°,∴△AOM∽△CEM.∴∴作FH⊥OM于点H.∴∠FHM=∠FHO=90°.设FM=x.∵在Rt△FMH中,根据勾股定理,得FH∵∠COD=30°,即∠FOH=30°,∴在Rt△OFH中,tan∵解得x综上所述，线段AB在△OCD内的部分长度为378−2648.33−4或思路引导(133−4;；如图1所示..(2)C;如图2所示.23详解当以∠HDC为顶角时,DH=DC=7,当点H在FG上时,如图3,延长GF交AD于点N.∵四边形ABCD和四边形EBGF均为正方形,∴∠BGH=∠NGC=∠BCD=∠NDC=90°,AD∥BC.∴四边形NGCD是矩形,∠GND=90°.∴ND=GC=BC-BG=7-3=4.在Rt△NHD中，根据勾股定理，得NH=∴NF=AE=AB-BE=7-3=4.∴当以∠HDC为顶角时,DH=DC=7,当点H在EF上时,如图4,过点H作NM∥AB,分别交AD,BC于点N,M、同理可得四边形AEHN是矩形.∴AE=NH=AB-BE=4,AN=EH,∠HND=90°.在Rt△HND中,根据勾股定理,得ND∴∴当以∠DCH为顶角时,CH=CD=7,如图5,过点H作MH∥AB,交BC于点M.同理可得四边形EBMH是矩形.∴BE=MH=3,BM=EH,∠HMC=90°.在Rt△HMC中,根据勾股定理,得MC∴BM=EH=BC-MC=7-210∴当以∠DHC为顶角时,点H在CD的垂直平分线MN上,如图6，此时CM=综上所述，FH的长为33−4或2109.213+2或:213∵AC=4,∴AB=2AC=8.在Rt△ABC中，根据勾股定理，得BC∵O为AB的中点,∴又∠A=60°,∴△AOC为等边三角形.如图,当以∠BAP为顶角时,AB=AP,点P记作点P₁,即A过点A作AD⊥OC于点D.∴∠ADO=90°.∴在Rt△AOD中,根据勾股定理,得.AD在Rt△ADP₁中,根据勾股定理,得D∴当以∠ABP为顶角时,AB=BP,点P记作点P₂,即B过点B作BE⊥OC交CO的延长线于点E.∴∠E=90°.∵∠AOC=∠BOE=60°,∴∠EBO=30°.∴在Rt△BOE中,根据勾股定理,得BE在Rt△BEP₂中,根据勾股定理,得E∴综上所述，线段OP的长为213+2或2210.22.5°或45°详解由折叠的性质,知∠A=∠A'=30°,∠ACP=∠A'CP=α,∠ADC=∠A'DC.当以∠A'DE为顶角时,A'D=DE,∠DEA'=∠A'=30°,如图1.由三角形的外角性质,得∠DEA'=∠A+∠ACE,即30°=30°+2α.解得α=0°(不合题意，舍去).当以∠A'为顶角时,A'D=A'E,∠DEA'=∠EDA',如图2.∵∠由三角形的外角性质,得∠DEA'=∠A+∠ACE,即75当以∠DEA'为顶角时，EA∴∠由三角形的外角性质,得∠DEA'=∠A+∠ACE,即120°=30°+2α.解得α=45°.综上所述，旋转角α的度数为22.5°或45°.11.24或2详解∵正方形ABCD的边长为2,E是边AB的中点,∴∠A=∠D=90°,AB=BC=CD=2,BE=AE=π/2.由折叠的性质，得A∵当以∠BCA'为顶角时，CA∵CE=CE,BC=A'C,BE=A'E,∴△BCE≌△A'CE.∴∠CBE=∠CA'E=90°.∵∠∴C,A',F三点共线.设AF=x,则DF=2−∴解得x如图2，当F为AD的中点时，AF由折叠的性质，得A又∠A=90°,∴四边形A'EAF是正方形.∴∠AF∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC.∴A'F垂直平分BC.∴A'B=A'C,12.56或2013详解在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC设AD=x.∵当以∠ADF为顶角时,AD=DF,如图1,过点D作DN⊥AC于点N.∴∠又∠NAD=∠BAC,∴△NAD∽△BAC.52−5解得x当以∠A为顶角时,AD=AF,如图2,∴解得x当以∠AFD为顶角时,FD=AF,如图3,过点F作FN⊥AB于点N.∴∵∠ANF=∠B=90°,∠NAF=∠BAC,∴△NAF∽△BAC.12x2解得x综上所述，AD的长为56或2013或513.(4,3)或32详解∵△PBE∽△CBO,∴∠BEP=∠BOC=90°,∠PBE=∠CBO、∴PE∥OC,点P在线段BC上.∵点A的坐标为(8,6),∴OB=8,OC=6.在Rt△BCO中，根据勾股定理，得BC如图1,当以∠APC为顶角时,AP=CP,过点P作PF⊥AC于点F.∴∵四边形ABOC是矩形,∴∠OCF=∠COE=90°,AC=OB=8.∴∠OCF+∠CFP=180°.∴PF∥OC.∴点F,P,E共线.∴四边形COEF是矩形.∴∵△∴点P的坐标为(4,3).如图2,当以∠ACP为顶角时,CA=CP=8.∴BP=2.∵△∴∴∴点P的坐标为32综上所述，点P的坐标为((4,3)或3214.32或(6−32详解如图1,当以∠BAE为顶角时,AB=由旋转的性质,得CA=CD,∠ACD=90°.∵E是AD的中点,∵∴∵AB⊥l,∴∠ABC=∠AEC=90°.又AC=AC,AB=AE,∴Rt△ABC≌Rt△AEC.∴如图2，当以∠ABE为顶角时，AB=∵∠ACD=90°,∴∠∴∠BAC=∠GCD.又∠ABC=∠CGD,AC=CD,∴△ABC≌△CGD.∴BC=GD,AB=CG=32设BC=GD=x.∴BG=32+x.∵∠BHE=∠EHG=∠ABC=∠CGD=90°,∴AB∥EH∥DG.∴△EID∽△ABD,△BHI∽△BGD.∴EDAD=∴∴∴∠∴32+∴当以∠AEB为顶角时,EA=EB,此时点C与点B重合,不符合题意，舍去.综上所述，BC的长为32或(6−315.5或5或55思路引导(1)5(2)如图1所示.55(3)如图2所示.5详解当以点F为直角顶点时,∠GFD=90°,如图3.∵四边形AEFG是正方形,∴∠GFE=90°.∴D,E,F三点共线.∴DF=EF=5.当以点G为直角顶点时,∠FGD=90°,如图1.∵四边形AEFG是正方形,∴∠FGA=90°.∴D,A,G三点共线.∴DG=AD+AG=10.在Rt△DFG中,根据勾股定理,得DF当以点D为直角顶点时,∠FDG=90°,如图2,取FG的中点M,连接AM,DM.∴由旋转的性质,得GA=DA.∴MA垂直平分DG.∴∠DGA+∠GAM=90°.∵四边形AEFG是正方形,∴∠∴∠GAM=∠DGM.∴在Rt△AMG中,根据勾股定理,得AM∴5领跑.中考数学二轮复习》答案13综上所述，DF的长5或5或5516.2或、2+1∴∵CA<BC,∴∠MBN是锐角.∴当△BMN是直角三角时，以点M或点N为直角顶点.①以点N为直角顶点时，∠BNM∴②以点M为直角顶点时，∠BMN由勾股定理，得.AN∵NM⊥AB,M为AB的中点,∴MN垂直平分AB.∴BN=AN=2∴综上所述，BC的长为2或、217.5∴B(-1,0),A(0,3).∴OB=1,OA=3.把x=m代入y=-x+1,得y=-m+1.当以点C为直角顶点时,∠ACB=90°,如图1,过点C作CE⊥x轴于点E,过点A作AF⊥CE于点F.∴∠ACB=∠BEC=∠F=90°,AF=OE=m,CE=-m+1.∴∠BCE+∠ACF=∠CBE+∠BCE=90°,BE=m-(--1)=m+1,CF=3-(-m+1)=m+2.∴∠CBE=∠ACF.又∠BEC=∠F,∴△CBE∽△ACF.∴CEAF=解得m=∴−当以点B为直角顶点时，∠ABC∴∠ABC=∠BHC=∠AOB=90°.同理可得△BHC∽△AOB,BH=m+1,CH=m--1.∴BHAO=解得m=2.∴-m+1=-1.∴C(2,-1).当以点A为直角顶点时，点C的横坐标m<0，不符合题意，舍去.综上所述，点C的坐标为5−118.90°或180°或270°详解∵将AB绕点A逆时针旋转角α(0∴点P在以点A为圆心，AB长为半径的圆上.如图1,连接AC,取BC的中点E,连接AE.在□ABCD中,∵∠B=60°,BC=2AB,∴BE∴∠∴∠∵AB∥CD,∴∠ACD=90°,即AC⊥CD.当以点C为直角顶点时，点P在直线AC上，即点P为⊙A与直线AC的交点,如图2、图3.在图2中,此时α=∠BAC=90°.在图3中，此时(α——当点P在BA的延长线上时，旋转角α的度数为180°，如图4.——∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.