2025-2026学年四川省达州市大竹中学高一（下）月考数学试卷（5月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年四川省达州市大竹中学高一（下）月考数学试卷（5月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a和向量b的夹角为π3，且|a|=|b|=1，则A.12 B.1 C.32 2.用斜二测画法画一个边长为8的正三角形的直观图，则直观图的面积是(

)A.26 B.23 C.3.在△ABC中，已知a=6,B=45°,C=75°，则b=A.6+2 B.2 C.4.已知各棱长都为1的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，棱AA1、AB、AD两两的夹角均为A.π4

B.π6

C.π35.已知平面α，两条不重合的直线l，m，则“存在直线m⊂α，使l//m”是“l//α”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.在△ABC中，∠A=30°，BC=2，满足此条件的△ABC有两解，则AB的范围为(

)A.(2,4) B.(2,8) C.(4,8) D.(4,+∞)7.如图，“六芒星”是由两个边长为3正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”(如图)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，则OB⋅AP的取值范围是(

)A.[−2,2] B.[−32,32]8.在正三棱台ABC−A1B1C1中，AB=2，AB>A1B1，侧棱AA1A.732 B.532二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为32，且b=2，c=3，则角A的值可能是A.30 B.60° C.150° D.120°10.若直线l与平面α垂直，则下列说法正确的是(

)A.直线l与平面α的所有直线都垂直 B.在平面α内存在与直线l异面的直线

C.在平面α内存在无数条直线与直线l相交 D.在平面α内存在与直线l平行的直线11.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，APA.若2λ=μ=1时，直线BP与直线CD的夹角余弦值为66

B.若λ+μ=1时，△BPD周长的最小值为2+2

C.若μ=1时，三棱锥C−PBD的体积为定值

D.当λ=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数满足z=1−2i(i是虚数单位)，则复数Z的虚部为

．13.如图，正三棱锥P−ABC的底边长为2，∠APB=30°.一只小虫从点A出发，沿三个侧面爬行一周，回到点A.则爬行的路径最短为

．

14.在△ABC中，∠CAB=120°，作AD⊥AB交BC于D，若AB=CD=1，则BD为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知平面向量a=(1,2),b=(−1,2),c=(3,4)．

(1)求a+b与c的夹角余弦值；

(2)16.(本小题15分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcosA=ccosA+acosC．

(1)求A；

(2)若a=4，求△ABC面积的最大值．17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，AD//BC，AD⊥AB，PA=AD=AB=2，BC=1，N为PB的中点，PC∩平面AND=M．

(1)求证：MN/​/BC；

(2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值．18.(本小题17分)

如图①，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E，F分别为AB，DC的中点．将四边形AEFD沿EF折起至四边形A1EFD1的位置，如图②．

(1)求证：EF⊥平面A1EB；

(2)若点A1在平面EFCB上的射影为BE的中点，求三棱锥F−A1BC的体积；

(3)当平面A1EFD1与平面EFCB垂直时，作正方体A1D1NM−EFCB如图③.若平面α/​/平面A1FB，且平面a19.(本小题17分)

球面距离在地理学、导航系统、信息技术等多个领域有着广泛应用.球面距离的定义：球面上两点之间的最短连线的长度，即经过这两点的大圆(经过球心的平面截球面所得的圆)在这两点间的一段劣弧的长度.这个弧长就被称作两点的球面距离．

(1)在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1(底面为正方形的直棱柱)中，AB=1，AA1=2，求顶点A，B在该正四棱柱外接球上的球面距离．

(2)如图1，在直角梯形ABCD中，BC/​/AD，∠BCD=90°，BC=12AD=1，DC=3.现将△ABD沿边BD折起到P，如图2，使得点P在底面BCD的射影H在CD上．

①求点P到底面BCD的距离；

1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】A

9.【答案】BD

10.【答案】ABC

11.【答案】AC

12.【答案】−2

13.【答案】214.【答案】3215.【答案】45；

k=−416.【答案】解：(1)根据正弦定理及2bcosA=ccosA+acosC，

得2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB，

∵sinB≠0，

∴cosA=12，

∵0<A<π，

∴A=π3；

(2)由(1)知A=π3，又a=4，

由余弦定理得16=b2+c2−2bccosπ3，

即b2+c2−bc=16，17.【答案】证明：在四棱锥P−ABCD中，因为AD//BC，AD⊂平面ANMD，BC⊄平面ANMD，

所以BC/​/平面ANMD，

而BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面ANMD=MN，

所以MN/​/BC

318.【答案】解：(1)证明：在矩形ABCD中，EF⊥AE，EF⊥BE，

所以在图②中，EF⊥A1E，EF⊥BE，又A1E∩EB=E，

A1E，EB⊂平面A1EB，所以EF⊥平面A1EB．

(2)设BE中点为G，则A1G⊥平面BCFE，BE⊂平面BCFE，

所以A1G⊥BE，又EA1=EB=2，

所以△A1EB为等边三角形，且A1G=3，

所以VF−A1BC=VA1−FBC=13×A1G×S△FBC=13×3×(12×2×2)=23319.【答案】解：(1)正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的外接球直径AC1=12+12+(2)2=2，球半径R′=1，

因此球心与点A，B构成正三角形，弦AB所对球过A，B的大圆圆心角为π3，弧长为π3，

所以顶点A，B在该正四棱柱外接球上的球面距离为π3．

(2)①在直角梯形ABCD中，BC/​/AD，∠BCD=90°，BC=12AD=1，DC=3，

BD=12+(3)2=2=AD，∠ADB=90°−∠BDC=60°，则△ABD为正三角形，

在棱锥P−BCD中，PH⊥平面BCD，而BC⊂平面BCD，

则BC⊥PH，

又BC⊥CD，PH∩CD=H，PH，CD⊂平面PCD，

则BC⊥平面PCD，

而PC⊂平面PC