2025-2026学年天津市第七中学高一（下）月考数学试卷（5月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年天津市第七中学高一（下）月考数学试卷（5月份）一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z满足(1+2i)z=4+3i，则复数z=(

)A.−2+i B.−2−i C.2+i D.2−i2.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的是(

)A.如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥β

B.如果α//β，m⊂α，m//n，那么n//β

C.如果α∩β=l，α⊥β，m⊥l，那么m⊥β

D.如果m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，那么α//β3.从某小区抽取100户居民用户进行月用电量(单位：kW⋅h)调查，将得到的数据按[50,100)，[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350]分为6组，画出的频率分布直方图如图所示，则在被调查的用户中，月用电量落在[200,350]内的户数为(

)A.35 B.40 C.42 D.454.在△ABC中，cos2B2=a+c2c，(a,b,c分别为角A，B，CA.正三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形5.已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为(

)A.32π B.33π6.如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是(

)A.1

B.2

C.3

D.47.正四面体ABCD中，E，F分别是AB和CD的中点，则异面直线CE和AF所成角的余弦值为(

)A.53 B.13 C.28.在正方体ABCD−A1B1C1D1A.32 B.22 C.9.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1A.33 B.13 C.2二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.我市某小区有居民10000人，若要按不同年龄段抽取一个500人的样本，其中抽取60岁以上的老年人120人，则该小区60岁以上老年人的人数为______．11.如图，在△ABC中，AN=13NC，P是BN上的一点，若AP=(m+29)

12.若正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面13.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍(chúméng)”是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体ABCDEF是一个“刍甍”，EF//AB，AB=2EF=2，M是DE的中点，N是AB上的点.若MN//平面BCF，则AB=

．14.如图，在棱长均相等的四棱锥P−ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，有下列结论：

(1)PC/​/平面OMN；

(2)平面PCD//平面OMN；

(3)OM⊥PA；

(4)直线PD与直线MN所成角的大小为90°．

其中正确结论的序号是______．

15.如图梯形ABCD，AB/​/CD且AB=5，AD=2DC=4，E在线段BC上，AC⋅BD=0，则AE三、解答题：本题共4小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题18分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b=acosC+33csinA．

(Ⅰ)求角A的大小；

(Ⅱ)若a=7,b<c，△ABC面积为332．

①求边17.(本小题17分)

在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，E为CC1的中点．AB=BC=1，AA1=4．

(1)18.(本小题20分)

在矩形ABCD中，AB=2AD=4，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥P−BCDE．

(1)若平面PDE⊥平面BCDE，求四棱锥P−BCDE的体积；

(2)若PB=PC，求证：平面PDE⊥平面BCDE．19.(本小题20分)

《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥P−ABCD为阳马，PA⊥底面ABCD，AB=2，PA=AD=1，E，F分别为AB，PC的中点．

(Ⅰ)证明：EF/​/平面PAD；

(Ⅱ)证明：EF⊥平面PCD；

(Ⅲ)求直线BF与平面ABCD

1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】C

10.【答案】2400

11.【答案】1912.【答案】313.【答案】1214.【答案】解：因为在棱长均相等的四棱锥P−ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，

所以连接AC，则PC//OM，又PC⊄平面OMN，OM⊂平面OMN，

所以PC//平面OMN，所以(1)正确；

因为O，N分别为AC，PB的中点，可得PD//ON，

又因为PD⊄平面OMN，ON⊂平面OMN，所以PD/​/平面OMN，

因为PC∩PD=P，且PC，PD⊂平面PCD，所以平面PCD//平面OMN，所以(2)正确；

由于四棱锥的棱长均相等，所以AB2+BC2=PA2+PC2=AC2，所以PC⊥PA，

因为PC//OM，所以OM⊥PA，所以(3)正确．

由于M，N分别为侧棱PA，PB的中点，所以MN//AB，

因为四边形ABCD为正方形，所以AB/​/CD，

所以直线PD与直线MN所成的角即为直线PD与直线CD所成的角，即为∠PDC或其补角，15.【答案】951316.【答案】解：(Ⅰ)由正弦定理及b=acosC+33csinA，知sinB=sinAcosC+33sinCsinA，

因为sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，

所以cosAsinC=33sinCsinA，

因为sinC≠0，所以cosA=33sinA，即tanA=33，

又A∈(0,π)，所以A=π3．

(Ⅱ)①因为△ABC面积S=12bcsinA=12×bc×32=332，所以bc=6，

由余弦定理知，a17.【答案】证明：(1)连结AC、BD，交于点O，连结OE，

∵正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，ABCD是正方形，

∴O是AC中点，

∵E为CC1的中点，

∴OE/​/AC1，

∵AC1⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，

∴AC1/​/平面BDE．

解：(2)以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

∵AB=BC=1，AA1=4．

∴A1(1,0,4)，C1(0,1,4)，D(0,0,0)，E(0,1,2)，18.【答案】解：(1)如图所示，取DE的中点M，连接PM，

因为E是AB的中点，则AE=AD=2，由题意知，PD=PE，∴PM⊥DE，

又平面PDE⊥平面BCDE，平面PDE∩平面BCDE=DE，PM⊂平面PDE，

∴PM⊥平面BCDE，即PM为四棱锥P−BCDE的高．

在等腰Rt△PDE中，PE=PD=AD=2，∴PM=12DE=2，

而梯形BCDE的面积S=12(BE+CD)⋅BC=12×(2+4)×2=6，

∴四棱锥P−BCDE的体积V=13⋅PM⋅S=13×2×6=22．

(2)取BC的中点N，连接PN、MN，则BC⊥MN，

∵PB=PC，∴BC⊥PN，

∵MN∩PN=N，MN、PN⊂平面PMN，∴BC⊥平面PMN，

∵PM⊂平面PMN，∴BC⊥PM，

由(1)知，PM⊥DE，

又BC19.【答案】证明：(Ⅰ)如图，取PD的中点M，连接AM，MF，

因为M、F分别为PD、PC的中点，

所以MF//DC，且MF=12DC，

又因为AE/​/DC，且AE=12DC，

所以MF//AE，且MF=AE，

所以四边形AMFE为平行四边形，

所以EF/​/AM，

因为AM⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，

所以EF/​/平面PAD．

(Ⅱ)因为AD=PA，所以AM⊥PD，

因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，

又CD⊥AD，PA，AD⊂平面PAD，且PA∩AD=A，

所以CD⊥平面PAD，

所以CD⊥AM，