2025-2026学年浙江省杭州市西湖区东方中学高一（下）月考数学试卷（5月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年浙江省杭州市西湖区东方中学高一（下）月考数学试卷（5月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|(x+1)(x−3)≤0}，B={−1,0,1}，则A∩B=(

)A.[−1,1] B.{−1,0,1} C.[−1,1) D.{0,1}2.在复平面内，复数z对应的点的坐标为(1,−2)，则|z+1|=(

)A.22 B.10 C.33.在△ABC中，AD=23AB，点E平分线段CD.设AB=a，ACA.−13a+12b B.4.设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是(

)A.a⊥α，b//β，α⊥β B.a⊥α，b⊥β，α//β

C.a⊂α，b⊥β，α//β D.a⊂α，b//β，α⊥β5.若函数f(x)=(a+2)x+1,x≥1,12ax2−ax+1,x<1是A.(−43,0) B.(−2,0) C.[−6.在△ABC中，(a+b)sinA=csinC−bsinB，则C=(

)A.150° B.120° C.60° D.30°7.已知圆O是单位圆，点P在AB上，过点A(1,0)，B(0,1)的切线与OP交于点T，S.设∠AOP=x，定义：cotx=1tanx，则(

)A.cotx=OT

B.cotx=PS

C.cotx=OS

D.cotx=BS8.已知O，P在△ABC所在平面内，满足|OA|=|OB|=|OC|,PA+PB+A.2 B.3 C.83 D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.对于任意两个向量a和b，下列命题中正确的是(

)A.若|a|>|b|，则a>b B.|10.已知函数f(x)=cosxcos2x，则(

)A.f(x)的最大值为1 B.(π2,0)是曲线y=f(x)的对称中心

C.f(x)在(0,π2)11.在棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为DD1的中点，FA.三棱锥A−A1BC的外接球表面积为27π

B.三棱锥F−BC1M的体积是定值

C.动点F的轨迹是一条圆弧，长度为9π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=a−2log2x+1，若f(2)=1，则a=13.已知sin(α−β)cosα−cos(α−β)sinα=35，β是第三象限角，则sin14.若函数f(x)=x|x−a|(0≤x≤2)的最大值是1，则实数a的值是______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=3cos2x+sin2x,x∈R．

(1)求f(π)的值；

(2)求f(x)的最小正周期；

(3)求使f(x)取得最小值的x16.(本小题15分)

已知函数f(x)=ax2−2ax+2(a∈R)．

(1)若关于x的不等式f(x)>0的解集为(−2,b)，求函数f(x)的零点；

(2)若a>0，解关于x的不等式17.(本小题15分)

对800名学生的成绩进行统计(满分：100分)，将数据分成五组，从左到右依次记为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并绘制成频率分布直方图．

(1)根据频率分布直方图估计这800名学生成绩的众数和80%分位数(保留1位小数)；

(2)现从中采用分层随机抽样的方法抽取20人.若成绩在[70,90)的学生实际成绩的平均数与方差分别为78分和55.4；第四组[80,90)的学生实际成绩的平均数与方差分别为87分和2，求第三组[70,80)的学生实际成绩的平均数与方差．18.(本小题17分)

在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，AB=22，AD=3，BC=1，△PAD≌△BAD．

(1)若点M在棱PC上，PM=λMC，若PA//平面DMB，求λ的值；

(2)设平面PAD与平面PBC的交线为l，证明：l/​/平面ABCD；

(3)当平面PAD与平面PBC所成的二面角为45°时，求PC与平面ABCD19.(本小题17分)

已知函数f(x)=lg(1−mx1−x)为奇函数．

(1)求m的值，并求f(x)的定义域；

(2)判断函数f(x)的单调性，并证明；

(3)若对于任意θ∈[0,π2]，是否存在实数1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】D

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】BCD

10.【答案】ABD

11.【答案】ABD

12.【答案】2

13.【答案】714.【答案】2或3215.【答案】解：(1)∵f(x)=3cos2x+sin2x=2sin(2x+π3)，

所以f(π)=2sin(2π+π3)=3；

(2)∵f(x)=2sin(2x+π3)，∴T=2π2=π，

∴f(x)的最小正周期为π；

(3)∵f(x)=2sin(2x+16.【答案】解：(1)由f(x)>0的解集为(−2,b)，

可得不等式ax2−2ax+2>0的解集为(−2,b)，

∴f(x)开口向下，且−2和b为ax2−2ax+2=0方程的两根，

∴a<02=−2+b2a=−2b⇒b=4a=−14,

所以f(x)=−14x2+12x+2，

令f(x)=0，即−14x2+12x+2=0，

解得x=4或x=−2，

所以函数f(x)的零点为−2和4；

(2)由f(x)−x>0得ax2−(2a+1)x+2>0，

即(ax−1)(x−2)>0(a>0)，

方程(ax−1)(x−2)=0的两根为x1=1a，x2=2，

当1a=2，即a=12时，不等式化为(12x−1)(x−2)>0，

即(x−2)2>0，解集为{x|x≠2}；17.【答案】众数为65；80%分位数为76.7；

第三组[70,80)的学生实际成绩的平均数为72，方差为1．

18.【答案】解：(1)如图，连接AC交BD于点N，连接MN，

∵PA/​/平面BDM，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BDM=MN，

∴PA/​/MN，在梯形ABCD中，∵BC/​/AD，

∴△ADN∽△CBN，

∴CNAN=CBAD=13，

∵PA//MN，

∴PMMC=ANCN=3，

∴λ=3；

(2)证明：∵BC/​/AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，

∴BC/​/平面PAD，又∵BC⊂平面PBC，

平面PBC∩平面PAD=l，

∴BC/​/l，又∵l⊄平面ABCD，BC⊂平面ABCD，

∴l/​/平面ABCD．

(3)在AD上取一点O，使得DO=1，连接OP，OB，OC，

∵BC/​/AD，AD=3BC，

∴OD//BC且OD=BC，

∴四边形OBCD为平行四边形，∴CD/​/OB，

∵∠ADC=90°，∴∠BOD=90°，∴AD⊥OB，

又AB=22，AO=2，∴BO=2，

又△PAD≌△BAD，∴AD⊥OP，

∵OP∩OB=O，OP⊂平面POB，OB⊂平面POB，

∴AD⊥平面POB，

∵BP⊂平面POB，∴AD⊥BP，

过点P作l/​/AD，由AD//BC，则l/​/BC，

∴l⊂平面PAD，l⊂平面PBC，

即平面PAD∩平面PBC=l，∴l⊥OP，l⊥BP，

∴∠BPO为平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的平面角，∴∠BPO=45°．

又由OP=OB=2，∴∠OBP=45°，∴∠BOP=90°，

∵PO⊥OB，AD⊥PO，∵AD∩OB=O，AD⊂平面ABCD，OB⊂平面ABCD，

∴PO⊥平面ABCD，

∴∠PCO为PC与平面ABCD所成的角，19.【答案】解：(1)∵函数f(x)=lg(1−mx1−x)为奇函数，

∴f(−x)=−f(x)在定义域内恒成立，

即lg(1+mx1+x)=−lg(1−mx1−x)，

即lg(1+mx1+x)+lg(1−mx1−x)=0，

则1+mx1+x⋅1−mx1−x=1，即1−m2x2=1−x2