256-八下数学复习专题：垂美四边形模型与378、578模型（精解版）

八下数学复习专题：垂美四边形模型与378、578模型（精解版）八下数学复习专题垂美四边形模型与378、578模型（精解版）八下数学复习专题：垂美四边形模型与378、578模型（精解版）模型1、垂直四边形模型规定：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形条件：如图1，已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD；结论：①AB2+CD2＝AD2+BC2；②“垂美”四边形的面积等于对角线乘积的一半。【变形1】条件：如图2，在矩形ABCD中，P为CD边上有一点，连接AP、BP；结论：DP2+BP2=AP2+PC2【变形2】用处：①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形。四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE．若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于()【答案】C【分析】连接AC，与BD交于点O，根据题意可得AC上BD，在在RtAOE与Rt△COE中，利用勾股定理可得AE2-CE2=AO2-CO2，在在RtAOB与RtCOB中，继续利用勾股定理可得AO2-CO2=AB2-BC2，求解即可得。【详解】解：如图所示：连接AC，与BD交于点O，八下数学复习专题：垂美四边形模型与378、578模型（精解版）上在RtAOE中，AE2=AO2+OE2，在Rt△COE中，CE2=CO2+OE2，∴AE2-CE2=AO2-CO2，在RtAOB中，AO2=AB2-OB2，在RtCOB中，CO2=BC2-OB2，∴AO2-CO2=AB2-BC2=52-32=16，∴AE2-CE2=16，故选：C．【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键。例22023秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图所示，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，若AD=2，AB=4，BC=5则CD的长为()【答案】D【答案】D【分析】在RtAOD中，AD2-OA2=OD2，在RtBOC中，BC2-OB2=OC2，再根据CD2=OD2+OC2即可得出答案．【详解】解：在RtAOD中，AD2-OA2=OD2，在RtBOC中，BC2-OB2=OC2，∴CD2=OD2+OC2=AD2-OA2+2BC2-OB2=AD2+2BC2-(OB2+OA2)=4+25-16=13，【点睛】本题考查勾股定理，正确利用勾股定理是解题的关键．例32023·四川绵阳·九年级统考期中）如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC+BD=16，则四边形ABCD的最大面积是()【答案】【答案】B【分析】设AC=x，将四边形的面积转化为代数式，求最值即可．【详解】解：∵AC丄BD，∴四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BCDBD.AC；当x=8时，四边形的面积最大：32，∴四边形ABCD的最大面积是：32；故选B．【点睛】本题考查配方求最大值和几何的综合应用．根据题意，列出正确的表达式是解题的关键．例42023·湖北·九年级专题练习）学习新知：如图1、图2，P是矩形ABCD所在平面内任意一点，则有2．该结论的证明不难，同学们通过勾股定理即可证明。小值为【答案】43﹣2的长度，当C、D、E三点共线时，AB的值最小，且为CE与CD长八下数学复习专题：垂美四边形模型与378、578模型（精解版）【点睛】本题主要考查了以几何为背景的推理与论证、两点之间线段最短，解题的关键在于通过题目中已给的新知推断CD、CE、CA、CB之间的长度关系，并应用两点之间线段最短的定理，求出对应的最值．例52022·山东济宁·统考一模）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边。(1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称，(2)如图（1已知格点（小正方形的顶点）O(0,0)，A(3,0)，B(0,4)，请你直接写出一个以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB的顶点M的坐标为；(3)如图（2将ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°,得到DBE，连接AD，DC，LDCB=30O．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形；(4)若将图（2）中ABC绕顶点B按顺时针方向旋转a度(0O<a<90O)，得到DBE，连接AD，DC，则LDCB=°,四边形BECD是勾股四边形。【答案】【答案】(1)矩形；正方形(2)（3，4）或（4，3）(3)见解析(4【分析】（1）根据勾股四边形的定义，可知矩形和正方形都是勾股四边形；（2）如图（1）中，以OA、OB为勾股边且有对角线相等的勾股四边形OAMB的顶点M的坐标为（3，4）或（4，33）如图（2连接CE，只要证明ΔDCE是直角三角形即可解决问题；（4）如图（3当LDCB四边形ABCD是勾股四边形．连接CE，只要证明ΔDCE是直角三角形即可解决问题．【详解】（1）解：∵矩形和正方形的四个角都是直角，∴相邻两边的平方和等于对角线的平方，∴矩形、正方形都是勾股四边形；故答案为矩形、正方形；（2）解：如图（1）所示，八下数学复习专题：垂美四边形模型与378、578模型（精解版）∴M的坐标为3，4）或（4，3故答案为（3，4）或（4，3（3）证明：如图（2连接CE，由旋转得：ABC≌DBE，∴AC=DE，BC=BE，∴DC2+EC2=DE2，∴DC2+BC2=AC2，∴四边形ABCD是勾股四边形；（4）解：如图（3LDCB四边形BECD是勾股四边形。理由如下：连接CE，由旋转得：ABC≌DBE，∴AC=DE，BC=BE，∴DC2+EC2=DE2，∴DC2+BC2=AC2，∴四边形ABCD【点睛】本题属于四边形的综合题，主要考查了勾股定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题。例62022秋·江西抚州·九年级校考阶段练习）(1)【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形，在我们学过的：①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂直四边形是只填序号）八下数学复习专题：垂美四边形模型与378、578模型（精解版）(2)【概念理解】如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂直四边形吗？请说明理由。(3)【性质探究】如图1，垂直四边形ABCD的两对角线交于点O，试探究AB，CD，BC，AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；(4)【性质应用】如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=8，AB=10，求GE长。【答案】(1)③④(2)【答案】(1)③④(2)四边形ABCD是垂美四边形；理由见解析(3)AD2+BC2=AB2+CD2；理由见解析(4)273【分析】（1）根据菱形和正方形的对角线互相垂直、垂美四边形的概念判断即可；（2）根据线段垂直平分线的性质、垂美四边形的概念判断即可；（3）根据垂美四边形的概念、勾股定理计算，得到答案；（4）证明ΔGAB≌△CAE，进而得出CE⊥BG，根据（3）的结论计算即可．（1）解：∵在①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是③菱形，④正方形，∴③菱形，④正方形一定是垂美四边形，故答案为：③④;（2）解：四边形ABCD是垂美四边形，理由如下：如图2，∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；（3）解：AD2+BC2=AB2+CD2，证明如下：如图①,∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD＝90°,由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，∴AD2+BC2=AB2+CD2；（4）解：如图3，连接BE、CG，设AB与CE交于点M，八下数学复习专题：垂美四边形模型与378、578模型（精解版）丫LCAG＝LBAE＝90°,：LCAG+LBAC＝LBAE+LBAC，即LGAB＝LCAE，:△GAB纟△CAE（SASLABG＝LAEC，LAEC+LAME＝90°,：LABG+LBMC＝90°,即CE上BG，：四边形CGEB是垂美四边形CG2+BE2=CB2+GE2，丫AB＝10，AC＝8BC2=AB2_AC2=36，CG2=AC2+AG2=128，BE2=AB2+AE2=200，：GE2=128+200__36=292，则GE＝273．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂直四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键。模型2、378和578模型当我们遇到两个三角形的三边长分别为3，7，8和5，7，8的时候，通常不会对它们进行处理，实际是因为我们对于这两组数字不敏感，但如果将这两个三角形拼在一起，你将惊喜地发现这是一个边长为8的等边三角形。条件：当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时；结论：①这两个三角形的面积分别为63、103；②3、8与5、8夹角都是60°。例12023·山东八年级课时练习）已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则∠C=().【答案】C【分析】法1：拼成一个边长为8的等边三角形，即可求解。法2：过点A作AD⊥BC于D，设CD＝x，∴其可以和边长为3，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，如图，观察图形可知∠C为等边三角形的一个内角，所以∠C=60°.故选C.法2：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2−CD2，22，即：72八下数学复习专题：垂美四边形模型与378、578模型（精解版）【点睛】本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的判定、三角形内角和定理等知识；熟练掌握勾股定理，证出∠CAD＝30°是解题的关键．例22022·江苏·八年级专题练习）已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，则∠B=().【答案】C【分析】法1：拼成一个边长为8的等边三角形，即可求解。法2：过点A作AD上BC交BC延长线于点D，设CD=x，则BC=3+x，在RtACD和RtABD中，利用勾股定理求出AD2，可求出CD的长，从而得到BD的长，然后利用直角三角形的性质即可求解。∴其可以和边长为5，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，如图，观察图形可知∠B为等边三角形的一个内角，所以∠B=60°.故选C.法2：如图，过点A作AD上BC交BC延长线于点D，在RtACD中，AD2=AC2-CD2=72-x2，在RtABD中，AD2=AB2-BD2=82-(x+3)2，∴在RtABD中，BDAB，∴LBAD=30o，∴LB=90o-LBAD=60o．故选C．【定睛】本题主要考查了勾股定理及直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30o是解题的关键。例32023·广东·八年级专题练习）如图，△ABC的边AB＝8，BC＝5，AC＝7，试过A作AD垂直BC于八下数学复习专题：垂美四边形模型与378、578模型（精解版）点D并求出CD的长度。解：如图所示，作AD⊥BC于点D，设CD＝x，则BD＝BC﹣CD＝5﹣x，则在直角三角形ABD和直角三角形ADC中，由勾股定理有：AB2﹣BD2＝AC2+CD2，即645﹣x）2＝49﹣x2，解得：x＝1．故CD长度为1．另解：可以和三边长为3，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，从而求解。例42023·湖北武汉·八年级统考期末）已知△ABC的边长分别为5，7，8，则△ABC的面积是(【答案】C【分析】过A作AD⊥BC于D，根据勾股定理列方程得到BD，然后根据三角形的面积公式即可得到结论。【详解】如图，2另解：可以和三边长为3，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，从而求解。【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键。5，若两个三角形全等，则x=【答案】【答案】4【详解】∵两个三角形全等，另解：可以和三边长为3，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，从而求解。例62023·重庆·八年级专题练习）△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°,则△ABC的面积为．解：如图所示：作AD⊥BC交BC于点D，则∠ADC＝90°.∴（x）2+（8﹣x）2＝72．解得x1x2=.∴当x1＝时，△ABC的面积为S＝BC•AD=×8××=6；当x2＝时，△ABC的面积为S＝BC•AD=×8××=10．故答案为6或10．课后专项训练1.2023·浙江杭州·模拟预测）如图，点E是矩形ABCD内任意一点，连接AE,BE,CE,DE，则下列结论八下数学复习专题：垂美四边形模型与378、578模型（精解版）A．AE+DE=BE+CEB．AE+CE=BE+DEC．AE2+CE2=BE2+DE2D．AE2+DE2=BE2+CE2【答案】C∵AE2=AM2+ME2，DE2=MD2+ME2，BE2=EF2+BF2，CE2=EF2+CF2∴AE2+CE2=BE2+DE2故：选C．【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，添加恰当辅助线构造矩形是本题的关键。2.2023·河南信阳·九年级统考阶段练习）如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC+BD=16，则四边形ABCD的面积最大值是()【答案】【答案】B【分析】利用对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求解即可．【详解】解：设AC=x，四边形ABCD面积为S，则BD=16_x，则：SAC.BD2+32当x=8时，S最大为：32﹔故选：B．【点睛】本题主要考查配方求最大值，能够正确利用面积计算公式结合方程思想是解题关键．3.如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC=b，AB＝c，则下列关系式中成立的是()八下数学复习专题：垂美四边形模型与378、578模型（精解版）A．a2+b2＝5c2B．a2+b2＝4c2C．a2+b2＝3c2D．a2+b2＝2c2【解答】解：连接DE，如图，设EF＝x，DF＝y，∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE＝AB，∴===,∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，∵AD⊥BE，∴∠AFB=∠AFE=∠BFD＝90°,在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①在Rt△AEF中，x2+4y2=②在Rt△BFD中，4x2+y2=③②+③得5x2+5y2=,∴4x2+4y2=①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．故选：A．4、当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时，则这两个三角形的面积之和是．解：解：∵边长为3，7，8的三角形，可以和边长为5，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，如图，∴拼成的等边三角形的高为43，∴这两个三角形的面积之和为5.2023·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠B＝60°,AB＝8，BC＝5，E点在BC上，若CE=2，则AE的长等于．八下数学复习专题：垂美四边形模型与378、578模型（精解版）解：过A作AD⊥BC，交BC于D，则CD＝1，ED＝1．∴AE7．故答案为：7．6.2023·河北·八年级专题练习）已知：在△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°,则AB为．解：如图所示：作AD⊥BC交BC于点D，∴当x＝时，AB＝2x＝3；当x＝时，AB＝2x＝5．故AB为3或5．故答案为：3或5．7.2023·江西九江·八年级统考期末）模型介绍（1）定义：我们把对角线互相垂直的四边形称为垂美四边形。性质：垂美四边形对边的平方和相等，即2，请结合图1证明这个结论。（2）如图2，在长方形ABCD中，AB=6，P是AD边上一点，且AP=2PD，CP⊥BD，求AD的长。八下数学复习专题：垂美四边形模型与378、578模型（精解版）【分析】（1）根据垂直的定义和勾股定理（2）连接BP，设PD=x，则AP=2x，AD=BC=3x，根据勾股定理以及垂美四边形的性质列方程即可求解。2222，【点睛】本题是四边形综合题，主要考查的是矩形的性质、勾股定理的应用；熟练掌握矩形的性质，理解新定义，灵活运用勾股定理构建方程是解题的关键。8.2023春·河南新乡·八年级校考期中）小明学习了平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现了这样一类特殊的四边形：两条对角线互相垂直的四边形，叫做垂美四边形。(1)【理解定义】在“平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形”中，一定是垂直四边形的是．(2)【探究性质】如图1，在垂直四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O之间的数量关系，并写出证明过程。(3)【综合运用】如图2，在Rt△ABC中，LACB=90O，AC=4，BC=3，分别以BC，AB为腰向外侧作等腰Rt△ABD和等腰Rt△CBE，且LABD=LCBE=90O，连接DE．①图中哪个四边形是垂直四边形？并证明你的结论。②求DE的长（直接写出答案【答案】【答案】(1)菱形、正方形(2)AB2+CD2=AD2+BC2，见解析八下数学复习专题：垂美四边形模型与378、578模型（精解版）(3)①四边形ADEC是垂直四边形，见解析；②213【分析】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论2）利用勾股定理即可得出结论；（3）①根据SAS证明CBD三ABE，得LDCB=LAEB，再由三角形内角和定理得LCON=LEBN=90O，从而可得结论；②根据等腰直角三角形的性质可得CE=32,AD=52，再代入AC2+DE2=AD2+CE2计算即可【详解】（1）∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方形，∴菱形和正方形一定是垂直四边形，故答案为：菱形、正方形；上∴LAED=LAEB=LBEC=LCED=90O，由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AB2+CD2=AD2+BC2；故答案为：AB2+CD2=AD2+BC2，（3）①连接CD、AE，AE与CD交于点O，AE与BC交于点N，如图，∵LABD=LCBE=90O，∴LABD+LABC=LCBE+LABC，即LCBD=LABE，∵LCNO=LENB,∴LOCN+LONC=LBEN+LBNE=90O，∴LCON=LEBN=90O，即CE⊥BG，∴四边形CADE是垂直四边形；【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键。八下数学复习专题：垂美四边形模型与378、578模型（精解版）9.2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）规定：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形探究：如图1，四边形ABCD是垂美四边形。(1)若AC=10，BD=6，则四边形ABCD的面积为(2)求证：AB2+CD2=BC2+AD2(3)如图2，在ABC外侧，分别以AB，AC为直角边构造等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACD，连接DE，点F为为DE中点，连接AF，BD，若AB=35，CD=52，AF=5，求BD的长．【分析】（1）由四边形ABCD是垂美四边形可知AC丄BD，从而依据S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC，代入相关数据进行计算即可2）由勾股定理列出等式可求解3）连接CE，证出LBAD=LCAE，由SAS证明 得出BD丄CE，根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可．【详解】（1）∵四边形ABCD是垂美四边形，:AC丄BD,（2）∵四边形ABCD是垂美四边形，:AC丄BD,在RtAEB中，AE2+BE2=AB2,在Rt△AED中，AE2+DE2=AD2,在Rt△CEB中，CE2+BE2=CB2,在RtCED中，CE2+DE2=CD2:AE2+BE2+CE2+DE2=CD2+AB2，AE2+DE2+CE2+BE2=CB2+（3）连接CE，交AD于点M，交BD于点N，如图，八下数学复习专题：垂美四边形模型与378、578模型（精解版）ABEABE,ACD均为等腰直角三角形，:LBAE=LCAD=90O,AB=AE,AC=AD,::LBAF+LEAD=LCAD+LDAE,即LBAD=LCAE,LCAD=90O，:LACM+LCMA=LDMN=LCMA，:LDMN+LMDN=90O,即LDNM=90O,::BD丄CE,∴四边形BCDE是垂美四边形；在等腰Rt△在等腰Rt△ABE和Rt△ACD中，AB=AE=35,CD=52.延长延长AF到点G，使FG=AF，连接DG,F为DE的中点，:EF=DF,又L又LEFA=LDFG,:EAF三DFG(SAS):DG=AE=35过点过点D作DH丄AG于点H，设AH=x,则GH=10_x,由勾股定理得，由勾股定理得，DG2_GH2=AD2_AH2=DH2,:(3:(35)2_(10_x)2=52_x2，解得，x=4,即AH=4,:DF=HF2+DH2=·12+32=10,:DE=2DF=210∵四边形∵四边形BCDE是垂美四边形；:BE2+CD2=DE2+BC2,:(310)2+(52)2=(210)2+BC2:BC=10（负值舍去）过点过点A作AR丄DE，则有：AD2-DR2=AE2-FR2即：52-DR解得，DR-DR过点A作AQ丄BC交BC于Q，同理可得，AQ=3；【点睛】本题主要考查四边形的综合应用，掌握垂美四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．10.2023春·广东·八年级专题练习）【图形定义】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形。(1)【性质探究】如图1，四边形ABCD是垂直四边形，试探究两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并证明你的结论；(2)【拓展应用】如图2，RtABC中，LACB=90O，分别以AC和AB为直角边向外作等腰RtACD和等腰RtABE，连接DE，若AC=4，AB=5，求DE的长。【答案】(1)【答案】(1)AD2+BC2=AB2+CD2，见解析(2)73【分析】（1）根据题中给出的垂美四边形的定义，得知对角线互相垂直，在直角三角形里利用勾股定理解答即可2）根据垂美四边形的性质、勾股定理结合（1）的结论计算即可．【详解】（1）解：结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等或：AD2+BC2=AB2+CD2证明：设AC与BD相交于点E．由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，惠AD2+BC2=AB2+CD2．（2）连接CE，BD相交于点N，CE交AB于点M．LCAD=LBAE=90O，:LCAD+LBAC=LBAE+LBAC，即LDAB=LCEA，又AB=AE，AD=AC，:DAB≌CEA，:LADB=LAEC，又LAEC+LAME=90O，:LABD+LAME=90O，即CE上BD，:四边形CDEB是垂直四边形，:BC=3，CD=42，BE=52，:DE2=CD2+BE2_CB2=73，:DE=I73．【点睛】本题考查了新定义、勾股定理以及全等三角形的判定的知识点，利用给出的垂美四边形定义求解【点睛】本题考查了新定义、勾股定理以及全等三角形的判定的知识点，利用给出的垂美四边形定义求解是解题的关键．11.2023·福建·模拟预测）【知识感知】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形。(1)【概念理解】如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂直四边形吗？请说明理由。(2)【性质探究】如图1，试探索垂直四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并证明你的猜想。(3)【性质应用】如图3，分别以RtACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形【答案】(1)【答案】(1)是，见解析(2)AD2+BC2＝AB2+CD2，见解析(3)73【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．【详解】（1）如图2，四边形ABCD是垂美四边形．证明：连接AC、BD交于点E，八下数学复习专题：垂美四边形模型与378、578模型（精解版）∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC上BD，即四边形ABCD是垂直四边形；（2）猜想结论AD2+BC2＝AB2+CD2．如图1，已知四边形ABCD中，∵AC上BD，（3）如图3，连接CG、BE，∵LCAG=LBAE=90O，∴LCAG+LBAC=LBAE+LBAC，即LGAB＝LCAE，上∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂直四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键。12.如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形。（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂直四边形吗？请说明理由2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2八下数学复习专题：垂美四边形模型与378、578模型（精解版）=AD2+BC23）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长。【解答】解1）四边形ABCD是垂直四边形。证明：∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂直四边形；（2）如图1中，∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD＝90°,由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2．（3）连接CG、BE，∵∠CAG=∠BAE＝90°,∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，在△GAB和△CAE中，,∴△GAB≌△CAE（SAS∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，∴GE=.13.如图，我把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”。（1）性质探究：如图1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2．（2）解决问题：已知AB＝5，BC＝4，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP．①如图2，当∠ACB＝90°,连接PQ，求PQ；八下数学复习专题：垂美四边形模型与378、578模型（精解版）②如图3，当LACB≠90o，点M、N分别是AC、AP中点连接MN．若MN＝2则S△ABC=.【解答】解1）证明：如图1中，丫AC上BD，:LAOD＝LAOB＝LBOC＝LCOD＝90o，由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，:AB2+CD2＝AD2+BC2；（2）①方法一：连接PC、AQ交于点D，如图2，丫△ABP和△CBQ都是等腰直角三角形，:PB＝AB，CB＝BQ，LABP＝LCBQ＝90o，:LPBC＝LABQ，:△PBC丝△ABQ（SAS:LBPC＝LBAQ，又丫LBPC+LCPA+LBAP＝90o，即LBAQ+LCPA+LBAP＝90o，:LPDA＝90o，:PC上AQ，利用（1）中的结论：AP2+CQ2＝AC2+PQ2即（5）2+（4）2＝32+PQ2；:PQ=.②连接PC、AQ交于点D，如图3，同①可证△PBC丝△ABQ（SASAQ＝PC且AQ上PC，丫M、N分别是AC、AP中点，:MN＝PC，丫MN＝2，:AQ＝PC＝4．延长QB作AE上QE，则有AE2+BE2＝25，AE2+QE2＝48，丫EQ＝4+BE，方法二：连接PC，AQ，PQ，延长PB使BH＝AB，由①得，△BPC丝△BAQ，八下数学复习专题：垂美四边形模型与378、578模型（精解版）:PC＝AQ＝2MN＝4，PC上AQ，:LPBM＝LQBC＝90o，:LPBQ+LABC＝180o，即LQBH＝LCBA，丫BQ＝BC，AB＝PB＝BH，:△BQH丝△BCA（SAS:S△ABC＝S△PBQ＝S△QBH，:S△ABC===.故答案为：．14.2023春·江苏徐州·八年级统考期中）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形。(1)下面四边形是垂等四边形的是填序号）①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形证明：四边形ABCD是垂等四边形。【答案】【答案】(1)④(2)见解析【分析】（1）根据正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，以及题意进行判断作答即可；可得△BDE是等腰直角三角形，则BD=DE=AC，进而结论得证．【详解】（1）解：由题意知，正方形的对角线互相垂直且相等，是垂等四边形，故答案为：④;（2）证明：∵ACTBD，EDTBD，∴AC∥DE，又∵AD∥BC，∴四边形ADEC是平行四边形，∴AC=DE，又∵7DBC=45O，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BD=DE=AC，又∵BDTAC，∴四边形ABCD是垂等四边形．【点睛】本题考查了正方形、矩形、菱形的性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．解八下数学复习专题：垂美四边形模型与378、578模型（精解版）题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．15.2023·山西·八年级统考期末）阅读理解：我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边。(1)写出两个是勾股四边形的特殊四边形：，(2)如图1，已知格点（小正方形的顶点）O)0,0(，A)3,0(，B)0,4(，请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的两个勾股四边形OAMB．(3)如图2，将ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°,得到DBE，连接AD，DC，7DCB=30O，那么线段DC，AC，BC的数量关系为【答案】(1)矩形；正方形(2)见解析(3)DC2+BC2=AC2【分析】（1）利用含有直角的四边形找出特殊四边形中是勾股四边形的两种图形即可；（2）根据题意画出图形即可3）首先证明△ABC≌△DBE，得出AC＝DE，BC＝BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形；利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解。【详解】（1）解：学过的特殊四边形中是勾股四边形的有矩形，正方形。故答案为：矩形；正方形。（2）解：如图所示：（3）线段DC，AC，BC的数量关系为：DC2＋BC2＝AC2．连接CE，如图所示：八下数学复习专题：垂美四边形模型与378、578模型（精解版）由旋转得：△ABC≌△DBE，∴AC＝DE，BC＝BE，∵∠DCB＝30°,∴∠DCE=∠DCB+∠BCE＝30°+60°=90°,∴DC2＋EC2＝DE2，∴DC2＋BC2＝AC2．故答案为：DC2＋BC2＝AC2．【点睛】本题考查四边形综合题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题。16.2023秋·湖南长沙·八年级校考期末）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边。(1)如图1，已知格点(小正方形的顶点)：O)0,0(、A)3,0(、B)0,4(，若M为格点，请直接画出所有以OA、OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；(2)如图2，将▽ABC绕顶点B按顺时