初中数学角平分线习题集

初中数学角平分线习题集角平分线是初中几何中的重要概念，它不仅揭示了角的对称性，更为我们解决角度计算、线段相等以及图形全等的证明等问题提供了有力的工具。掌握角平分线的性质与判定，并能灵活运用于解题，是提升几何推理能力的关键一步。本习题集旨在通过不同层次的题目，帮助同学们巩固角平分线的相关知识，深化理解，并逐步培养分析问题和解决问题的能力。一、知识梳理在开始习题演练之前，让我们先回顾一下角平分线的核心知识点，这将是我们解题的基础。1.角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。*几何语言：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC=1/2∠AOB。2.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。*几何语言：∵OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴PD=PE。3.角平分线的判定定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。*几何语言：∵PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上。4.三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等。二、习题演练（一）基础巩固篇选择题1.如图，OC是∠AOB的平分线，若∠AOB=70°，则∠AOC的度数为（）A.30°B.35°C.40°D.70°（图形提示：一个角AOB，OC为其内部一条射线，标注了角平分线）2.在△ABC中，∠B的平分线交AC于点D。若∠ABC=60°，则下列说法正确的是（）A.AD=DCB.∠ABD=30°C.点D到AB、BC的距离不相等D.BD是AC边上的高3.到一个角的两边距离相等的点的轨迹是（）A.这个角的平分线B.这个角的两边C.这个角的顶点D.以上都不对填空题4.如图，OP平分∠MON，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B。若PA=5cm，则PB=______cm。（图形提示：一个角MON，OP为角平分线，P为OP上一点，向两边作垂线）5.在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，若CD=4，则点D到AB的距离为______。6.已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，则∠AOD=______度。解答题7.如图，已知AD是△ABC的角平分线，∠B=40°，∠C=60°，求∠BAD和∠ADC的度数。（图形提示：一个三角形ABC，AD为∠BAC的角平分线，交BC于D）8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，若CD=3，AB=10，求点D到AB的距离。（图形提示：直角三角形ABC，直角在C，BD为∠B的角平分线）（二）能力提升篇9.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠A的平分线与∠D的平分线交于点E。求证：AE⊥DE。（图形提示：一个梯形ABCD，上底AD，下底BC，AB、CD为腰，AE平分∠A，DE平分∠D，交于E）10.已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D、E分别在AB、AC上，且BD=CE，DM平分∠BDE，EN平分∠DEC。求证：DM∥EN。（图形提示：一个等腰三角形ABC，AB=AC，D在AB上，E在AC上，BD=CE，DM、EN分别是角平分线）11.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，求∠CAP的度数。（图形提示：三角形ABC，延长BC到D，BP平分∠ABC，CP平分∠ACD，BP与CP交于P）12.已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD=CD。求证：AB=AC。（图形提示：三角形ABC，AD为角平分线，DE、DF为垂线，垂足分别为E、F）（三）拓展探究篇13.在一个三角形中，如果有一个内角的平分线等于这个角对边上的中线，你能判断这个三角形的形状吗？请说明理由。14.已知：如图，点P是△ABC内部一点，且点P到△ABC三边的距离相等，∠PBC=30°，∠PCB=40°，求∠PAB的度数。（图形提示：三角形ABC内部一点P，向三边作垂线，垂足未标出，但暗示距离相等）15.尝试用尺规作图的方法，画出一个已知角的平分线，并说明作图的依据是什么？（不写作法，保留作图痕迹，说明理由）三、习题解答与提示（一）基础巩固篇1.B。解析：因为OC是∠AOB的平分线，所以∠AOC=1/2∠AOB=1/2×70°=35°。2.B。解析：角平分线将角分成相等的两部分，故∠ABD=1/2∠ABC=30°。A选项AD=DC只有在特定条件下才成立，如AB=BC；C选项角平分线上的点到角两边距离相等；D选项BD不一定是高。3.A。这是角平分线的判定定理的几何意义。4.5。角平分线上的点到角两边的距离相等。5.4。点D在∠CAB的平分线上，所以点D到AB的距离等于CD=4。6.15。∠AOC=1/2∠AOB=30°，∠AOD=1/2∠AOC=15°。7.解：在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-60°=80°。∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=1/2∠BAC=40°。在△ABD中，∠ADC=∠B+∠BAD=40°+40°=80°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）。8.解：过点D作DE⊥AB于E。∵BD平分∠ABC，∠C=90°（即DC⊥BC），DE⊥AB，∴DE=CD=3（角平分线上的点到角两边的距离相等）。∴点D到AB的距离为3。（二）能力提升篇9.证明：∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）。∵AE平分∠A，DE平分∠D，∴∠DAE=1/2∠A，∠ADE=1/2∠D。∴∠DAE+∠ADE=1/2(∠A+∠D)=1/2×180°=90°。在△ADE中，∠AED=180°-(∠DAE+∠ADE)=180°-90°=90°。∴AE⊥DE。10.提示：由∠B=∠C，BD=CE，易证△BDE≌△CED（SAS或AAS），从而∠BDE=∠CED。再由角平分线的定义可得∠MDE=∠NED，根据内错角相等，两直线平行可证DM∥EN。11.提示：先利用三角形外角性质，结合角平分线定义，求出∠BAC的度数。在△ABC中，∠BAC=2∠BPC=80°。再证明AP是∠BAC的外角平分线（或直接利用三角形的旁心性质），从而得出∠CAP=50°。具体过程：设∠ABC=2x，∠ACD=2y。则BP平分∠ABC，∠PBC=x；CP平分∠ACD，∠PCD=y。在△PBC中，∠PCD=∠PBC+∠BPC，即y=x+40°。∠ACD是△ABC的外角，∠ACD=∠ABC+∠BAC，即2y=2x+∠BAC。将y=x+40°代入，得2(x+40°)=2x+∠BAC，解得∠BAC=80°。点P是△ABC的旁心，AP平分∠BAC的外角。∠BAC的外角为100°，故∠CAP=50°。12.证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF（角平分线性质）。在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD=CD（已知），DE=DF（已证），∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）。∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）。∴AB=AC（等角对等边）。（三）拓展探究篇13.提示：这个三角形是等腰三角形。理由简述：假设在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且AD也是BC边上的中线。延长AD到E，使DE=AD，连接BE。可证△ADC≌△EDB（SAS），从而BE=AC，∠E=∠CAD。因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD=∠E，所以AB=BE=AC，故△ABC是等腰三角形。（说明：这里默认“等于对边上的中线”中的“等于”指的是位置上的重合，即角平分线与中线重合，这是更符合几何语言习惯的理解。如果仅指长度相等，则结论不唯一，但初中阶段通常指前者。）14.解：∵点P到△ABC三边的距离相等，∴点P是△ABC的内心，即三条角平分线的交点。∴BP平分∠ABC，CP平分∠ACB。∵∠PBC=30°，∴∠ABC=2∠PBC=60°。∵∠PCB=40°，∴∠ACB=2∠PCB=80°。∴在△ABC中，∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-60°-80°=40°。∵AP平分∠BAC，∴∠PAB=1/2∠BAC=20°。15.提示：尺规作已知角∠AOB的平分线的方法是：以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C；画射线OC。则OC即为所求的角平分线。作图依据：根据“SSS”全等判定，可证得△OMC≌△ONC，从而∠MOC=∠NOC，即OC平分∠AOB。结语角平分线的习