2025-2026学年陕西省西安市高新区第一中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年陕西省西安市高新区第一中学高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.若集合A={x|x2-2x-3＜0}，集合B={x|x＜1}，则A∩B等于（）A.（1，3） B.（-∞，-1） C.（-1，1） D.（-3，1）2.已知，则=（）A. B. C. D.3.如图所示，在△ABC中，=3，=2，若=，=，则=（）

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A.- B.- C.- D.-4.使命题p：“∃x∈（1，2），m≤x2+1”为假命题的m的取值范围是（）A.{m|m≥4} B.{m|m≥5} C.{m|m≤2} D.{m|m≤5}5.已知l1，l2是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则使得l1⊥l2成立的是（）A.l1⊥α，l2∥β，α⊥β B.l1∥α，l2⊥β，α∥β

C.l1⊥α，l2⊥β，α∥β D.l1∥α，l2∥β，α⊥β6.已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（）A.ca＞cb B. C.bac＞abc D.logac＞logbc7.求值：=（）A.1 B. C. D.8.Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.4以下（不含0.4）所需的训练迭代轮数至少为（）（参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.477）A.4 B.5 C.6 D.7二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.函数f（x）=|x2-6x+8|在下列区间（）上单调递减.A.（-∞，2） B.（-∞，3） C.[3，4] D.（2，3）10.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知，则（）A. B.a=3

C.△ABC的外接圆的周长为 D.△ABC为锐角三角形11.正方形ABCD、ABEF的边长为1，且它们所在的平面互相垂直.点M、N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且.则（）A.直线AC与BF所成的角为60°

B.MN∥平面DAF

C.当时，MN的长最小，且最小值为

D.当MN的长最小时，点F到平面AMN的距离为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.平面向量，，则在上的投影向量坐标为

.13.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4，BC=3，AC=5，D为棱AB的中点，直三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为34π，则四面体DA1B1C的体积为

.

14.某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪（记为△ABC），点D，E在△ABC的边上，线段DE把草坪分成面积相等的两部分.如果沿DE铺设灌溉水管，则水管的最短长度为

米.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f（x）=cos4x-2sinxcosx-sin4x.

（1）求f（x）的单调递增区间；

（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位后得到y=g（x）的图象，当函数y=g（x）-k在上恰有一个零点时，求k的取值范围.16.(本小题15分)

如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.

（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；

（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积．17.(本小题15分)

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,.

（1）求角A的大小；

（2）若△ABC边BC上的中线AD的长度为，求△ABC面积的最大值.18.(本小题17分)

如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD，M，N分别为CD，PD的中点，AC与BM交于点E，，AD=6，K为PA上一点，.

（1）证明：KE∥MN；

（2）求证：平面PAC⊥平面BMNK；

（3）若，求BK与平面PAC所成角的正弦值.19.(本小题17分)

已知函数（c,b为常数）是定义在[-1，1]上的奇函数，且.

（1）若实数m满足f（2m-1）+f（m-1）＜0，求实数m的取值范围；

（2）若不等式2f（x）≤（1-2a）t+2对所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围；

（3）设g（x）=ax+2f（-1）a-x是定义在R上的函数，其中a＞1，是否存在实数λ，使得g（cos2x）+g（2λsinx-5）＜0对任意恒成立？若存在，求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由.

1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】AC

10.【答案】BCD

11.【答案】ABC

12.【答案】

13.【答案】6

14.【答案】20

15.【答案】

16.【答案】解：（Ⅰ）证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，如图所示，

因为CA=CB，所以OC⊥AB．

由于AB=AA1，，故△AA1B为等边三角形，

所以OA1⊥AB．

因为OC∩OA1=O，OC，OA1平面OA1C，

所以AB⊥平面OA1C．

又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；

（Ⅱ）由CA=CB，AB=AA1，AB=CB=2，∠BAA1=60°，

​​​​​​​易知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，

所以．

又，则，故OA1⊥OC．

因为OC∩AB=O，OC平面ABC,AB平面ABC，

所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC-A1B1C1的高．

又△ABC的面积，

故三棱柱ABC-A1B1C1的体积．

17.【答案】解：（1）由正弦定理及，得，

因为sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，

所以，

即，

又C∈（0，π），所以sinC＞0，所以，

而A∈（0，π），所以．

（2）因为D是BC中点，所以，

所以，

所以，即b2+c2+bc=24，

又24=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc,当且仅当时等号成立，

所以bc≤8，

所以，

即△ABC面积的最大值为．

18.【答案】证明：已知底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，M，N分别为CD，PD的中点，

则，

在△ABE和△CME中，AB∥CM，则三个内角均对应相等，

故△ABE∽△CME，

相似比为，

所以，即，

因为，则，

由平行线分线段成比例定理可得KE∥PC，

又因为M，N分别为CD，PD的中点，

所以MN∥PC，

所以KE∥MN

证明：在矩形ABCD中，，

所以，

则