湖北省恩平黄冈实验中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷（含详解）

广东江门市恩平黄冈实验中学等校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．在△ABC中，，，则△ABC的外接圆半径为（

）A．6 B．12 C． D．3．已知，，，则（

）A． B． C． D．4．在中，点在边上，且满足，为的中点，则（

）A． B．C． D．5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（

）A． B． C． D．6．已知向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．7．已知复数z满足，则的最小值为（

）A． B．3 C． D．18．如图，在中，，E在边AC上，且，若，，则（

）A．20 B．24 C．26 D．28二、多选题9．已知复数（），，若为纯虚数，则下列说法正确的有（

）A． B．C． D．在复平面内对应的点为10．下列关于立体图形的说法错误的是（

）A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥B．侧面都是矩形的四棱柱是长方体C．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥D．圆台的母线延长后一定交于同一点11．已知函数是定义域为的奇函数，满足，且当时，，则（

）A．函数的周期为4B．函数在上单调递增C．关于x的方程有且仅有2个不同的实根D．当时，三、填空题12．已知一个正六棱柱的底面是边长为2的正六边形，且所有棱长之和为48，则该正六棱柱的侧棱长为__________.13．已知，，且，则的最小值为__________，此时__________.14．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则使有两解的k的取值范围是__________.四、解答题15．已知复数.(1)求z的共轭复数；(2)求的实部和虚部；(3)若复数（）在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围.16．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的面积.17．已知函数.(1)求函数的最小正周期和曲线的对称轴方程；(2)若关于x的方程在上有两个不同的实根，求实数m的取值范围.18．已知平面内两个非零不共线向量，满足，，且对任意实数t，不等式恒成立，向量满足.(1)求，夹角的余弦值；(2)求的最小值.19．某自动化港口的水平作业区为水平面，岸边桥吊作业点A，集装箱堆场B，维修站C构成三角形布局，米，，.无人集卡（无人驾驶集装箱卡车的简称）在作业区的最大行驶速度为10米/秒，道路均为直线通行.(1)求A，B到C的直线距离（结果保留根号）.(2)无人集卡从A运输集装箱到B（按10米/秒的速度行驶），行驶到AB的中点D时收到调度指令，需先前往C维修故障，再前往B卸货，其中从C到B按最大速度10米/秒行驶.为不影响卸货时效，从D点出发后的行驶总时间不得超过原计划D直接到B的时间的3倍，求无人集卡从D到C的行驶速度的最小值（结果保留根号）.(3)港口计划在∠ACB的角平分线上新建一个充电补给站P，使得补给站到A，B两点的距离相等.求补给站P到维修站C的距离（结果保留根号）.参考答案1．B【详解】，则，又，所以.2．A【详解】因为，，所以.设外接圆的半径为，，则，所以外接圆的半径为.3．D【详解】指数函数在上单调递增，所以，即；指数函数在上单调递减，所以，又因为指数函数的值域大于0，所以，即.对数函数在上单调递减，所以，即.由上述分析可知，所以.4．C【详解】.

5．D【详解】因为，为内角，则，则.6．C【详解】由于，所以，即，又，，所以.则向量在向量上的投影向量等于：.7．B【详解】因为，所以复数对应的点在以为圆心，2为半径的圆上，因为表示点与定点的距离，所以点与定点的距离的最小值等于圆心与的距离减去圆的半径，即.8．A【详解】由，得，而E在边AC上，且，所以.9．AC【详解】由题意得，，因为为纯虚数，所以，解得，A正确；此时，，故B错误；C正确；，在复平面内对应的点为，故D错误.10．ABC【详解】对于A，棱锥的一个面是多边形，其余各面的三角形必须有公共顶点，若仅满足“一个面是多边形，其余各面是三角形”，不一定是棱锥（例如两个同底的三棱锥拼接得到的几何体符合描述，但不是棱锥），A错误；对于B，侧面都是矩形的四棱柱是直四棱柱，但直四棱柱的底面不一定是矩形，只有底面为矩形的直四棱柱才是长方体，B错误；对于C，只有以直角三角形的直角边为轴旋转一周，得到的旋转体才是圆锥，若绕斜边旋转一周，得到的是两个同底圆锥组成的组合体，不是圆锥，C错误；对于D，圆台是平行于圆锥底面的平面截圆锥得到的，因此所有母线延长后一定交于原圆锥的同一点，D正确.11．ACD【详解】对于A，由上的奇函数满足，得，则，，因此函数的周期为4，A正确；对于C，当时，，由是奇函数，则当时，单调递增，，因此函数在上单调递增，，由，得函数的图象关于直线对称，则在上单调递减，，而函数的周期为4，则在上值域为，当或时，，于是方程在上无解，当时，由，得无解；当时，，，由，得，解得；当时，，由，得，解得；显然函数的图象关于直线对称，当时，，，由，得，于是，而此方程在上无解，因此方程在各有一个解，C正确；对于B，由选项C知，在上单调递减，由，得，又周期为4，因此函数在上单调递减，B错误；对于D，当时，，，D正确.12．4【详解】正六棱柱上下底面均为正六边形，每个正六边形有6条边，所以上下底面的棱共有条，且每条棱的长度都为2，正六棱柱有6条侧棱，设侧棱长为，已知所有棱长之和为48，则，解得.综上，该正六棱柱的侧棱长为4.13．12【详解】由，，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为12，此时.14．【详解】在中，由正弦定理及有两解，得且，解得，所以所求的取值范围是.15．(1)(2)实部为，虚部为(3)【详解】（1）因为，所以.所以.（2）由（1）知，则，所以的实部为，虚部为.（3）已知，则，复数在复平面内对应的点的坐标为，因为该点位于第四象限，则，所以不等式组的解集为，即的取值范围是.16．(1)(2)(3)【详解】（1）因为，所以，所以；（2）由余弦定理可得，又为的内角，所以（3）17．(1)，；(2).【详解】（1）函数，所以函数的最小正周期为；由，得，所以曲线的对称轴方程为.（2）当时，，由，得，由，得，因此函数在上单调递减，函数值从递减到；函数在上单调递增，函数值从增大到，由方程在上有两个不同的实根，得直线与函数的上的图象有两个不同交点，因此，所以实数m的取值范围是.18．(1)；(2).【详解】（1）不等式，设向量的夹角为，则,而，代入整理得，依题意，对任意实数，不等式恒成立，则需使，因对，，则有，解得，所以向量夹角的余弦值为.（2）以为原点，射线为轴非负半轴建立平面直角坐标系，则，由（1）知，而，不妨令，满足，设，则，，由，得，即，令，因此，当且仅当时取等号，其中锐角由确定，所以的最小值为.19．(1)(2)(3)【详解】（1）在中，米，，，，由正弦定理，得.（2）设从D到C的行驶速度为米/