【北师大版】小学数学四年级上册《除法》单元知识清单

【北师大版】小学数学四年级上册《除法》单元知识清单一、除法的意义与算式各部分的名称【基础】除法是已知两个因数的积与其中一个非零因数，求另一个因数的运算。它是四则运算中的重要组成部分，与乘法互为逆运算。在除法算式中，各部分都有其专属的名称。以算式“被除数÷除数＝商”为例，有时还会有余数。具体来说，“÷”是除号，它前面的数称为“被除数”，表示要被分拆的总数；它后面的数称为“除数”，表示平均分的份数或每份的大小；计算得出的结果称为“商”。在不能整除，也就是有余数的除法算式里，如“被除数÷除数＝商……余数”，剩余的不够再分一份的数称为“余数”。必须牢记，在有余数的除法中，余数一定要比除数小，这是检验除法计算是否正确的基本法则。二、除数是整十数的除法【基础】（一）口算除法1.口算方法：除数是整十数的口算，可以借助乘除法的互逆关系，即想乘法算除法。例如，计算80÷20，就想20乘以几等于80，因为20×4=80，所以80÷20=4。也可以利用表内除法类推，将被除数和除数都看作几个十，再根据表内除法计算。比如，80÷20可以看成8个十除以2个十，因为8÷2=4，所以结果是4。这种方法的核心是计数单位的统一与换算。2.估算方法：在实际应用中，有时不需要精确结果，可以用估算。把被除数或除数看作与之接近的整十数或整百数，再进行口算。例如，估算92÷30，可以把92看作90，90÷30=3，所以结果大约是3。（二）笔算除法【高频考点】1.两位数除以整十数：计算两位数除以整十数时，商是一位数。需要看被除数里面有几个除数，商就写在个位上。例如，计算60÷30，被除数60里面有2个30，所以商2，写在个位上。2.三位数除以整十数：1.当被除数的前两位大于或等于除数时，商是两位数。例如，计算150÷30，被除数的前两位15小于30，不够除，所以要看前三位，商是一位数。而计算450÷30，被除数的前两位45大于30，够除，所以商的最高位写在十位上，商是两位数。2.笔算步骤【★解题步骤】：首先，确定商的位数。看被除数的前两位，如果前两位大于或等于除数，商是两位数；如果前两位小于除数，商是一位数。其次，进行试商。用除数去乘整十数，找到与被除数最接近但不超过被除数的积。然后，书写商的位置。除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面。最后，检查余数。每次除得的余数必须比除数小。三、除数是非整十数的除法（试商与调商）【核心难点】这是本单元最核心、最具挑战性的部分。当除数不是整十数时，我们通常用“四舍五入”法把除数看作与它接近的整十数来试商，这个过程就是“试商”。由于把除数看大或看小了，初商往往可能不合适，这时就需要“调商”。（一）“四舍”法试商与调商【重要】1.原理：当除数的个位上是1、2、3、4时，用“四舍”法，把除数个位上的数舍去，看作整十数来试商。例如，计算192÷32，把32看作30试商。2.现象：用“四舍”法试商，把除数看小了，所以试出的商（初商）可能会偏大。这是因为除数变小了，商就容易变大。3.调商方法【★易错点】：如果初商与除数的乘积大于被除数，说明商大了，需要把商调小1，再重新计算，直到乘积小于或等于被除数。例如，192÷32，试商6（30×6=180，接近192），但32×6=192，恰好等于被除数，商正好，无需调小。如果计算192÷31，试商6（30×6=180），但31×6=186，小于192，说明商6正确；如果试商7，31×7=217，大于192，就说明商7大了，要调成6。（二）“五入”法试商与调商【重要】1.原理：当除数的个位上是5、6、7、8、9时，用“五入”法，把除数个位上的数向前一位进一，看作整十数来试商。例如，计算268÷37，把37看作40试商。2.现象：用“五入”法试商，把除数看大了，所以试出的商（初商）可能会偏小。这是因为除数变大了，商就容易变小。3.调商方法【★易错点】：如果初商与除数的乘积小于被除数，但余数大于或等于除数，说明商小了，需要把商调大1，再重新计算，直到余数小于除数。例如，268÷37，试商6（40×6=240），但37×6=222，=46，余数46大于除数37，说明商6小了，要调成7，37×7=259，余9，9<37，正确。（三）三位数除以两位数（商是两位数）的笔算【高频考点】1.判断方法：当被除数的前两位大于或等于除数时，商的最高位在十位上，商就是两位数。2.计算过程：先用除数去除被除数的前两位，得到商的十位数；然后将余数与个位上的数合起来，继续除以除数，得到商的个位数。每一步的试商和调商方法都与上述相同。例如，计算768÷24，先看被除数的前两位76，76÷24，把24看作20试商3，24×3=72，7672=4，余4；再把个位上的8落下来，组成48，48÷24，商2，24×2=48，余0。最终商是32。四、商中间或末尾有0的除法【高频易错点】1.商中间有0的情况：当除到被除数的某一位时，这一位上的数不够商1（即比除数小），就应该在这一位上商0来占位。例如，计算816÷8，百位8÷8=1，十位1÷8不够除，就在十位上商0，然后把个位的6落下来，变成16÷8=2，最终商是102。特别要注意的是，被除数中间有0，商的中间不一定有0（如405÷3=135），关键看不够商1时才商0。2.商末尾有0的情况：当除到被除数的个位时，如果个位上的数不够商1，并且前面已经除尽或者没有数可落了，那么就在商的个位上写0占位。这种情况通常发生在被除数末尾有0，且前面除尽了。例如，计算720÷24，先算72÷24=3，刚好除尽，然后个位的0落下来，但0÷24=0，所以直接在商的个位写0，结果是30。另一种情况是除到个位时，虽然不够除但有余数，如630÷31，试商后余下10，10比31小，个位不够商1，就要在商的个位写0，结果是20……10。3.书写规范【★易错警示】：在竖式计算中，商0的那一步过程可以省略不写，但0必须写在商对应的位置上。尤其要避免出现漏写0导致商的位数减少的错误。五、除法的运算律与性质【核心规律】（一）商不变的规律【热点】1.规律内容：被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（零除外），商不变。这是除法中一个非常重要的性质。用字母表示为：如果a÷b=c，那么（a×n）÷（b×n）=c，（a÷n）÷（b÷n）=c（n≠0，b≠0）。2.规律应用：1.简便计算【重要】：当被除数和除数末尾都有0时，可以利用商不变的规律同时去掉相同个数的0，使计算简化。例如，计算3000÷125，可以看成（3000×8）÷（125×8）=24000÷1000=24。又如，计算350÷50，可以看成35÷5=7。2.解决有余数问题【★易错点】：在有余数的除法中，利用商不变的规律进行简便计算时，被除数和除数末尾同时去掉几个0，余数的末尾就要添上几个0。例如，900÷40，利用商不变规律看成90÷4，商22，余2。但这里的余2实际上是2个十，所以原式的余数应该是20。正确写法是900÷40=22……20。（二）商的其他变化规律【拓展】1.除数不变，被除数乘或除以一个非零的数，商也随着乘或除以这个数。即除数不变，商与被除数同向变化。2.被除数不变，除数乘或除以一个非零的数，商反而除以或乘这个数。即被除数不变，商与除数反向变化。六、常见的数量关系【实际应用】除法在解决实际问题中，衍生出了两组核心的数量关系，它们是构建数学模型的基础。（一）路程、速度与时间的关系【高频考点】1.定义：速度是指单位时间内所行驶的路程。它是一个复合单位，如千米/时、米/分等，读作“千米每小时”“米每分钟”。2.基本公式：1.速度×时间=路程2.路程÷时间=速度3.路程÷速度=时间1.应用提示：在解题时，首先要明确题目中要求的是什么量，然后找准对应的速度、时间和路程，再选择合适的公式。例如，已知一辆汽车3小时行驶了210千米，求它的速度，就是210÷3=70（千米/时）。（二）单价、数量与总价的关系【高频考点】1.定义：单价是每件商品的价格，数量是购买商品的件数，总价是应付的总钱数。2.基本公式：1.单价×数量=总价2.总价÷数量=单价3.总价÷单价=数量1.应用提示【★易错点】：在解决购物问题时，特别要注意“够不够”“最多能买几个”等问题。当出现余数时，要根据实际情况决定是用“去尾法”（舍去余数）还是“进一法”（商加1）。例如，用100元买单价30元的书包，最多能买几个？100÷30=3（个）……10（元），剩下的10元不够再买一个，所以只能买3个，用去尾法。又如，有50人要坐船，每条船限坐8人，至少需要几条船？50÷8=6（条）……2（人），剩下的2人也需要一条船，所以需要7条，用进一法。七、考点剖析与解题策略（一）典型题型与解题步骤1.括号里最大能填几？【基础】题型示例：70×（）＜281。解题步骤：用小于号右边的数除以左边的已知因数。281÷70=4……1，所以括号里最大能填4。这种方法的核心是利用有余数除法，商就是最大能填的数。2.判断商的位数【高频考点】题型示例：□18÷42的商是两位数，□里最小填几？解题步骤：三位数除以两位数，商是两位数，说明被除数的前两位（□1）要大于或等于除数（42）。所以□1≥42，那么□里可以填5、6、7、8、9，最小填5。反之，如果商是一位数，则前两位小于除数。3.试商与调商的辨析【难点】题型示例：计算289÷73时，可以把73看作（70）来试商，商偏（大），要将商调（小）。解题步骤：用“四舍”法试商，除数变小，商易偏大，需要调小；用“五入”法试商，除数变大，商易偏小，需要调大。4.利用商不变规律比较大小题型示例：比较48÷12和4800÷1200的大小。解题步骤：观察两个算式，被除数48到4800是乘了100，除数12到1200也是乘了100，根据商不变的规律，两个算式的商相等，所以填“=”。（二）常见错误分析与规避【★易错点集锦】1.余数遗忘问题：在有余数的除法竖式计算中，算出商后，往往忘记在横式上写余数，或者余数写得不对。规避方法：养成检查余数是否比除数小的习惯，并确保横式结果完整，如“500÷60=8……20”。2.商的定位错误：试商时，商的位置写错，尤其是商是两位数时，把十位上的商写在个位上。规避方法：牢记“除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面”，每除一步都要对应好数位。3.试商不准确导致计算繁琐：试商时，没有选择合适的整十数，导致反复调商。规避方法：加强乘法口诀和两位数乘一位数的口算训练，提高对接近整十数的乘积的敏感度。4.漏掉商中间的0：如计算840÷35，有的学生会忽略十位上的商0。规避方法：每一步都去思考“这一位上有几个除数”，如果0个，就必须商0占位。5.商不变规律中余数处理不当：如前所述，利用规律简算有余数除法时，误以为余数就是化简后的余数。规避方法：理解余数的意义，被除数和除数同时缩小，余数也跟着缩小，要得到原余数，必须将余数扩大相同的倍数。6.实际问题中数量关系混淆：如在行程问题中，错把路程当速度。规避方法：读题时圈出关键数量词（如“每小时”“一共”“每个”），并写出数量关系式再列式。八、拓展与提升1.除法的竖式谜题：这类题目考查对除法计算过程的逆向思维。需要根据已知的部分积、余数，推断出被除数、除数或商的某一位数字。解题关键在于理解每一步乘法和减法的对应关系。2.巧算与简算：除了运用商不变的规律，还可以通过拆分数、凑整等方法进行简便运算。例如，1250÷25，可以看成（1250×4）÷（25×4）=5000÷100=50。这需要灵活运用积不变和商不变的规律。3.同余问题初步：在有余数的除法中，如果两个数除以同一个除数，余数相同，那么这两个数的差就能被这个除数整除。这是数论初步的萌芽。九、单元知识思维导图构建为了帮助学生形成完整的知识网络，可以引导他们自主构建本单元的思维导图。以“除法”为核心，向四周发散出六大分支：一是“口算除法”（整十数除整十数、几百几十数）；二是“笔算除法”（除数是整十数、除数接近整十数、除数不接近整十数，并内含试商