矩形的性质与判定第2课时课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

1.3

矩形的性质与判定第一章

特殊平行四边形第2课时矩形的判定课时导入还记得我们是怎样得到菱形的判定条件的吗？你能用类似的方法发现矩形的判定条件吗？通过性质定理的逆定理发现的.思考·交流你能写出矩形性质定理的逆定理吗？它们都是真命题吗？为什么？与同伴进行交流.可以发现：有三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形.知识讲解知识点1对角线相等的平行四边形是矩形

已知：如图，在□ABCD中，AC

，

DB是它的两条对角线，

AC=DB.求证：□ABCD是矩形.ABDC证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC,AB∥DC，

又∵BC=CB，AC=DB，∴△ABC≌△DCB

.∴∠ABC=∠DCB

.

∵AB∥DC，∴∠ABC+∠DCB=180°.

∴∠ABC=∠DCB=×180°=90°.∴□

ABCD是矩形（矩形的定义）.定理：对角线相等的平行四边形是矩形.几何语言：如图，在平行四边形ABCD中，∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形.ABDC1.要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（）

A．测量两对角线是否相等B．度量两个角是否是90°C．测量两对角线的交点到四个顶点的距离是否相等

D．测量两组对边是否分别相等随堂小测C2.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，DE=AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）

A．AB=BEB．CE⊥DEC．∠ADB=90°

D．BE⊥ABD知识点2有三个角是直角的四边形是矩形证明:∵∠A=∠B=∠C=90°，∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°.∴AD∥BC，AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形.∴四边形ABCD是矩形.已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.求证：四边形ABCD是矩形.ABCD定理：有三个角是直角的四边形是矩形.ABCD几何语言：如图，在四边形ABCD中，∵

∠A=∠B=∠C=90°，∴四边形ABCD是矩形.例2如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O

，△ABO是等边三角形，

AB=4，求□ABCD的面积.ABDCO解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD.又∵△ABO是等边三角形，∴OA=OB=AB=4，∴OA=OB=OC=OD=4.∴AC=BD=2OA=2×4=8.∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.例2

如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O

，△ABO是等边三角形，

AB=4，求□ABCD的面积.ABDCO∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角）.在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB2+BC2=AC2,

∴BC= .∴S□ABCD=AB·BC=4×=.随堂小测3.一个木匠要制作矩形的踏板.他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板.理由是

.有三个角是直角的平行四边形是矩形4.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE为矩形．证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝∠BAC.

又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE＝∠CAE＝∠CAM,∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝(∠BAC＋∠CAM)＝90°.

又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°,∴四边形ADCE为矩形（有三个角是直角

的四边形是矩形）．小结矩形的判定方法几何语言图形定义法有一个角是直角的平行四边形是矩形∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°，

∴

四边形ABCD是矩形.定理对角线相等的平行四边形是矩形在平行四边形ABCD中，∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形定理有三个角是直角的四边形是矩形在四边形ABCD中，∵∠A=∠B=∠C=90°，∴四边形ABCD是矩形ABCDABDCABDC

1.

在▱ABCD中，若∠A＋∠C＝180°，下列最符合条件的

图形是（

C

）C巩固练习2.

如图，在△ABC中，D是AC边上一点，DE⊥AB于点E，

DF⊥BC于点F，当∠B＝

°时，四边形BEDF是矩形。第2题图90

3.

如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加

下列条件后，不能判定▱ABCD为矩形的是（

C

）A.

∠ABC＝90°B.

AC＝BDC.

AD＝ABD.

∠BAD＝∠ADCC4.

如图，BO是Rt△ABC斜边上的中线，延长BO到点D，使DO＝BO，连接AD，CD。四边形ABCD是矩形吗？请说明理由。

解：四边形ABCD是矩形。理由如下：∵BO是Rt△ABC斜边上的中线，

∴BO＝AO＝CO。∴DO＝BO＝AO＝CO。∴四边形ABCD是平行四边形。∵BD＝DO＋BO，AC＝AO＋CO，∴BD＝AC。∴▱ABCD是矩形。又∵DO＝BO，

证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴四边形BECO是平行四边形。∵∠BOC＝90°，∴▱BECO是矩形。又∵BE∥AC，

6.

木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为150

cm，

宽为80

cm，对角线为170

cm，那么这个桌面

（填

“合格”或“不合格”）。合格

7.

如图是四根木棒搭成的平行四边形框架，AB＝8

cm，AD

＝6

cm，使AB固定，转动AD，当∠DAB＝

时，

▱ABCD的面积最大，此时▱ABCD是

形，面积为

。90°

矩

48cm28.

（教材P15习题T5）如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C，D。试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论。解：四边形ACBD是矩形。证明如下：∵CD∥MN，∴∠OCB＝∠CBM。∵BC平分∠ABM，∴∠OBC＝∠CBM。∴∠OCB＝∠OBC。∴OC＝OB。同理可得OB＝OD。∴OB＝OC＝OD。∵O是AB的中点，∴OA＝OB。∴四边形ACBD是平行四边形。∵AB＝OA＋OB，CD＝OC＋OD，∴AB＝CD。∴▱ACBD是矩形。解：四边形ACBD是矩形。证明如下：∵CD∥MN，∴∠OCB＝∠CBM。∵BC平分∠ABM，∴∠OBC＝∠CBM。同理可得OB＝OD。∴OB＝OC＝OD。∵O是AB的中点，∴OA＝OB。∴四边形ACBD是平行四边形。∵AB＝OA＋OB，CD＝OC＋OD，∴AB＝CD。∴▱ACBD是矩形。∴∠OCB＝∠OBC。∴OC＝OB。

9.

（思想方法·辅助线）