第1课时 正方形的性质（课件） 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

1.4

正方形的性质与判定第1课时正方形的性质第一章特殊平行四边形一组邻边相等一个角是直角一组邻边相等一个角是直角有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.正方形定义：（1）正方形是矩形吗？是菱形吗？（2）你认为正方形具有哪些性质？与同伴交流.正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质，正方形都有.总结议一议正方形的性质1证明：∵

四边形

ABCD是正方形. ∴∠A=90°，AB=AD(正方形的定义).

又∵

正方形是平行四边形， ∴正方形是矩形(矩形的定义)，

正方形是菱形

(菱形的定义).

∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，

AB=BC=CD=AD.(1)已知：如图，四边形

ABCD是正方形.求证：正方形

ABCD四边相等，四个角都是直角.ABCD证一证(2)已知：如图，四边形

ABCD是正方形.对角线

AC、BD相交于点

O.求证：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD.ABCDO证明：∵

正方形

ABCD是矩形，

∴AO=BO=CO=DO.

∵

正方形

ABCD是菱形， ∴

AC⊥BD.归纳总结定理

正方形的四个角都是直角，四条边相等.定理

正方形的对角线相等且互相垂直平分.正方形的性质例1如图，在正方形

ABCD

中，E为

CD

上一点，F

为

BC

边延长线上一点，且

CE

=

CF.BE

与

DF

之间有怎样的关系？请说明理由.解：BE

=

DF，且

BE⊥DF.

理由如下：①∵

四边形

ABCD

是正方形.∴

BC

=

DC，∠BCE=

90°，∴∠DCF

=

180°

-∠BCE

=180°

-90°=90°.∴∠BCE

=∠DCF.又∵

CE

=

CF，ABDCFE∴

△BCE≌△DCF

(SAS).

∴

BE

=

DF.ABDFE②

延长

BE

交

DF于点

M.∵△BCE≌△DCF，∴∠CBE=∠CDF.∵∠DCF=

90°，∴∠CDF+∠F=

90°.∴∠CBE

+∠F

=

90°.

∴∠BMF

=

90°，∴

BE⊥DF.综和①②可知，BE

=

DF，且

BE⊥DF.CM【变式题】四边形

ABCD是正方形，以正方形

ABCD的一边为边作等边△ADE，求∠BEC的大小．解：当点

E在正方形

ABCD外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.∴∠AEB＝15°.同理可得∠DEC＝15°.∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；当点

E在正方形

ABCD内部时，如图②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝75°.同理可得∠DEC＝75°.∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.综上所述，∠BEC的大小为30°或150°.易错提醒：因为等边△ADE

与正方形

ABCD

有一条公共边，所以它们的边相等．本题分点

E

在正方形的外部和在正方形的内部两种情况．【尝试·交流】如图，四边形

ABCD

是正方形。(1)

在图中画一个菱形，使菱形的两个顶点分别与点

A，C

重合，则菱形的另外两个顶点需要满足怎样的条件？试一试，并与同伴交流你画图的理由。条件：另外两个顶点在正方形对角线

BD

上，且关于AC

对称(或到

AC与

BD

交点的距离相等)。理由：菱形对角线互相垂直平分，正方形中BD⊥AC

且互相平分，满足菱形性质。ABCDOEF(2)在图中画一个矩形EFGH，使矩形的四个顶点E，F，G，H依次在正方形

ABCD的边AB，BC，CD，AD上，则矩形EFGH

的四个顶点需要满足什么条件？试一试，并与同伴交流你画图的理由。ABCDO条件：AE＝CG、AH＝CF(或邻边互相垂直)。理由：可证

EFGH

是平行四边形且有直角，符合矩形定义。EFGH1.四个角都是直角2.四条边都相等3.对角线相等且互相垂直平分正方形的性质2.一个正方形的对角线长为

2

cm，则它的面积是（）

A.2

cm2

B.4

cm2C.6

cm2D.8

cm2A1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线互相垂直且相等A3.在正方形

ABCD中，∠ADB=

°，∠DAC=

°，∠BOC

=

°.4.在正方形

ABCD中，E是对角线

AC上一点，且

AE=AB，则∠EBC的度数是

.ADBCOADBCOE459022.5°第3题图第4题图455.如图，正方形

ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求

BE的长．解：∵四边形

ABCD为正方形，∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.又∵∠ECF＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形.∴EF＝FC.∵∠B＝∠EFA＝90