断裂力学讲义

目录

箕一章绪论.............................................................................................2

§1.1断裂力学的概念.........................................................................2

§1.2断裂力学的基本组成......................................................................2

第二章线弹性断裂力学概述................................................................................3

§2.1裂纹和其对强度的影响.....................................................................3

§2.2断裂理论.................................................................................5

第三章裂纹尖端区域的应力场和应力强度因子.....................................................10

§3.1I型裂纹尖端区域的应力场与位移场........................................................10

§3.2II型裂纹尖端区域的应力场与位移场........................................................15

§3.3小型裂纹尖端区域的应力场与位移场.......................................................16

§3.4应力强度因子的确定....................................................................18

第一章绪论

§1.1断裂力学的概念

任何一门科学都是应一定的需要而产生的，断裂力学也是如此。

一提到断裂，人们自然而然地就会联想到各种工程断裂事故。在断裂力学产生之前，人们根据强度条件来设计构件，其基本思

想就是俣证构件的工作应力不超过材料的许用应力，即

。近［打〜安全设计

女全设计对确保构件安全T.作也确实起到了重大的作用，至今也仍然是必不可少的。但是人们在长期的生产实践中，逐步认

识到，在某些情况下，根据强度条件设计出的构件并不安全，断裂事故仍然不断发生.特别是高强度材料构件，焊接结构，处在低

温或腐蚀环境中的结构等，断裂事故就更加频繁。例如，1943〜1947年二次世界大植期间，美国的5000余艘焊接船竟然连续发生

了一T•多起断裂事故，其中238艘完全毁坏。1949年美国东俄亥俄州煤气公司的圆柱形液态天然气罐爆炸使周围很大一片街市变

成J'废墟。五十年代初，美国北极星导弹固体燃料发动机壳体在试验时发生爆炸。这些接连不断的工程断裂事故终于引起r人们的

高度警觉。特别值得注意的是，有些断裂事故竟然发生在的条件下，用传统的安全设计观点是无法解释的.于是人们认

识到r传统的设计思想是有缺欠的，并且开始寻求更合理的设计途径。人们从大量的断裂事故分析中发现，断裂都是起源于构件中

有缺陷的地方。传统的设计思想把材料视为无缺陷的均匀连续体，而实际构件中总是存在着各种不同形式的缺陷。因此实际材料

的强度大大低于理论模型的强度。断裂力学恰恰是为了弥补传统设计思想这一严重的缺陷而产生的。因此，给断裂力学下的定义就

是

断裂力学是研究有裂纹（缺陷）构件断裂强度的一门学科,或者说是研究含裂纹构件裂纹的平衡、扩展和失稳规律，以保证

构件安全工作的一门科学。

断裂力学在航空、机械、化工、造船、交通和军工等领域里都有广泛的应用前景,它能解决抗断设计、合理选材、制定适当的

热处理制度和加」:工艺、侦测构件的疲劳寿命、制定合理的质量验收标准和检修制度以和防止断裂事故等多方面的问题，因此是一

门具有高度实用价值的学科。希望大家努力把这门课学好。

§1.2断裂力学的基本组成

由于研究的观点和出发点不同，断裂力学分为

微观断裂力学

断裂刀学・线弹性断裂力学

宏观断裂力学

弹塑性断裂力学

微观断裂力学

研究原子位错等等比晶粒尺寸还小的微观结构的断裂过程，根据对这些过程的了解，建立起支配裂纹扩展和断裂的判据.

宏观断裂力学

在不涉和材料内部的断裂机理的条件下，通过连续介质力学分析和试件的实验做出断裂强度的估算及控制。

其中，线弹性断裂力学研究的对象是线弹性裂纹固体，认为裂纹体内各点的应力和应变的关系都是线性的,遵守HOOK定律

（“a适用于塑性区的尺寸远小于裂纹的尺寸的情况。

弹罂性断裂力学则采用弹型性力学的分析方法来分析裂纹固体，适用于裂纹尖端塑性区的尺寸接近或大于裂纹尺寸的情况，

人们对宏观断裂力学的研究已经取得了巨大的进展，而对于微观断裂力学的研究还处于起始阶段。限于学时，我们主要介绍宏

观断裂力学的基本原理和其在工程中的应用。

事实匕在金属材料中，严格的线弹性断裂问题几乎不存在，因为裂纹的犷展总是伴随有裂纹尖端的塑性变形。但理论和实验

都证明，只要塑性区的尺寸远小于裂纹的尺寸，则经过适当的修正，用线弹性理论分析不至于产生太大的误差.对于低韧性高强度

钢，对•于大断面尺寸的构件以和低温条件下工作的构件，往往在断裂前裂尖塑性区的尺寸是很小的，因此可用线弹性断裂理论进行

分析。线弹性断裂力学采用弹性力学的方法进行分析，理论比较严i革，也比较成熟，足断裂力学的基础。

而对于一般情况下的中低强度钢构件，在裂纹扩展前或扩展过程中，裂纹尖端塑性区的尺寸往往接近甚至大于裂纹尺寸，这时

再用线强性断裂理论来分析裂纹的行为就会导致太大的误差，因此需采用弹塑性力学的分析方法，这就是弹塑性断裂力学。尽管弹

塑性断裂力学在工程应用中具有更重大的意义，但是由于用如塑性断裂力学分析方法处理具体问题时存在较大的数学上的困难，因

此这一领域的研究远不如线弹性断裂力学那样充分。

第二章线弹性断裂力学概述

§2.1裂纹和其对强度的影响

一、裂纹的概念

实际构件中的缺陷是多种多样的，主要包括

f裂纹

冶炼中产生的夹渣、气L

缺陷〜统称为裂纹。

加工中产生的刀痕、亥槽

焊接中的气泡、未焊透i

二、裂纹的分类

i.基本型裂纹

按几何特征分为：

（a）穿透裂纹：贯穿构件厚度（或深度延伸到构件厚度的一半以上）。常处理成理想尖裂纹（即裂尖曲率半径P-*（'）»

（b）表面裂纹：位于构件表面，或其深度式构件厚度，常简化为半椭圆形裂纹。

（c）深埋裂纹：位于构件内部，常简化为椭网片状裂纹或圆片裂纹。

（a）穿透裂纹lb）表面裂纹（c）深埋裂纹

图1-1裂纹的几何特征分类图

技力学特征分为：

（a）张开型（I型）：在及裂纹面正交的拉应力作用下，裂纹面产生张开位移而形成的一种裂纹。

受力特征：受及裂纹面正交的拉应力作用：

位移特征：位移及裂纹面正交，裂纹.匕下表面沿拉应力方向（y方向）的位称I，不连续。

（〃）滑开型（H型）：在裂纹面内且及裂纹尖端线垂直的剪应力作用下，裂纹面产生沿该剪应力方向的相对滑动而形成的•

种裂纹。

受力特征：受在裂纹面内且及裂纹尖端线垂克的剪应力作用；

位移特征I裂纹上、下表面沿该前应力方向相对滑动：裂纹上、下去面沿该剪应力方向（A■方向）的位移“不连续。

（c）撕开型（ni型）：在裂纹面内且及裂纹尖端线平行的剪应力作用下，裂纹面产生沿裂纹面外的相对滑动而形成的一种裂

纹。

受力特征：受在裂纹面内且及裂纹尖端线平行的剪应力作用：

位移特征：裂纹上、下表面沿该剪应力方向相对滑动：裂纹上、下表面沿该剪应力方向（Z方向）的位移阴不连续。

张开型裂纹"）滑开型裂纹（。）撕开型裂纹

图1一2裂纹力学特征分类图

在三种基本型裂纹中，I型裂纹最常见11最危险，是我们研究的重点。

2.复合型裂纹

由两种或两种以上的基本型裂纹组成的裂纹叫复合型裂纹。

下面估算一下裂纹对材料强度的影响有多大。

三、裂纹对材料强度的影响

以图1—3所示无限大薄平板为例，该板承受单向均匀拉应力的作用，板正中有一个贯穿的椭圆形切I」，是一个1型裂纹。

在裂纹尖端处将产生局部应力集中现象，但在离裂尖稍远处，应力在横截面上的分布是均匀的。由线弹性力学理论可知，此时椭圆

长轴端点处的拉应力增大,其值为

图1一3含椭圆切口受拉伸无限大板

=W+2卷)(2—1)

其中，。：板两端承受的均匀拉应力:

四贯穿的椭圆形切口的半长轴:

P：椭圆长轴端点的曲率半径。

根据固体物理学理论，固体材料受拉时其理论断裂强度为

(2—2)

其中，氏弹性模量：

r：固体材料的表面能密度；

%：固体材料的原子间距。

按照传统的强度理论，当切口端点处的最大应力达到材料的理论断裂强度时，也就是时，材料断裂。将(2-1)和

(2—2)代入此式，并考虑到可得

因为这个式子就是破坏时得到的，因此.由这个式子得到的。就是裂尖处首先达到破坏时该板两端对•应的临界拉应力，记

为5..就是说

E、/P

(2—3)

4次

久的物理意义是，当该板两端承受的均匀单向拉应力。达到山(2—3)式表示的乙时，裂纹尖端处首先发生破坏。

分析一下(2-3)式的合理性。

按照(2-3),当裂纹为理想尖裂纹时，p->O=>(Tf->0,这就是说，固体材料一旦有了理想尖裂纹，其临界拉应力就

等于零，此时板两端只要有拉应力作用，就一定有。>。，，材料就一定会发生破坏，换句话说，就是固体材料一旦有了理想尖裂

纹，它就不再具有强度了，一受力就会破坏，这个结论显然及事实不符.这种矛盾是由弹性理论的局限性造成的。弹性理论把材料

看成是无间隔的连续介质(2mm=0)，而连续介质力学则把材料看成是由无数原子成分了组成的，各原了或分了•之间都有'•定的

间隔，因此裂纹的曲率半径最小也就是等于原子间距,不可能等于零(Pmin=b。)。因此当固体材料中的裂纹为尖裂纹时，［2—3)

式中的P应取如由此得

(2—4)

乜就是说，当时，板两端对应的临界拉应力由(2-3)式确定；当夕<8时，板两端对应的临界拉应力由(2-4)

式确定。

比较•下有裂纹和无裂纹时临界应力相差多大。

无裂纹时，各点应力均匀分布，因此外界作用的拉应力增大时，各点的拉应力始终相等，当各点的拉应力同时都增大到囚时，

各点同时发生破坏。因此无裂纹时，临界应力。，由(2-2)式得到：而有裂纹时临界应力。，由(2-4)式得到。如果取宏观裂

纹的尺口为2。=5000%,则两者之比为

%的提级为10'°ni,因此2天5000%=5x101m,而2n则表示裂纹的长度，这就是说，只要薄板上有一个长为

1。］~1。6〃?的理想尖裂纹，其临界应力就会降低io。倍。

由此可见：裂纹将会引起强烈的应力集中，从而使材料的临界应力远远低于其理论断裂强度.

由（2-4）式还可以看出，当“达到时，裂尖处发生破坏，从而使裂纹进一步扩展，裂纹长度随之增大，而占的

增大又使6,进一步降低，从而使裂纹进一步扩展，最终导致整个构件断裂。因此（2—4）式是裂纹失稔扩展的条件，称为断

裂判据

各种不同的断裂判据构成「不同的断裂理论.

§2.2断裂理论

各种不同的断裂理论都有不同的断裂判据，适用于不同的材料和工况。断裂理论主要有两大类，一类是能量粽放率断

裂理论，另一类是应力强度因子断裂理论。

一、能量释放率断裂理论

这类理论都是从能量转换及守恒的角度出发，导出相应的断裂判据。段主要的有Griffith理论，Orowan理论和能量释放率

断裂理论。下面分别加以简要介绍。

1.Griffith理论

该理论是英国学者Griffith在对玻璃、陶豌等脆性材料进行断裂分析时提出的。他用这种理论成功地解释了为什么这类材

料的实际断裂强度比预期的理论断裂强度低得多的问题。

（a：

图1-4Griffith薄平板

以长为/,宽为）厚度为r的薄平板为研究对象，在其上、下端作用均布载荷，系统处于平衡状态后，把上、下端固定，

形成能量封闭系统。设此时板内的总应变能为然后在板正中沿垂直于。的方向开一个长为2a的贯穿裂纹，并满足2部＜b,1,

因此可以视为“无限大板”。开裂后在裂纹处形成了上、下两个自由表面，而且这两个自由表面发生「相对的张开位移，在开裂过

程中，作用在这两个表面之间的拉应力及这两个表面的位移方向始终相反，因此做负功，从而使板内的应变能减少了少（就是说，

开裂后板内的应变能为Griffith经推导得出，当椭圆孔的短轴尺寸/LO时，板内应变能的减少量为

其中，A=2at,为裂纹的单侧自由表面的面枳。上、下自由表面的面积之和为24自由表面有表面能，设自由表面的表面能

密度为V，则总表面能为

T=^Ay

为研究裂纹以后的发展趋势，需要利用势能极值原理，因此首先应算出开裂后系统的总势能只在此问题中，系统的总势能

由板内应变能和自由表面的表面能两部分组成

系统的总势能=板内应变能+自由表面的表面能

开裂前系统无自由表面的表面能，因此其总势能就等于其板内的应变能U。，开裂后板内的应变能减少了//,因此其板内的

应变能为而其自由表面的表面能为7,因此开裂后系统的总势能为+7,以开裂前系统的初始状态为势能零点，

则开裂后系统的总势能少为

_._,_,Tver~X_.

P=（Uo-U+D—U\、=—U+4----------+2Ay

4E7

根据势能驻值原理，当尸取极大值时，系统处于不稳定平衡状态，所谓不稳定平衡，是指系统稍稍偏离了这一平衡状态后，

没有白格回身到这一平衡状态的趋势。只有当.。取极小值时，系统才处于稳定平衡状态。所谓稳定平衡，是指系统稍梢偏离了这一

平衡状态后，有自动回第到这一平衡状态的趋势。由高数知识可知，总势能户取极大值的条件为

将产代入上面的两个式子，可得

•.•万、£力和。2都大于o,.•.一三一＜0,/＜0总是成立的。而更则有三种可能：大于零、等于零或小于零。，

2EAcA2dA

由势能驻值原理可知，当系统的势能取极小时，系统最稳定。因此，如果某种变化能使系统的势能变小，这种变化就能继续发展下

去，直至势能取极小为止：反之，如果某种变化能使系统的势能增大，这种变化就不能维续发展下去，此时系统处于静止状态。据

IPcP

此可知，当一＜0时，随着裂纹面积的增大，系统的总势能变小，因此此时裂纹失程扩展，直至断裂：当一＞0时，随着裂纹面

dAdA

dP

积的增大，系统的总势能增大，因此此时系统处r静止状态，裂纹不扩展；当一=o时，总势能尸取极大值，裂纹处于不稳定平

6A

衡状态。即

=0=二①=27不稳定平衡

2Et

OP7io2A.＜0=巴工＜27裂纹失稳扩展直至断裂

—=---------+2y\〜断裂判据（2-6）

dA2Et2Et

＞0=。＞27静止，裂纹不扩展

2Et

下面我们分析一下上式的物理意义。

ncr2AdU

------=—〜裂纹扩展单位面积时系统释放的应变能;

2EtdA

27=’（2",，）一形成单位面积的贯穿裂纹时所需的表面能:

dA

因此上式的物理意义是:

」裂纹扩展单位面积时系统样放的应变能恰好等于形成单.位自由表面时所需的表面能时，系统处于不超定平衡状态：.当裂纹

扩展单位面积时系统释放的应变能大于形成单位自由表面时所需的表面能时，系统失色，裂纹不断扩展，直至断裂；当裂纹扩展单

位而积时系统糕放的应变能小于形成单位自由表面时所需的表面能时，系统处于静止状态，裂纹不犷展。所以（2-6）式的第一式

是从能量的角度得出的断裂判据。

医乙，给定板两端的应力。，由（2-6）

给定裂纹长度a，由（2-6）式的第一式可得，此时对应的临界应力为cr=

crca

式的第一式可得，此时对应的裂纹临界尺寸为--2E—y，将（2—6）式的第一式及这两个式子写在一起，就得到了Griffith

断裂判据

至4=2/〜系统释放应变能的临用直

2Et

々=、匡〜给定裂纹长肠时对应的临界应力

(2—7)

V7UI

4=出~给定应力同寸对应的裂纹临界尺寸

71U~

卜面对Griffith断裂判据作几点说明

（1）Griffith断裂判据的物理意义

第•式表示：当裂纹扩展单位面积时系统释放的应变能恰好等于形成单位自由表面时所需的表面能时，裂纹处于不稳定平衡

状态：当裂纹扩展单位面积时系统祥放的应变能大于形成单位自由表面时所需的表面能时，裂纹失稳犷展而断裂：当裂纹扩展单位

面积时系统释放的应变能小于形成单位自由表面时所需的表面能时，裂纹处于静止状态，不扩展。

第二式表示：当裂纹长度a给定时，如果板两端的应力a>ac，裂纹就会失稳扩展而断裂：如果。<。「裂纹处于静

止状态，不会扩展：如果裂纹处于不稳定平衡状态。

第三式表示：当板两端的应力。给定时，如果裂纹氏度裂纹将处于静止状态，不会发展：如果a>a.，裂纹就会失

稳扩展而断裂：如果a=&,裂纹处于不稳定平衙状态。

(2)这几个公式是由薄板导出的，对应平面应力状态，在公式中用一^^代替£,就得到平面应变状态下的Griffith断

1-A2

裂判据。

(3)该理论仅适用于完全脆性材料

Griffith判据(2-7)式中的临界应力是在理想尖裂纹的前提卜.推导出来的，而(2-4)式表示的是「2%时的临界应力，

因此两者表示的是同一个量。在一定的范围内这两个公式算得的临界应力应该是相等的。此时应有

因此，当裂纹尖端的曲率半径满足

8

0WpW—b。(2—8)

兀

时，(2-4)式和(2-7)式算得的临界应力近似相等，此时用Griffith理论和得的临界应力是比较准确的：当裂纹尖端的

曲率半化超出这个范围时，用(2-4)式算得的临界应力较准确，因为前而讲过，当22%时，用(2-4)党临界应力就是比较

准确的，而此时用(2-7)式兑得的临界应力及用(2-4)式算得的临界应力差得较大，此时Griffith理论已失效。因此，把满

足(2-8)式的裂纹称为Griffith裂纹。

Griffith理论仅适用于完全脆性材料，而实际上绝大多数金属材料断裂前和断裂过程中裂尖处存在塑性区域，裂尖也会因型

性变形而钝化，此时Griffith理论失效，因此Griffith理论的适用范围是很窄的.

为了克股Griffith理论的局限性，Orowan对Griffith理论进行了修正，提出了Orowan理论

2.Orowan理论

Orovan在研究金属材料裂纹扩展过程时，提出塑性区”的概念，认为裂纹扩展前在其尖端附近要产生下一个塑性区，因

此裂纹扩展时，不仅需要为其提供形成新表面所需的表面能，而且需要为其提供四性变形所需的能量，也就是塑性功。因此，测性

功有阻止裂纹扩展的作用。

还是以刚才那块开裂纹的薄板为研究对象，设裂纹扩展单位面积时，内力对塑性变形所做的塑性功为叫塑性功率，于是

裂纹面积为A时的总理性功为

A=2AT

仍以开裂前系统的势能为势能零点，则开裂后系统的势能为

P=—

对于金属材料，通常/'比Y大三个数量级，因此上面的三个式子变成了

7Uy2A

4日

Orowan断裂判据(2-9)

2ET

第一式表明：当g组=一，即裂纹扩展单位面积糅放的应变能恰好等于内力对塑性变形所做的塑性功时，裂纹处于不稳定

4EI

平衡状态：当时，裂蚊就会失稳扩展而断裂：当时，裂纹就不会扩展(处于静止状态)。

4Et4Et

第二式表明：当裂纹长度a给定时，如果板两端的应力。=%，则裂纹将处于不稳定平衡状态；如果o>(yc,裂纹就

会失稔扩展而断裂；如果a<(yc,裂纹就不会扩展(处于睁止状态)。

第三式表明，当板两端的应力。给定时，如果裂纹长度"=生■，则裂纹将处F不稳定平衡状态；如果Clc,裂纹就会失

稳扩展而断裂：如果aV〃c，裂纹就不会扩展(处「睁止状态)。

以上三个断裂判据是等效的。

几点说明：

1.Orowan理论是Griffith理论的修正.可用于金属:

E

2.这几个公式是由薄板导出的，对应平面应力状态，在公式中用---7代替£,就得到平面应变状态下的Orowan断裂判据.

1-〃

下面我们从更广义的功能转换关系出发，来研究裂纹扩展过程。由此可以得到

3.能量释放率断裂判据

设一个裂纹的面积为人在裂纹面枳扩展r办的过程中，载荷所做的功为相；体系的弹性应变能增加r或；塑性功增加「

dA,裂纹表面能增加了加、dA和“都属于系统的内能，第•项是弹性应变能，属于保守内能，后两项屈于耗散内能。假定

这个过程是准静态绝热过程，也就是说不考虑热功转换，则根据能量:转换及守恒定律，体系内能的增加应等于外力功，因此有

dU+dA+dT=dV

其中，d%d/1是裂纹面积扩展必需要消耗的能量，也就是阻止裂纹扩展的能量。因此要使裂纹扩展，系统必须提供能量。

设裂纹面积扩展向时弹性系统释放出的能量为一MI,这部分能量转化为体系的耗散内能增量。因此，外力做功MT可以转化为两

部分；一部分是体系的弹性应变能增量或。另一部分是体系的耗散内能增量一小，因此有

耗散内能增量+弹性应变能增量=外力功

即

一m+du=洲

日此得

-</n=dW-dU(2—10)

定义裂纹扩展单位面积时弹性系统释放的能量叫裂纹扩展能量释放率，记为。由(2-10)式得

「andwau

(2—11)

dAdAdA

定义裂纹扩展单位面枳时需要消耗的能也为裂纹扩展阻力率，记为斤或G,,裂纹扩展出时需要消耗的能成为其表面能增

量”和塑性功增量d/l之和，因此，裂纹扩展单位面积时需要消耗的能量为

对产一定的材料而言，裂纹扩展单位面积需要消耗的塑性功纱和表面能g都是材料常数，仅及材料本身的性质有关，

dAdA

而及外载情况和裂纹几何形状无关。因此，尸或G,也仅及材料本身的性质有关，而及外载情况和裂纹几何形状无关。是一个反映

材料抵抗断裂破坏能力的常数，称为材料的断裂韧度，可以由材料实验来测定.

”裂纹扩展能量释放率增大到等于裂纹?T展阻力率时，裂纹将失去平衡,开始失稳扩展。由此得

G=G：能量释放率断裂判据(2-12)

。和G,的国际单位为N•〃7”，其工程单位为kg-.

二、应力强度因子断裂理论

构件的断裂起源于裂纹，而裂纹在外界因素作用下处于静止或平衡或发展，都及裂纹尖端附近的应力场有直接关系。Irwin

通过裂纹尖端附近应力场的研究，提出了•个新的参成、应力强度因子，并建立了相应的应力强度因子断裂判据，这一判据在工程

上得到了广泛的应用。那么，应力强度因子断裂判据是怎样建立的呢？

我们研究局限于裂纹尖端附近区域的应力场和位移场。坐标原点取在裂纹尖端，八〃为极坐标。运用线弹性理论和复变函

数理论可以求得裂纹尖端附近任意一点4（八"）处的应力分量和位移分量为

图1一5裂尖附近应力场

a-「0.30)

sin—sin——

x怎22J

0l.sin^sin^

I型裂纹:(2—13)

222r+。，）

.03。

\.v=—f=^=sin—cos—

◎后22

COS-(1-，)+(1+，即220

4。+/)22

+。⑺(2—14)

K1.0

A八3e

sin—2-(1+v)cos--

4(1+/)2

II型裂纹:

2+c』os%

J2加2122

dsin纥。s纥捷

(2—15)

12用。2122

01-sinEinV

cos—

yjlm'222

(1+〃)。sing—#,，0

E22

(2—16)

(1+4)。cos^

v—-K+l+2sin2—

E212)

(2—18)

其中，眉、扁和扁分别叫I、II、III型裂纹的应力强度因子。它们反映了I、1【、in型裂纹尖端应力场的强弱程度。是

及外载性质、裂纹和裂纹弹性体几何形状等因素有关的一个量。写成通式就是:

式中的a、£和y分别是I、II、ID型裂纹的几何形状因子，。为拉应力，T和却分别为面内剪应力和面外回应力。

相应的应力强度囚于断裂判据为

K]=K[C（2—19）

K[i=K[[c（2—20）

Kjn=Km,（2—21）

其中的K"、Ku©/口Kmc分别是船、A；和风的临界值，它是材料常数，称为材料的断裂韧度，通过实验测定。这就

象材料力学中，应力。是构件载荷和构件的形状尺寸的函数，而屈服极限。，是由实验测定的材料常数•样"

第三章裂蚊尖端区域的应力场和应力强度因子

裂纹所处的状态可分为三种：岸止状态、不稳定平衡状态和失稳扩展状态。裂坟究竟处于哪种状态，及裂纹尖端附近的应力

场有直接关系。Irwin（爱尔文）通过对裂纹尖端附近应力场的研究，提出了一个新的参量~应力强度因子，并建立了相应的断裂

判据，在工程上得到了广江的应用。

下面用巨变函数的方法推导裂纹尖端附近的应力场及位移场，由此导出应力强度因子的概念。

§3.1I型裂纹尖端区域的应力场及位移场

1.Westergaard（韦斯特哥镌）应力函数

Wcstergaard应力函数是用来求解[型裂纹尖端附近区域的应力场及位移场的。

根据弹性力学理论，对于平面应力问题，只需找出同时满足双调合方程和这个问题的边界条件的应力函数，就可以把应力函

数代入下面的公式求解应力

d2（p

%=一丽

a?a?

清足调和方程▽:9二。的函数。（X,），）叫调和函数。其中，\72=+称为拉普拉斯算子。

ox'cy

涧足双调和方程VV=V2VV=0的函数e（x,），）叫双调和函数。

显然，调和函数必然是双调和函数。

应力函数确定后，先利用（2-1）求出外应力分量，然后将各应力分量代入广义虎克定律，可求得裂尖附近的应变分量

E

E

平面应力状态时:£=（3-2）

平面应变状态吐E'=E/（l-.J）,”=〃/（「〃）

其中，£为杨氏模量，〃为泊松比。

将应变分量代入卜面的几何方程后积分，就可以得到裂尖附近的位移场

ducvdudv

(3—3)

因此，问题的关键就是找出同时满足边界条件和双调和方程的应力函数夕（工,y）。

复变解析函数的实部和虚部都是调和函数，而调和函数的线性组合必然也是调和函数，因此也必然是双调和函数.因此可以

利用且变解析函数的实部和虚部（不一定非得是同一个旦变解析函数的实部和虚部〉线性组合得到双调和函数，并使这个双调和函

数满足所研究的问题的边界条件。就是我们要找的应力函数。而更变解析函数的任意次积分也必然是复变解析函数，因此，

Westergaard选取了某一个巨变解析函数Z1（Z）的一次积分和二次积分的线性组合，作为应力函数，用来求解I型裂纹尖端附近区

域的应力场和位移场。

研究如图3—1所示的“无限大”板，板上有一个长为2a的中心贯穿裂纹，这个板在无限远处受双向等值拉伸应力的作用。

属于I型裂纹问题，Neslergaard所选的应力函数为

图3—1

①i=&Z（z）+W,“Z（z）(3-4)

其中，Z（z）=jZ[（z）dz〜4（z）的一次积分；

Z,（z）=JZ]（z）dz〜Z[（z）的二次枳分。

把（3—4）式代入（3—1）、（3—2）和（3—3）式。

vZ[(z)=R,Z|(z)+i/1nzi(z),d万dx+idy、

z(z)=JZ](z)dz=(z)+(z)](dx+idy)

(3—5)

=\[R.Z,(zg—/,Z(z)dy]+ij[I,nZ{(z)dx+R.Z(z)dy]

同理，将上式中的Z[（z）换成Z（z），将Z（z）换成Z（z）,可得

Zl(z)=jzi(z)dz=JfReZ}(z)-iIinZi(z)](dx+idy)

(3-6)

⑵公

=JmNi(zM)1+/f(z)dx+R.z[(Z)dy]

同理，将上式中的Z(z)换成Zj(z),将Z](z)换成Z；(z),可得

Z,(z)=JZ；(z)dz=J[(Z；(z)+〃〃Z]z)]@+id)，)

(3-7)

=J[R,Z⑵公-/”Z(zWy]+/j",Z(zm+RZ(z)dy]

因此有

类似可得

将以上各式代入（3-1）,可得

q=-rr-=RZi(z)+yIZ[(z)(3—8)

dxm

rRzz

rY=-^-=-ye^)

dxoy

将(3-8)代入(3-2)式，可得

卜,=卷(%一"%)=卷[(1一/)RZ(z)_y(l+〃)/,Z(z)]

(3—9)

j=3(4-"?)=!贝-")RZ(z)+XI+X)/wZ；(z)]

[EE

将(3-9)代入(3-3)式，并积分，得

〃二工KI一〃')R,Z(2)-.y(l+(z)]

E

(3—10)

y=』[2/“Z(z)—ya+")R,4(2)]

因此，找到解析函数Z1(z),就可以得到Westergaard应力函数，于是裂纹尖端处的应力场和位移场就可以由公式[3—8)

和(3-10)求得。因此何题的关键是找一个具体的解析函数Z[(z),代入(3-«)式，所得到的应力分量及能满足图3-1所示

问题的全部边界条件

2.解析函数Z](z)的确定

籽”坐标系取在裂纹面上，坐标原点取在裂纹中心，则图3—1所示问题的边界条件为：

(1)当尸0,L8时，=(Tv=(70

(2)在尸o,JR的裂纹白由面上，(yx=0,rvv=0：而在凶＞。时，随区一＞。，00。

我们就是要利用这两个边界条件确定ZI(z)。

日(3-8)式可知，当产0时

*=by=R,Zl(z),Txy=0,且

z=x+iy=x＜＞

因为问题是关于y轴对称的，所以Z[G)中的含X项应该是平方项：又因为Xfa时，。,一＞8,所以Z[(x)的分母中

/\2

应有1——的因式。

又因为当L8时，1一(8)-H,而此时要求。X=。\=R,Z[(z)=%因此分子应该取。,

综上所述，试选

CTCT

但是这样的Z[(x)在|x|va时，ay=ReZx(x)=Re所以边界条件还不能完全满足。而

i-Hi-W

虚数的实部为0,所以应该使乙（外在|川＜a时是虚数，自然想到选平方根函数就可以达到目的。因此把上面的Z1（x）在改进

为

-j±OX—,但是本结构是对称的，所以只需要研究“20的那一半就可以

这里应注意，本来,■=-=/

y[x^77^7

了，所以取4r=笳

因此最终要我的解析函数为

7\(3—11)

将Z[(z)代入(3—8)、(3—9)和(3—10),就可以求出裂纹尖端区域的应力场、应变场和位移场。

3.I