2027届新高三数学热点突破复习 成对数据的统计分析

2027届新高三数学热点突破复习成对数据的统计分析五年高考考点1变量间的相关关系1.★★(2023天津,7,5分)鸢是鹰科的一种鸟,《诗经·大雅·旱麓》曰“鸢飞戾天,鱼跃于

渊”.鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名(图1),寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样,收

集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度(单位:cm),绘制对应散点图(图2).计算得样本相关系数为0.8642,利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为

=0.7501x

+0.6105.根据以上信息,如下判断正确的为

()A.花萼长度与花瓣长度不存在相关关系B.花萼长度与花瓣长度负相关C.花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值约为5.8612cmD.若选取其他品种鸢尾花进行抽样,所得花萼长度与花瓣长度的样本相关系数一定为

0.8642

C

解析题图2中的散点大致落在一条从左下角到右上角的直线附近,这说明成对样本数

据之间存在正相关关系,故A、B错误;把x=7代入经验回归方程

=0.7501x+0.6105,得

=5.8612,故C正确;由于样本发生变化,所以样本相关系数不一定相同,故D错误.2.★★(2024天津,3,5分)下列散点图中,样本相关性系数最大的是

()

A

解析观察各选项可知,A选项图中散点分布比较集中,且大体接近一条直线,呈现明显

的正相关,线性回归模型的拟合效果比较好,|r|相比于其他三个选项的图更接近1.故

选A.3.★★(跨学科·生物)(2020课标Ⅰ,文5,理5,5分)某校一个课外学习小组为研究某作

物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实

验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图:由此散点图,在10℃至40℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是

()A.y=a+bx

B.y=a+bx2C.y=a+bex

D.y=a+blnx

D

解析由散点图可知,发芽率随温度增长的速度越来越慢,符合对数曲线增长的变化规

律,故选D.4.★★★(2025上海,17,14分)2024年东京奥运会,中国获得了男子4×100米混合泳接力金

牌.以下是历届奥运会男子4×100米混合泳接力项目冠军成绩记录(单位:秒),数据按照

升序排列:206.78,207.46,207.95,209.34,209.35,210.68,213.73,214.84,216.93,216.93.(1)求这组数据的极差与中位数;(2)从这10个数据中任选3个,求恰有2个数据在211以上的概率;(3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为

=-0.311x+

,年份x的平均数为2006,预测2028年冠军队的成绩(精确到0.01秒).解析

(1)由题意,数据的最大值为216.93,最小值为206.78,则极差为216.93-206.78=10.15;数据中间两数为209.35与210.68,则中位数为

=210.015.故极差为10.15,中位数为210.015.(2)由题意,数据共10个,211以上数据有4个,设事件A=“恰有2个数据在211以上”,则P(A)=

=

,故恰有2个数据在211以上的概率为

.(3)由题意,成绩的平均数为

×(206.78+207.46+207.95+209.34+209.35+210.68+213.73+214.84+216.93+216.93)=211.399,由直线

=-0.311x+

过点(2006,211.399),得

=211.399+0.311×2006=835.265,故回归直线方程为

=-0.311x+835.265.当x=2028时,y=-0.311×2028+835.265=204.557≈204.56.故预测2028年冠军队的成绩为204.56秒.5.★★★(2022全国乙理,19,12分)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青

山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横

截面积(单位:m2)和材积量(单位:m3),得到如下数据:样本号i123456根部横截面积xi材积量yi0.040.250.060.400.040.220.080.540.080.510.050.34样本号i78910总和根部横截面积xi材积量yi0.050.360.070.460.070.420.060.400.63.9并计算得

=0.038,

=1.6158,

xiyi=0.2474.(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01);(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面

积总和为186m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出

该林区这种树木的总材积量的估计值.附:相关系数r=

,

≈1.377.解析

(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为

=

=0.06(m2),平均一棵的材积量为

=

=0.39(m3).(2)样本相关系数r=

=

=

=

=

≈

≈0.97.【计算r=

时,需要将分子、分母稍加变换,采用题设中给出的数据求解】即该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数约为0.97.(3)设这种树木的根部横截总面积为Xm2,总材积量为Ym3,则

=

,则Y=

=

=1209,所以该林区这种树木的总材积量的估计值为1209m3.三年模拟1.★(2025届福建龙岩一中开学考,1)在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,

xn不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y=

x+1上,则这组样本数据的相关系数为

()A.-1

B.0

C.

D.1

D

解析由题设知,所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y=

x+1上,∴这组样本数据完全正相关,因此其相关系数为1,故选D.2.★★(2026届广东毕业班第一次调研,3)已知样本点数据(xi,yi)(i=1,2,3,4,5)大致呈线性

分布,且yi≤yi+1,其经验回归方程为

=2x-

,若y3=5,y5=8,数据yi的80%分位数为7,则当i=4时,随机误差的残差为

()A.-0.5

B.0.5

C.-1.5

D.1.5

B

解析将yi从小到大排列,80%×5=4,所以

=7⇒y4=6,预测值为

=5.5,所以残差为观测值-预测值

=6-5.5=0.5,故选B.3.★★(2026届湖南部分学校大联考,4)为了研究y关于x的线性相关关系,收集了5组样本

数据(见下表).若已求得一元线性回归方程

=

x+0.34,则下列选项中正确的是

(

)

Ax12345y0.50.911.11.5A.

=0.22B.x与y呈现负相关C.当x=8时,y的预估值为2.2D.去掉样本点(3,1)后,x与y的样本相关系数r必会改变解析

=

=3,

=

=1,则样本点的中心为(3,1).对于A,由3

+0.34=1,得

=0.22,因此A正确;对于B,由

>0,得x与y呈现正相关,因此B错误;对于C,当x=8时,y的预估值为

=0.22×8+0.34=2.1,因此C错误;对于D,因为(3,1)是样本点的中心,由相关系数公式知,去掉该点后,x与y的样本相关系数

r不会改变,因此D错误.故选A.4.★★(2026届浙江Z20第一次联考,2)将收集到的6对样本数据(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)制作

成如图所示的散点图(点旁数据为该点坐标),由最小二乘法计算得回归直线l1的方程:

=

x+

,相关系数为r1,决定系数为

.残差分析后确定点E对应残差过大,把它去掉后,再用剩下的5对样本数据计算得回归直线l2的方程:

=

x+

,相关系数为r2,决定系数为

.则以下结论中,不正确的是()

D

A.r1>0,r2>0

B.

>0,

>0C.

>

D.

>

解析从散点图可以看出,两个变量是正相关,因此A正确;从散点图可以看出,回归直线的斜率是正数,且l1的斜率大于l2的斜率,因此B和C正确;从散点图可以看出,去掉“离群点”E后,相关性更强,拟合的效果更好,又R2值越大,模型

的拟合效果越好,所以

<

,因此D错误.故选D.5.★★★(多选)(2026届湖南衡阳八中期中,10)根据变量Y和x的成对样本数据,由一元线

性回归模型

得到线性回归模型

=

x+

,对应的残差如图所示,则残差模型

(

)

BD

A.满足回归模型E(e)=0的假设B.不满足回归模型E(e)=0的假设C.满足回归模型D(e)=σ2的假设D.不满足回归模型D(e)=σ2的假设解析根据一元线性回归模型

中对随机误差e的假定,残差散点图中散点应是比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域

内,而由题图中残差图可知残差与观测变量x有线性关系,因此残差模型不满足回归模型E(e)=0的假设,不满足回归模型D(e)=σ2的假设.故选BD.6.★★★(多选)(2025届广东广州摸底,9)中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路

联通、贸易畅通的重要举措.在中欧班列带动下,某外贸企业出口额逐年提升,以下为该

企业近6个月的出口额情况统计,若已求得y关于x的经验回归方程为

=28x+

,则

(

)AD

月份编号x123456出口额y/万元16254377102159A.y与x正相关B.样本数据y的第40百分位数为34C.当x=3时,残差的绝对值最小D.用模型y=enx+m描述y与x的关系更合适解析对于A,当x的值增加时,相应y的值也呈现增加的趋势,得出y与x正相关,因此A正

确;对于B,样本数据y的6个取值从小到大依次是16,25,43,77,102,159,由6×40%=2.4,得第40

百分位数为第3个数据43,因此B错误;对于C,

=

=

,

=

=

,将(

,

)代入

=28x+

,得

=28×

+

,解得

=-

,所以

=28x-

,所以当x=3时,相应残差的绝对值为

=

,当x=2时,相应残差的绝对值为

=

<

,因此C错误;对于D,根据题意作出散点图,如图,

由图可知用模型y=enx+m描述y与x的关系更合适,因此D正确.故选AD.7.★★★(2026届福建莆田一中月考,13)若变量x和y的4对观测数据为(-2,-10),(-1,-5),(1,

4),(2,11),两个变量满足一元线性回归模型

(随机误差ei=yi-bxi),则参数b的最小二乘估计值为___________.

5.1

解析依题意,两个变量满足一元线性回归模型

随机误差ei=yi-bxi,则随机误差平方和Q=(-10+2b)2+(-5+b)2+(4-b)2+(11-2b)2=(100-40b+4b2)+(25-10b+b2)+(16-8b+b2)+(121-44b+4b2)=10b2-102b+262,易知Q是关于b的二次函数,当b=-

=

=5.1时,随机误差平方和Q取得最小值,因此参数b的最小二乘估计值为5.1.8.★★★(2026届广东广州阶段测试,15)经验表明,一般树的胸径(树的主干在地面以上

1.3m处的直径)越大,树就越高.由于测量树高比测量胸径困难,因此研究人员希望由胸

径预测树高.在研究树高与胸径之间的关系时,某林场收集了某种树的一些数据,并根据

数据作出散点图(如图).经计算得

xi=348,

yi=264,

xiyi=7793,

=24,

=6.(1)推断两个变量是否线性相关,计算样本相关系数r(精确到0.01),并推断它们的相关程

度;(2)试根据以上数据建立树高关于胸径的经验回归方程(系数精确到0.01),并预测胸径

为45cm的树高.附:相关系数r=

,回归方程

=

x+

中,

=

,

=

-

.解析

(1)根据树高与树的胸径的散点图,可判断两个变量线性相关.根据题中所给数据,得n=12,

=

=

=29,

=

=

=22.所以r=

=

=

≈0.95>0.75,由于r的值接近于1,因此线性相关性较强.故两个变量线性相关,且相关程度较强.(2)由(1)知n=12,

=29,

=22.所以

=

=

=

≈0.24,

=

-

=22-

×29≈15.10.所以经验回归方程为

=0.24x+15.10.当x=45时,

=0.24×45+15.10=25.9,即树高的预测值为25.9m.故树高关于胸径的经验回归方程为

=0.24x+15.10,预测胸径为45cm的树高为25.9m.9.★★★★(2026届重庆实验外国语学校月考,18)蝗虫能对农作物造成严重伤害,每只

蝗虫的平均产卵数y(单位:个)和平均温度x(单位:℃)有关.现收集到一只蝗虫的产卵数y

和温度x的8组观测数据,制成图1所示的散点图.现用两种模型①y=ebx+a,②y=cx2+d分别

进行拟合,由此得到相应的回归方程并进行残差分析,进一步得到图2所示的残差图.

根据收集到的数据,计算得到如下值:

(xi-

)2

(ti-

)2

(zi-

)(xi-

)

(yi-

)(ti-

)24362.964616842268850.470308表中zi=lnyi,

=

zi,ti=

,

=

ti.(1)根据残差图,比较模型①、②的拟合效果,模型______比较合适.根据所选择的模型,

利用上表中的参考数据,求出y关于x的回归方程.(2)根据以往统计,该地每年平均温度达到30℃以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害,

需要人工防治,其他情况均不需要人工防治.设该地每年平均温度达到30℃以上的概率为p(0<p<1),该地今后n(n≥3,n∈N*)年恰好需要2次人工防治的概率为f(p).①求f(p)取得最大值时对应的概率p0;②当f(p)取最大值时,设该地今后5年需要人工防治的次数为X,求X的均值和方差.附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线

=

u+

的斜率和截距的最小二乘估计分别为

=

,

=

-

.解析

(1)模型①比较合适,理由如下:模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,且带状区域的宽度比模型②带状区

域宽度窄,所以模型①的拟合效果更好,故选模型①比较合适.【思路探究:换元法解决非线性回归方程问题,在模型①y=ebx+a中,两边取自然对数:lny=

bx+a,换元:z=lny,将非线性回归模型转化为线性回归模型解决】y=ebx+a,则lny=bx+a,令z=lny,则

=

+

x,由所给的参考数据可得,

=

=

=0.3,所以

=

-

=2.9-0.3×24=-4.3,因此z关于x的经验回归方程为

=0.3x-4.3,即lny=0.3x-4.3,所以产卵数y关于温度x的回归方程为

=e0.3x-4.3.(2)①由题意得,f(p)=

p2(1-p)n-2(0<p<1,n≥3,n∈N*),【思路探究:二项分布问题直接用公式求概率,再利用导数知识求最大值】所以f'(p)=2

p(1-p)n-2-(n-2)

p2·(1-p)n-3=

p(1-p)n-3[2(1-p)-(n-2)·p]=

p(1-p)n-3(2-np),令f'(p)=0,得p=

,当p∈

时,f'(p)>0,当p∈

时,f'(p)<0,所以f(p)在

上单调递增,在

上单调递减,所以f(p)取得最大值时对应的概率p0=

(n≥3,n∈N*).②由①知,当p0=

(n≥3,n∈N*)时,f(p)取最大值,所以当n=5时,p0=

,由题意可知每年需要人工防治的概率为p=

,且X服从二项分布,即X~B

,所以E(X)=np=5×

=2,D(X)=np(1-p)=5×

×

=

.五年高考考点2独立性检验1.★★(2025全国一卷,15,13分)为研究某疾病与超声波检查结果的关系,从做过超声波

检查的人群中随机调查了1000人,得到如下列联表:超声波检查结果组别

正常不正常合计患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000(1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p,求p的估计值;(2)根据小概率值α=0.001的独立性检验,分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.附:χ2=

,

.解析

(1)由题意知超声波检查结果不正常的人数为200,患该疾病的人数为180,所以超声波检查结果不正常者患该疾病的概率的估计值p=

=0.9.(2)零假设为H0:超声波检查结果与患该疾病无关.χ2=

=765.625>10.828=x0.001,根据小概率值α=0.001的独立性检验,我们推断H0不成立,即超声波检查结果与患该疾病

有关.2.★★★(2024全国甲理,17,12分)某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后,从该

工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下:

优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150(1)填写如下列联表:

优级品非优级品甲车间

乙车间

能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?能否有99%的把握认

为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5.设

为升级改造后抽取的n件产品的优级品率,如果

>p+1.65

,则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了?

(

≈12.247)附:K2=

,解析

(1)列联表如下:

优级品非优级品甲车间2624乙车间7030K2=

=4.6875,∵3.841<4.6875<6.635,∴有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异,没有99%的把握认为

甲、乙两车间产品的优级品率存在差异.(2)由题知

=

=0.64,∵p=0.5,∴p+1.65

=0.5+1.65×

=0.5+

≈0.5+

≈0.567,∵

>p+1.65

,∴可以认为生产线智能化升级改造后,该工厂的优级品率提高了.三年模拟1.★★(创新情境)(2026届辽宁部分学校联考,15)随着我国人工智能(AI)的突破性发

展,近期许多优秀的人工智能(AI)应用软件发布并上线.这些软件凭借强大的创新功能

和极具吸引力的用户体验,在社交媒体上引发了广泛的讨论,产生了显著的社会效应.某

科技公司新开发了一款人工智能(AI)应用软件,为了测试青年人和中年人对该软件的应用体验是否良好,某机构从中青年用户中随机调查了300人,得到如下2×2列联表(单位:人):组别应用体验合计良好不良好青年用户3m+n2m-n

中年用户m+nm+2n150合计

300(1)求m,n的值;(2)补全2×2列联表,根据小概率值α=0.001的独立性检验,分析不同年龄段的用户对该软

件的应用体验是否存在差