2027届新高三数学热点突破复习　计数原理、排列与组合

2027届新高三数学热点突破复习计数原理、排列与组合五年高考考点1两个计数原理的应用1.★★(2023新课标Ⅱ,3,5分)某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分

层随机抽样方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中

部和高中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果共有

()A.

·

种

B.

·

种C.

·

种

D.

·

种

D

解析根据分层随机抽样方法,易知从初中部和高中部分别抽取40名和20名学生,根据

分步乘法计数原理,得不同的抽样结果共有

·

种.故选D.2.★★★(2023全国乙理,7,5分)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两

人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有()A.30种

B.60种

C.120种

D.240种

C

解析甲、乙两位同学选读课外读物可以分为两个步骤:先从6种课外读物中选择一本

作为甲、乙两人共同的选择,再从剩下的5本中选择互不相同的两本,所以符合题意的

选法共有

=120(种).故选C.3.★★(2023新课标Ⅰ,13,5分)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生

需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有

__________种(用数字作答).

64

解析选修2门课,体育类和艺术类各选1门,共有

·

=16种选课方案;选修3门课,分为选2门体育类、1门艺术类和选2门艺术类、1门体育类两种情况,共有

·

+

·

=48种选课方案.因此不同的选课方案共有16+48=64种.4.★★★★(创新解法)(2024新课标Ⅱ,14,5分)在下图的4×4的方格表中选4个方格,要

求每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有__________种选法.在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的4个数之和的最大值是___________.

112

24

解析第一列有4种选择,第二列有3种选择,第3列有2种选择,第4列有1种选择,∴共有4

×3×2×1=24种选法.由题图知,每一列中最下面的数最大,现将前三行中每一个数与该列最大数的差的绝对

值算出来,如表.

要想选中的4个数之和最大,差的绝对值就要最小,故选中的4个数从上到下分别为21,33,43和15,和为112,故最大值为112.三年模拟1.★(2025届湖北随州部分高中联考,8)每天从甲地到乙地的飞机有5班,高铁有10趟,动

车有6趟,公共汽车有12班.某人某天从甲地前往乙地,则其出行方案共有

()A.22种

B.33种

C.300种

D.3600种

B

解析从甲地前往乙地,出行方案共有5+10+6+12=33种.故选B.2.★★(2026届江浙皖高中(县中)发展共同体联考,3)某学校为了解学生的视力情况,用

比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,拟从高一、高二、高三三个年级共抽100名

学生,已知该校高一、高二、高三各年级分别有400名、300名、300名学生,则不同的

抽样结果种数为

()A.

B.

C.

D.

D

解析由题可知从各年级分别抽40名、30名、30名学生,不同的抽样结果种数为

,故选D.3.★★(2026届重庆巴蜀中学月考,5)某班上5名学生负责校内3个不同地段的卫生工作,

每名学生都要参与且只负责某个地段的卫生工作,每个地段至少有1名学生的分配方案

共有

()A.300种

B.90种

C.240种

D.150种

D

解析把5名学生分成3组,每组至少一人的分组方式有

+

=25种,所以分配方案有25

=150种,故选D.4.★★(2025届山东临沂第二中学适应性考试,5)某班一天上午有4节课,下午有2节课,现

要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通用技术各一节课的课表,要求

数学课排在上午,体育课排在下午,则不同的排法种数是

()A.96

B.192

C.384

D.768

B

解析由题意,要求数学课排在上午,体育课排在下午,有

=8种排法,【特殊元素优先安排】再排其余4节,有

=24种排法,根据分步乘法计数原理,知共有8×24=192种排法.故选B.5.★★★(2026届江苏南京外国语学校学情调研,8)如图,某社区为墙面A,B,C,D四个区域

进行涂色装饰,每个区域涂一种颜色,相邻区域(有公共边)不能用同一种颜色,若只有四

种颜色可供使用,则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有

()

A.12种

B.24种

C.48种

D.84种

C

解析由条件可知,可以分成只有A和D颜色相同,或只有B和C颜色相同,若只有A和D颜色相同,则有

=24种方法,若只有B和C颜色相同,也有24种方法,所以一共有24×2=48种方法.故选C.6.★★(2025届河北秦皇岛三模,12)安排4位顾客去A,B,C三家餐馆就餐,其中一位顾客由

于饮食特殊性,只能安排在A餐馆,则不同的安排方案共有__________种.

27

解析由题意可知,其中一位顾客由于饮食特殊性,只能安排在A餐馆,则剩下3位顾客

每人就餐餐馆都有3种安排方案,故不同的安排方案共有33=27种.7.★★★(2025届浙江嘉兴桐乡二模,13)将6个相同的球放入编号为1,2,3的3个盒子中,

要求每个盒子至少放1个球,且编号为1的盒子中球数不超过2个,则不同的放法种数为

_________.(用数字作答)

7

解析

解法一若编号为1的盒子中球数为1,则编号为2的盒子中的球数可以为1,2,3,4,

有4种情况;若编号为1的盒子中球数为2,则编号为2的盒子中的球数可以为1,2,3,有3种情况,综上所述,不同的放法种数为4+3=7.解法二隔板法若编号为1的盒子中球数为1,则余下5个相同小球中间形成4个空,只

需将隔板放入其中之一即可,故有

种情况;若编号为1的盒子中球数为2,则余下4个相同小球中间形成3个空,只需将隔板放入其中

之一即可,故有

种情况.综上所述,不同的放法种数为4+3=7.五年高考考点2排列组合问题1.★★(2022新高考Ⅱ,5,5分)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲

不站在两端,丙和丁相邻,则不同的排列方式共有()A.12种

B.24种

C.36种

D.48种

B

解析丙和丁相邻共有

·

种站法,甲站在两端且丙和丁相邻共有

·

·

种站法,所以甲不站在两端且丙和丁相邻共有

·

-

·

·

=24种站法,故选B.2.★★★(2023全国甲理,9,5分)现有5名志愿者报名参加公益活动,在某一星期的星期

六、星期日两天,每天从这5人中安排2人参加公益活动,则恰有1人在这两天都参加的

不同安排方式共有()A.120种

B.60种

C.30种

D.20种

B

解析先从5人中选出1人两天都参加,有

种选择,然后从其余4人中选2人分别安排在周六和周日,有

种方式,所以恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有

=60种,故选B.3.★★★(2021全国乙理,6,5分)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、

冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志

愿者,则不同的分配方案共有

()A.60种

B.120种

C.240种

D.480种

C

解析先将5人分为4组,其中一组有2人,另外三组各1人,共有

=10种分法,然后将4个项目全排列,共有

=24种排法,根据分步乘法计数原理得到不同的分配方案共有

·

=240种,故选C.易错警示本题容易出现将5人分为4组,共有分法

·

·

=60种的错误结果.4.★★(2020课标Ⅱ理,14,5分)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去

1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有__________种.

36

解析从4名同学中先安排2名同学为一组,有

=6种选法,剩余2名同学各自一组,将3组同学分配到3个小区,有

=6种分法,根据分步乘法计数原理,可得不同的安排方法有6×6=36种.5.★★★(2025上海,9,5分)4个家长和2个儿童去爬山.6个人需要排成一条队列,要求队

列的头和尾均是家长,则不同的排列个数有___________种.

288

解析先选两位家长排在首尾有

=12种排法;再排队中的四人有

=24种排法,故有12×24=288种排法.6.★★★★(2024上海,10,5分)设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数,且元素

中任意两者之积皆为偶数,则集合中元素个数的最大值为___________.

329

解析由题意知集合中元素至多只有1个奇数,其余均是偶数.先讨论三位数中的偶数个数,①当个位为0时,百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列,则这样的偶数有

=72个;②当个位不为0时,个位有

个数字可选,百位有

个数字可选,十位有

个数字可选,根据分步乘法计数原理知这样的偶数共有

=256个,最后加上单独的1个奇数,所以集合中元素个数的最大值为72+256+1=329.三年模拟1.★(2025届山东菏泽二模,3)某班班会从甲、乙等6名学生中选3名学生发言,要求甲、

乙两名学生至少有一人参加,那么不同的选法为

()A.32

B.20

C.16

D.10

C

解析从6名学生中任选3名同学共有

=20种方法,这3名学生中没有甲、乙的选法共有

=4种,所以甲、乙至少有一人参加的不同选法有20-4=16种.故选C.2.★★(2026届福建三明一中月考,6)甲、乙、丙三人各自计划暑假去重庆旅游,他们都

从武隆天生三桥、长江索道、重庆动物园、白帝城这4个景区中任选一个,若甲不去重

庆动物园,且甲、乙、丙三人去的景区互不相同,则这三人的不同选择方法共有

(

)A.24种

B.18种

C.12种

D.6种

B解析因为甲不去重庆动物园,所以甲有三种不同的去处,又因为甲、乙、丙三人去的景区互不相同,所以这三人的不同选择方法共有3

=3×3×2=18种,故选B.3.★★(2026届江苏泰州中学月考,5)将4本不同的书分给3名学生,每人至少一本,则不同

的分配方法数为

()A.24

B.36

C.64

D.72

B

解析把4本不同的书分成1,1,2三组,则有

=6种分组方法,将分好的三组全排列,对应3个学生,有

=6种情况,则有6×6=36种不同的分配方法.故选B.4.★★★(2026届浙江学军中学练习,6)公元五世纪,数学家祖冲之估计圆周率π的值的

范围是3.1415926<π<3.1415927,为纪念祖冲之在圆周率上的成就,把3.1415926称为

“祖率”,这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”,让同学们

把小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6进行随机排列,整数部分3不变,那么可以得到大于3.14的不同数字有

()A.2280个

B.2120个

C.1440个

D.7206个

A

解析由于1,4,1,5,9,2,6这7个数字中有2个相同的数字1,故进行随机排列,可以得到的

不同情况有

种,而只有小数点后两位为11或12时,排列后得到的数字不大于3.14,故不大于3.14的不同情况有2

种,故得到的数字大于3.14的不同情况有

-2

=2280种.5.★★★(2025届安徽六安一中三模,6)六安市旅游资源非常丰富,夏季到景点漂流是很

多家庭的最佳避暑选择.某家庭共6个人,包括4个大人,2个小孩,计划去霍山漂流.景点现

有3只不同的船只可供他们选择使用,每船最多可乘3人,为了安全起见,小孩必须要大人

陪同,则不同的乘船方式共有

()A.348种

B.288种

C.360种

D.60种

A

解析①若6人乘坐3只船:先将4个大人分成2,1,1三组,有

=6【部分均分:

=

=6】种方法,然后将三组分到3只船有

=6种方法,再将两个小孩安排到3只船上有3×3-1=8种方法,【减去2个小孩与2个大人同乘的情况】所以共有6×6×8=288种方法.②若6人乘坐2只船:共有

×

=60种方法【整体均分,再分配】.综上,共有288+60=348种方法.故选A.6.★★(2026届河南郑州外国语学校调研,12)已知某射箭场馆共需要6名志愿者,其中3

名会说韩语,3名会说日语.目前可供选择的志愿者中有4人只会韩语,5人只会日语,另外

还有1人既会韩语又会日语,则不同的选人方案共有___________种.(用数字作答)

140

解析若从只会韩语的4人中选3人,则不