2027届新高三数学热点突破复习：抛物线

2027届新高三数学热点突破复习抛物线五年高考考点1抛物线的定义和标准方程1.★(2023北京,6,4分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3的距离

为5,则|MF|=

()A.7

B.6

C.5

D.4

D

解析由抛物线C:y2=8x知F(2,0),准线方程为x=-2,由M到直线x=-3的距离为5,知M到直

线x=-2的距离为4.由抛物线定义可知|MF|=4.2.★★(2021新高考Ⅱ,3,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为

,则p=()A.1

B.2

C.2

D.4

B

解析抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标是

,由点

到直线x-y+1=0的距离为

,可得

=

,即

=2,解得p=2或p=-6,又∵p>0,∴p=2.故选B.3.★★(2022全国乙理,5,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=

()A.2

B.2

C.3

D.3

B

解析设A(xA,yA),依题意可得F(1,0),由B(3,0)得|BF|=2=|AF|=xA+1,所以xA=1,根据抛物线

的对称性,不妨设点A在x轴上方,把xA=1代入y2=4x,得yA=2,所以A(1,2),所以|AB|=

=2

.故选B.4.★★★(2025全国二卷,6,5分)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在C上,过A作C的

准线的垂线,垂足为B.若直线BF的方程为y=-2x+2,则|AF|=

()A.3

B.4

C.5

D.6

C

解析如图所示,在y=-2x+2中,令y=0,得x=1,∴F(1,0),∴抛物线的方程为y2=4x,准线方程

为x=-1,当x=-1时,y=4,∴B(-1,4),∴yA=4,则xA=4,∴|AF|=|AB|=4-(-1)=5(或|AF|=

=5).

5.★(2025北京,11,5分)已知抛物线y2=2px(p>0)的顶点到焦点的距离为3,则p=_________.

6

解析由题意得

=3,所以p=6.三年模拟1.★(2026届福建百校联考,5)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,点M在C上,且|MF|=4,则点M

到y轴的距离为

()A.3

B.3

C.4

D.5

A

解析因为F为抛物线C:y2=4x的焦点,所以F(1,0),设M(a,b),因为|MF|=4=a+1,则a=3,故M

到y轴的距离为3.故选A.2.★(2026届江苏如皋中学阶段测试,4)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的顶点为O,经过点A(x0,2),且F为抛物线C的焦点,若|AF|=3|OF|,则p=

()A.

B.1

C.

D.2

C

解析因为点A(x0,2)在抛物线上,|AF|=3|OF|,所以x0+

=

,解得x0=p,因此A(p,2),所以4=2p2,又p>0,所以p=

.故选C.3.★(2026届河北保定部分高中开学考,4)已知A(m,2),B(m+3,4)是抛物线y2=2px(p>0)上

两点,则p=

()A.1

B.2

C.4

D.8

B

解析由A(m,2),B(m+3,4)在抛物线y2=2px(p>0)上,可得

解得

故选B.4.★(2025届江苏南通名校联盟模拟,2)已知点P在抛物线x2=-5y上,且A(0,-3),则|PA|的最

小值为()A.

B.

C.

D.

D

解析设P(x,y),则x2=-5y,且|PA|2=x2+(y+3)2=y2+y+9=

+

,又因为y≤0,所以当y=-

时,|PA|2有最小值

,所以|PA|的最小值为

.故选D.5.★★(2026届广西新高考适应性测试,6)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点A在C上,

过A作C的准线的垂线,垂足为B,若直线BF的方程为y=x+1,则|AF|=

()A.1

B.2

C.3

D.4

B

解析对于lBF:y=x+1,令x=0,则y=1,所以F(0,1),得p=2,即抛物线C:x2=4y,故抛物线的准线

方程为y=-1,故B(-2,-1),则xA=-2,代入x2=4y得yA=1.所以|AF|=|AB|=2.故选B.6.★★(2025届河北定州中学开学考,6)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,点B(3,0),C

上一点A到l的距离等于|AB|,则△AFB的面积为

()A.2

B.2

C.3

D.3

B

解析过A作AD⊥l于D,如图,由题意得,F(1,0),|AD|=|AF|=|AB|,即点A在线段FB的垂直平

分线上,

所以点A的横坐标为2,不妨设点A在x轴上方,将x=2代入y2=4x,得A(2,2

),所以△AFB的面积为

×2×2

=2

.故选B.7.★★★(2026届福建开学联考,8)设抛物线C:x2=8y的焦点为F,A(4,5),点B在C上,则△FAB的周长的最小值为

()A.8

B.10

C.12

D.16

C

解析如图,过B作BD垂直于抛物线的准线,垂足为D,

则|AB|+|BF|+|AF|=|AB|+|BD|+|AF|,又F(0,2),A(4,5),则|AF|=5,所以|AB|+|BF|+|AF|=|AB|+|BD|+5,要使周长最小,即|AB|+|BD|最小,当且仅当A,B,D三点共

线时,取最小值7,所以周长的最小值为12.故选C.8.★★★★(多选)(2026届福建泉州质量监测,10)在平面直角坐标系xOy中,设F为抛物线

C:y2=4x的焦点,M是C上一点,点N(-1,0),若NM的延长线与C交于点A.记∠ANF=α,∠AFN

=β,∠MFN=γ,则

(

)A.tanα=sinβ

B.tanα=cosβC.tanα=sinγ

D.tanα=cosγ

AC

解析依题意可得抛物线C的准线方程为x=-1,F(1,0).对于A,B,过点A作AA1垂直准线于A1,则|AA1|=|AF|,

在△AFN中,由正弦定理有

=

,得

=

,在△AA1N中,∠A1AN=∠ANF=α,且|AA1|=|AF|,则cosα=

=

=

,所以sinβ=

=tanα,因此A正确;当β≠

时,cosβ≠sinβ,即当β≠

时,cosβ≠tanα,因此B错误;对于C,D,过点M作MM1垂直准线于M1,则|MM1|=|MF|,在△MFN中,由正弦定理有

=

,得

=

,在△MM1N中,∠M1MN=∠ANF=α,且|MM1|=|MF|,则cosα=

=

=

,所以sinγ=

=tanα,因此C正确;当γ≠

时,cosγ≠sinγ,即当γ≠

时,cosγ≠tanα,因此D错误.故选AC.9.★★★(2026届重庆巴蜀中学月考,14)已知抛物线E:y2=4x,过点F(1,0)的直线l与抛物线

E交于A,B两点,且

=

,则直线l的斜率为__________.

±

解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由

=

,得(1-x1,-y1)=

(x2-1,y2),所以x1+

x2=

,又因为|

|=x1+1=

|

|=

(x2+1),所以x1-

x2=

,联立

解得x1=

,所以y1=±

,所以直线l的斜率为

=±

.10.★★★(2026届江苏南京一中月考,13)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点Р是其准线上

一点,过点P作PF的垂线,交y轴于点A,线段AF交抛物线于点B.若PB平行于x轴,则AF的

长度为_________.

3

解析因为抛物线y2=4x,所以F(1,0),不妨设B

,P(-1,m),A(0,n),【思路点拨:由抛物线的标准方程设出点的坐标,利用AP⊥PF,A,B,F三点共线,列出方

程求解,这是解析几何中最常见的解题手段,即“先设后求”】因为AP⊥PF,所以

·

=0,即(-1,m-n)·(2,-m)=0,即2=m(n-m)①,因为A,B,F三点共线,所以kAF=kBF,即

=

,化简得m2n=4(n-m)②,

可得

=

,即m3n=8,即n=

,将n=

代入①中可得2-

+m2=0,即m4+2m2-8=0,解得m2=-4(舍去)或m2=2,所以m=±

,代入n=

中得n=±2

,所以|AF|=

=3.五年高考考点2抛物线的几何性质1.★★★(多选)(2024新课标Ⅱ,10,6分)抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上动点.过P作☉A:

x2+(y-4)2=1的一条切线,Q为切点.过P作l的垂线,垂足为B.则

(

)A.l与☉A相切B.当P,A,B三点共线时,|PQ|=

C.当|PB|=2时,PA⊥ABD.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个

ABD

解析由y2=4x得2p=4,p=2,因此准线l:x=-1,显然l与☉A相切,A正确.当P,A,B三点共线时,yP=4,xP=

=4,∴|PA|=4,又|AQ|=1,∴|PQ|=

=

=

,B正确.当|PB|=2时,xP+1=2,即xP=1,因此P(1,±2),若P点坐标为(1,2),则B(-1,2),又A(0,4),∴

=(-1,2),

=(-1,-2),∴

·

=1-4=-3≠0,此时,PA与AB不垂直,同理P点坐标为(1,-2)时,PA与AB也不垂直.C错误.设抛物线的焦点为F,则F(1,0),由|PA|=|PB|得|PA|=|PF|,∴线段AF的垂直平分线经过P点.线段AF垂直平分线的方程为y-2=

,即2x-8y+15=0.由

消去x得y2-16y+30=0.Δ=(-16)2-4×1×30=136>0.∴线段AF的垂直平分线和抛物线有两个交点,因此,满足题意的点P有2个,D正确.故选

ABD.2.★★★(多选)(2023新课标Ⅱ,10,5分)设O为坐标原点,直线y=-

(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则

(

)A.p=2B.|MN|=

C.以MN为直径的圆与l相切D.△OMN为等腰三角形

AC

解析由于y2=2px的焦点为

,直线y=-

(x-1)过焦点,所以-

=0,解得p=2,A正确;联立

消去y得3x2-10x+3=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=

,所以|MN|=x1+x2+p=

,B不正确;以MN为直径的圆的圆心的横坐标为

=

,圆心到准线l的距离d=

+1=

=

|MN|,故以MN为直径的圆与l相切,C正确;不妨令点M在第一象限,由3x2-10x+3=0得x1=

,x2=3,所以y1=

,y2=-2

,所以|ON|=

=

,|OM|=

=

,又|MN|=

,所以△OMN不是等腰三角形,D不正确.故选AC.3.★★★(多选)(2022新高考Ⅱ,10,5分)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F

的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0).若|AF|=|AM|,则

(

)A.直线AB的斜率为2

B.|OB|=|OF|C.|AB|>4|OF|D.∠OAM+∠OBM<180°

ACD

解析如图,取线段FM的中点H,连接AH,

∵|AF|=|AM|,∴AH⊥x轴,又∵F

,M(p,0),∴H

,则xA=

p,代入抛物线方程得yA=

p(舍负),∴A

,由抛物线焦点弦的性质可得xA·xB=

,则xB=

,则B

,∴kAB=kAF=

=2

,故A正确;|OB|=

=

p,|OF|=

,∴|OB|≠|OF|,故B错误;|AB|=

+

+p=

>2p=4|OF|,故C正确;∵|OA|2=

,|OB|2=

,|AM|2=

,|BM|2=

,|OM|=p,∴|OA|2+|AM|2>|OM|2,|OB|2+|BM|2>|OM|2,∴∠OAM,∠OBM均为锐角,可得∠OAM+∠OBM<180°,故D正确.故选ACD.4.★★★★(多选)(2022新高考Ⅰ,11,5分)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py

(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则

(

)A.C的准线为y=-1B.直线AB与C相切C.|OP|·|OQ|>|OA|2D.|BP|·|BQ|>|BA|2

BCD

解析由点A(1,1)在抛物线C上,知1=2p,所以抛物线C:x2=y,其准线方程为y=-

,故选项A错误.易知AB:y-(-1)=

(x-0),即y=2x-1,联立

消去y得x2-2x+1=0,Δ=4-4=0,即直线AB与C相切,故选项B正确.设PQ:y=kx-1,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立

消去y得x2-kx+1=0,则

且Δ=k2-4>0,即k2>4.由于

·

=x1x2+y1y2=x1x2+

=2=|OA|2,|

|·|

|≥

·

且向量

,

不共线,所以|

|·|

|>

·

,即|OP|·|OQ|>|OA|2,故选项C正确.因为

·

=x1x2+(y1+1)(y2+1)=y1+y2+3=k(x1+x2)+1=k2+1,因为k2>4,并注意到|

|·|

|=

·

,

=1+4=5,所以|

|·|

|>|BA|2,故选项D正确.故选BCD.5.★★★★(多选)(2025全国一卷,10,6分)已知抛物线C:y2=6x的焦点为F,过F的一条直线

交C于A,B两点,过A作直线l:x=-

的垂线,垂足为D,过F且与直线AB垂直的直线交l于点E,则

(

)A.|AD|=|AF|

B.|AE|=|AB|C.|AB|≥6

D.|AE|·|BE|≥18

ACD

解析由y2=6x知,焦点F

,l:x=-

是其准线.

由抛物线的定义知,|AD|=|AF|,因此选项A正确;设直线AB的方程为x=my+

,A(x1,y1),B(x2,y2).联立

消去x整理得y2-6my-9=0,则y1+y2=6m,y1y2=-9,则x1+x2=

+

=6m2+3,所以|AB|=|AF|+|BF|=

+

=(x1+x2)+3=6m2+6,当m=0时,|AB|min=6,即|AB|≥6,因此选项C正确;当m=0时,直线AB与x轴垂直,|AB|=6,|AF|=3,易知|EF|=3,所以|AE|=

=3

≠|AB|,因此选项B错误;依题意得△ADE≌△AFE,过B点作BM⊥l于M,易得△BME≌△BFE,所以AE⊥BE,因此|BE|·|AE|=2S△AEB,由EF⊥AB知,直线EF的方程为y=-m

,因此E

,所以|EF|=

=3

,所以S△AEB=

|AB|·|EF|=

(6m2+6)·3

≥9,所以|AE|·|BE|=2S△AEB≥18,因此选项D正确.故选ACD.6.★(2023全国乙理,13,5分)已知点A(1,

)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为_________.解析∵点A(1,

)在抛物线C:y2=2px上,∴(

)2=2p×1,∴p=

,∴A到C的准线的距离为xA+

=1+

=

.7.★★(2021北京,12,5分)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点M在抛物线上,MN垂直x轴于点

N.若|MF|=6,则点M的横坐标为_________;△MNF的面积为__________.

4 

5

解析由题意得,抛物线的准线方程为x=-1.设点M的坐标为(x0,y0),则有|FM|=x0+1=6,解

得x0=5,所以点M的横坐标是5.将x0=5代入y2=4x,得|y0|=2

,由题意得S△FMN=

×(5-1)×2

=4

.8.★★★(2023天津,12,5分)已知过原点O的直线l与圆(x+2)2+y2=3相切,且l与抛物线y2=2px(p>0)交于O,A两点.若|OA|=8,则p=_________.

6

解析圆(x+2)2+y2=3的圆心为C(-2,0),半径r=

,设切点为M,易知切线OM斜率存在,设其方程为y=kx,则圆心C到直线y=kx的距离d=

=

,解得k=±

.联立

解得A

.由|OA|=

=8,p>0,得p=6.9.★★★(2021新高考Ⅰ,14,5分)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为

C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为_________.

x=- 解析∵点P在抛物线上且PF⊥x轴,不妨设点P位于x轴上方,∴P

,∴

=

,由题知F

,∵Q为x轴上一点,且PQ⊥OP,∴Q在F右侧,又∵|FQ|=6,∴Q

,∴

=(6,-p),∵PQ⊥OP,∴

·

=

×6-p2=0,∴p=3或p=0(舍),∴C的准线方程为x=-

.三年模拟1.★★(2026届广东入学联考,7)已知抛物线C:y2=8x,O为坐标原点,F为C的焦点,直线4x-

3y-8=0与C交于M(x1,y1),N(x2,y2)(y1>y2)两点,记△OMF和△ONF的面积分别为S△OMF,S△ONF,

则

=

()A.

B.

C.2

D.4

D

解析由抛物线C:y2=8x可知抛物线的焦点为F(2,0),易得点F(2,0)在直线4x-3y-8=0上,由

消去x,可得y2-6y-16=0,解得y=8或y=-2,因为y1>y2,所以y1=8,y2=-2,则

=

=

=4.故选D.2.★★★(2025届湖南长沙明德中学月考,8)过抛物线y2=2x上一动点P作圆C:(x-4)2+y2=r2

(r为常数且r∈N*)的两条切线,切点分别为A,B,若|AB|·|PC|的最小值是4

,则r=

(

)A.1

B.2

C.3

D.4

B解析设P(x0,y0),则

=2x0.圆C的圆心为C(4,0),半径为r,由PA,PB与圆C切于点A,B,得PA⊥AC,PB⊥BC,PC⊥AB,

则|AB|·|PC|=2S四边形PACB=4S△PAC=2|PA|·|AC|=2r

=2r

=2r·

=2r

≥2r·

,当且仅当x0=3时,等号成立,则2r

=4

,整理得r4-7r2+12=0,解得r2=4或r2=3,因为r∈N*,所以r2=4,r=2.故选B.3.★★★(2025届浙江金华一中月考,5)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l与C交

于A,B两点,FA⊥FB,|FA|=2|FB|,则l的斜率是

()A.±1

B.±

C.±

D.±2

D

解析当直线l不经过原点O时,根据对称性,不妨令l的斜率大于0.如图,过点A,B作C的准线的垂线,垂足分别为A1,B1,过B作BH⊥AA1,垂足为H.

设|FA|=2|FB|=2a,a>0,则|AB|=

a.而|AH|=|AA1|-|BB1|=|AF|-|BF|=a,所以|BH|=

=2a,则l的斜率k=tan∠BAH=

=2.根据对称性可知k=-2时也满足题意.当直线l经过原点O时,可知一交点为O,则FO⊥FA,|FA|=2|FO|=p,得l的斜率为

=2,根据对称性可知k=-2时也满足题意.故选D.4.★★★(多选)(2026届广东阳江月考,9)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,O为坐标原点,点

M(x0,y0)在抛物线C上,若|MF|=5,则

(

)A.F的坐标为(1,0)B.y0=4C.|OM|=4

D.以MF为直径的圆与x轴相切

BCD

解析对于抛物线C:x2=4y,可得p=2,

=1,且焦点在y轴正半轴上,则点F(0,1),A错误;由抛物线的定义可得|MF|=y0+1=5,可得y0=4,B正确;由y0=4可知,

=16,可得x0=±4,|OM|=

=4

,C正确;∵MF的中点坐标为

,则点

到x轴的距离d=

=

|MF|,∴以MF为直径的圆与x轴相切,D正确.故选BCD.5.★★★(多选)(2026届湖北襄阳四中综合测试,10)已知抛物线C:y2=2px(p>0),准线为l,

过焦点F的直线交抛物线C于A,B两点,过A,B分别作l的垂线,垂足分别为A',B',则

(

)A.FA'⊥FB'B.若|AF|=3|BF|,则直线AB的斜率为

C.A,O,B'三点共线(其中O为坐标原点)D.|A'B'|2=4|AF||BF|ACD

解析连接A'F,B'F,根据抛物线定义可知|AA'|=|AF|,所以∠AA'F=∠AFA',

因为AA'∥x轴,所以∠AA'F=∠OFA',所以∠AFA'=∠OFA',同理∠BFB'=∠OFB',所以∠A'FB'=∠OFB'+∠OFA'=

(∠OFB+∠OFA)=

,即FA'⊥FB',故A正确;过B作BD⊥AA'于D,设|BF|=d(d>0),则|AF|=3d,|AD|=2d,所以cos∠DAF=

=

=

,所以∠DAF=

,由对称性可知直线AB的斜率为±

,故B错误;设A(x1,y1),B(x2,y2),则A'

,B'

,

=

,

=

,由于A,F,B三点共线,则

y2-y1

=0,又

=2px1,

=2px2,则

(y1-y2)=0,由于y1≠y2,则y1y2=-p2,又kOA=

=

,kOB'=

=-

,所以

=

·

=-

=1,即kOA=kOB',所以A,O,B'三点共线,故C正确;由于y1y2=-p2,则

=p4,即2px1·2px2=p4,所以x1x2=

,|A'B'|2=(y1-y2)2=

+

-2y1y2=2px1+2px2+2p2=4x1x2+2px1+2px2+p2=4

,所以|A'B'|2=4|AF||BF|,故D正确.故选ACD.6.★★★(多选)(2026届湖南长沙一中月考,10)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,过F的直

线l与抛物线C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则

(

)A.抛物线C的准线方程为x=-4B.若|AF|=8,则x1=6C.|AF||BF|的最大值为16D.∠AOB为钝角

BD

解析如图,

对于A,抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线方程为x=-2,因此A错误;对于B,|AF|=x1+2,而|AF|=8,则x1=6,因此B正确;显然直线l不垂直于y轴,设其方程为x=ty+2,由

消去x得y2-8ty-16=0,则y1+y2=8t,y1y2=-16,x1+x2=t(y1+y2)+4=8t2+4,x1x2=

·

=4,对于C,|AF||BF|=(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4=8+8(2t2+1)≥16,当且仅当t=0时取等号,因此C错误;对于D,

·

=x1x2+y1y2=-12<0,则∠AOB为钝角,因此D正确.故选BD.7.★★★★(多选)(2026届山东泰安开学考,10)斜率为k的直线与抛物线y2=4x相交于A,B

两点,O为坐标原点,OA⊥OB,直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,设直线AB与x轴交于点D,过

D作OB的平行线交OA于点H,则

(

)A.|OD|=4B.(k1+k2)·k=-1C.O,B,D,H四点共圆D.△ODH面积的最大值为4

ABD

解析对于A,设A

,B

,则k1=

,k2=

,由OA⊥OB得k1k2=-1,即y1y2=-16.直线AB的斜率k=

=

,因此直线AB的方程为y=

·

+y1,令y=0,解得x=

=4,所以D(4,0),即|OD|=4,因此A正确;对于B,(k1+k2)·k=

·

=

=

=-1,因此B正确;对于C,若O,B,D,H四点共圆,

则∠AOB+∠HDB=180°,由OA⊥OB得∠HDB=90°,即DH⊥AB,又OB∥DH,OA⊥OB,则

DH⊥OA,所以OA∥AB,这与OA∩AB=A矛盾,于是O,B,D,H四点不共圆,因此C错误;对于D,直线DH的方程为y=

(x-4),与OA的方程y=

x联立,【思路探究:以y1,y2为变量,建立S关于y1,y2的函数关系,利用y1y2=-16消去一个变量,利用

基本不等式求最值】解得H

,故△ODH的面积S=

×4×

=

,因为y1y2=-16,故将y2=-

代入上式并化简得S=

,不妨设y1>0,则

+y1≥8,当且仅当y1=4时等号成立,此时S≤

=4,所以△ODH面积的最大值为4,因此D正确.故选ABD.8.★★★★(多选)(2025届河北保定部分地区模拟,10)抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l,P

为C上的动点,过P作圆M:(x-a)2+(y-2)2=4的两条切线,A,B为切点,过P作l的垂线,垂足为Q,

则

(

)A.当a=1时,l与圆M相切B.当

=a时,|PA|+|PQ|的最小值为2

C.当|AB|=2

时,

·

为定值D.存在点P,使得△PAB为等边三角形

CD

解析对于A,圆M:(x-1)2+(y-2)2=4的半径r=2,圆心(1,2)到准线x=-

的距离为1+

,所以当且仅当a=1,p=2时,l与圆M相切,故A不正确;对于B,如图所示,当

=a时,A恰为焦点,则|PA|+|PQ|=2|PA|,

故当P,A,Q三点共线时,|PA|+|PQ|有最小值,最小值为p,故B不正确;对于C,在△AMB中,因为|AB|=2

,|MA|=|MB|=2,所以由余弦定理的推论得cos∠AMB=

=

=-

,所以∠AMB=120°,所以

·

=|

|·|

|·cos∠AMB=2×2×

=-2,故C正确;对于D,当|AB|=2

时,∠AMB=120°,所以∠APB=60°,此时△PAB为等边三角形,故D正确.故选CD.9.★★(2025届湖南名校联合体联考,13)设抛物线y2=12x的焦点为F,经过点P(4,1)的直线

l与抛物线相交于A,B两点,且点P恰为AB的中点,则|AF|+|BF|=__________.

14

解析由题意可得F(3,0),抛物线的准线方程为x=-3,设A(x1,y1),B(x2,y2),过A,B分别作准线的垂线,垂足为C,D,根据抛物线的定义,得|AF|=|AC|=x1+3,|BF|=|BD|=x2+3,故|AF|+|BF|=(x1+x2)+6,因为AB的中点为P(4,1),所以

(x1+x2)=4,可得x1+x2=8,所以|AF|+|BF|=(x1+x2)+6=14.10.★★(2026届广东深圳多校开学联考,13)已知抛物线Γ:x2=2py(p>0)的焦点为F,直线l

与Γ交于P,Q两点,其中Q在第一象限,若2

=

,则直线l的斜率为_________.解析过点P,Q作抛物线准线的垂线,垂足分别为A,B,过P作PC⊥QB于C,显然四边形

ABCP是矩形,

由抛物线定义知,|PA|=|PF|,|QB|=|QF|,因为2

=

,则|QC|=|QB|-|CB|=|QF|-|AP|=|QF|-|PF|=|PF|=

|PQ|,所以|PC|=

=2

|QC|,设直线l的倾斜角为θ,则∠QPC=θ,所以tanθ=tan∠QPC=

=

=

.11.★★(2025届河北“五个一”名校联盟联考,13)抛物线C:y2=4x上的动点P到直线y=x

+3的距离最短时,P到C的焦点的距离为_________.

2

解