数学的发展史

数学的发展史

学史研究证明：数学的发源地除古代非洲的尼罗河，还有西亚的底格里

斯河和幼发拉底河、中南亚的印度河和恒河、东亚的黄河和长江。

知识简介：尼罗河一世界上最长的大河

尼罗河纵贯非洲大陆东北部，流经布隆迪、卢旺达、坦桑尼亚、乌干达、

埃塞俄比亚、苏丹、埃与，跨越世界上面积最大的撒哈拉沙漠，最后注入

地中海。流域面积约335万平方公里，占非洲大陆面积的九分之一，全长

6650公里，年平均流量每秒3100立方米，为世界最长的河流。尼罗河一

一阿拉伯语意为“大河”。“尼罗，尼罗，长比天河”，是苏丹人民赞美尼

罗河的谚语。古埃与人在这里创造出高度的文明。

世界三大河流：非洲尼罗河、南美洲亚马逊河、亚洲长江

中国第一大河一一长江

长江的上源沱沱河出自青海省西南边境唐古拉山脉各拉丹冬雪山，干流

全长6300公里。以干流长度和入海水量论，长江均居世界第三位。

长江流经青海、西藏、四川、重庆、云南、湖北、湖南、江西、安徽、江

苏、上海，注入东海。

长江在湖北省宜昌市以上为上游，宜昌至江西省湖口间为中游，湖口以

下为下游

长江流域是中国人口密集经济繁荣的地区，沿江重要城市有重庆、武汉、

南京、_L海。

长江在四川奉节以下至湖北宜昌为雄伟险峻的三峡江段（瞿塘峡、巫咦、

西陵峡）

世界最大的水利枢纽工程三峡工程位于西陵峡中段的三斗坪（1994年12

月14日开工，总工期17年）

中华民族的母亲河一黄河

黄河，发源于青海省巴颜喀拉山脉的约古宗列渠，流经青海、四川、甘肃、

宁夏、内蒙古、陕西、山西、河南、山东9个省区，最后于山东省东营垦

利县注入渤海。

干流河道全长5464千米，仅次于长江，为中国第二长河，世界第五长河黄

河从源头到内蒙古自治区托克托县河口镇为上游，河口镇至河南郑州桃

花峪间为中游，桃花峪以下为下游.

数学的发展史一般分为四个时期（有很多分法），即数学的萌芽时期，古

代数学时期，近代数学时期和现代数学时期。

一、数学萌芽时期（公元前6世纪以前）

1.“数”概念的产生

早在远古时代，人类就已具备了识别事物多少的能力。逐渐地，这种原始

的“数觉”经过漫长的历史演进，发展并形成了“数”的概念。早期人类

在对事物数量共性的认识与提炼中，获取数的概念，从而播下了人类文

明史上的数学火种％大约发生于30万年以前的这一过程可能与早期人类

对火的认识与使用一样悠久而漫长。数对于人类文明的意义决不亚于火的

使用。

当对“数”的认识变得越来越明确时，人们开始对其表达萌生了一种冲动,

于是就有了记数（实物记数、书写记数）的产生。

最早比较成功的计数方式可能来自于最方便的实物工具，那就是人类自

己的手指。一只手上的五个指头可以被现成地用来表示五个以内事物的集

合。两只手上的指头合在一起，不超过10个元素的集合就有办法表示。

当十指不够用时，随处可见的石子便成了当然的替代与补充。但记数的石

子堆，很难长久保存信息、，于是又有了结绳记数和书契（qi）记数。

结绳记数是我国原始公社时期的一种计量方法，是原始公社时期社会生

产力发展到一定程度，由于社会生活的实际需要而产生的。《周易-系辞

下》：“上古结绳而治”。传说结绳记数，始于伏羲时代。西汉时曾经出

现伏羲与女婿结绳的画像；在东汉武梁祠的浮雕上还刻有“伏羲仓精，初

造王业，画卦结绳，以理海内”的铭文。

原始公社时期，代结绳记事而起的一种比较进步的计量方法是书契记数。

《周易•系辞下》：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契”。“书”指文

字，刻字在竹、木或龟甲、兽骨上以记数，称为“书契”。

结绳、刻痕之法大约持续了有数万年之久，才迎来书写记数的诞生。

大约距今五千年左右，人类历史上开始先后出现一些不同的书写记数方

法（数字的产生）。随之逐步形成各种较为成熟的记数系统。如古埃与的

象形数字（公元前3400年左右）、古巴比伦的楔（xie）形数字（公元前2400

年左右）、中国的甲骨文数字（公元前1600年左右）以与中美洲的玛雅数

字（约公元前1000右左右）。到公元前500年左右，人类关于书写记数的

方法已经发展得相当完善，如古希腊数字、古罗马数字、中国的算筹数码。

在这些记数系统中，除了巴比伦楔形数字采用六十进制、玛雅数字采用二

十进制外，其他均属十进制数系。由中国人首创的十进位值制记数法，对

人类文明尤其是一项特殊贡献。记数系统的出现使数与数之间的书写运算

成为可能，在此基础上初等算术便在几个古老的文明地区发展起来。

2.形概念的产生

与算术的产生相仿，最初的几何知识也从人们对形的直觉中萌发出来。史

前人类首先从自然界本身提取几何形式，如注意到圆月与挺松在形象上

的区别，并从圆月处获得圆形的感悟。他们还把自己的这种感悟再现于器

皿制作、建筑设计和绘画装饰。（埃与陶罐）

经验的几何知识随着人们的实践活动而不断扩展，不过在不同的地区，

几何学的这种实践来源方向不尽相同。

古埃与几何学产生于尼罗河泛滥后土地的重新丈量。埃与是世界上文化发

达最早的几个地区之一，位于尼罗河两岸，公元前3200年左右，形成一

个统一的国家。尼罗河定期泛滥，淹没全部谷地，水退后，要重新丈量居

民的耕地面积。由于这种需要，多年积累起来的测地知识便逐渐发展成为

几何学。

公元前2900年以后，埃与人建造了许多金字塔，作为法老的坟墓。从金

字塔的结构，可知当时埃与人已懂得不少天文和几何的知识。

现今对古埃与数学的认识，主要根据两卷用僧侣文写成的纸草书（见上右

彩图）；一卷藏在伦敦，叫做莱因德纸草书，一卷藏在莫斯科。两卷纸草

书的年代在公元前1850〜前1650年之间，相当于中国的夏代。纸草书给

出圆面积的计算方法、正四棱台体积的计算方法。

占巴比伦几何学是与实际测量有密切联系的。从许多具体例子可以看到,

巴比伦人在公元前2000到1600年，就已熟悉了计算长方形面积、直用三

角形和等腰三角形（也许还不知道一般三角形）面积，有一边垂直于平行

边的梯形面积、长方形的体积，以与以特殊梯形为底的直棱柱体积的一般

规则。

古代印度几何学的起源则与宗教实践密切相关，公元前8世纪至5世纪就

有对祭坛与寺庙建造中几何问题与其求解法则的记载。

在古代中国，几何学的起源更多地与天文观测相联系。至晚成书于公元前

2世纪的中国数学经典《周髀（bi）算经》，就是一部讨论西周初年（公

元前1100年左右）天文测量中所用数学方法的著作。不过在此之前，即

夏禹治水之初，规矩准绳之用在中国已相当普遍。（伏羲规矩）

很少文明能够像古埃与人那样，在历史上留下如此永难消逝的记号。古埃

与从公元3500年开始，经早王朝、古王国、中王国、新王国、后埃与和

希腊、罗马统治时代，直至公元641年被阿拉伯人征服为止，先后持续了

4000年的文明，为世界文明的发展作出了杰出的贡献。在这4000年里，古

埃与经历了从分散、独立的城市国家到统一王国的历史阶段，又从统一王

国发展到称霸亚非的古代世界第一大帝国，后被希腊、罗马、阿拉伯所征

服。

见证：卡拉克神殿是埃与规模最大的多元化神殿，为神殿王者。占地二十

公顷。其中极品一埃与之柱，共十四双。

一、已走过从前：尼罗河入境埃与，贯穿南北。在他的孕育下，发热，发

光。创造了埃与独特的文化，滋生了无穷的神秘与风采。在尼罗河迷濠的

夜色中，浮现了炫丽的开罗之夜，充满浪漫与神奇。

梦妲(da)栅花园，一座充满土耳其与意大利风格的国王宫殿，为土耳其

统治埃与时的国王避暑胜地。1922年，埃与独立后，即对外开放。这座国

王宫殿已成为梦妲栅饭店。

“弥纳之家”大饭店为“开罗会谈”的场所。第二次世界大战结束前夕，公

元1943年12月22口。中华民国(蒋中正)，美国(罗斯福)，英国(邱吉尔)

三国元首在埃与首都开罗举行会谈。

二、永恒的沙漠：巴哈利亚绿洲为游牧民族常驻之处

白色沙漠:撒哈拉沙漠分为三个区域：白色沙漠、黄色沙漠、黑色沙漠。

此为白色沙漠一景。找不见人迹，见不到绿荫，摸不著甘露，闻不到烟

火！体验唯一的灼热、炎阳。哈拉沙漠奇特的黑色沙漠:蔚蓝的天空下有

黑色的山峦、黑色的地貌、黑色地毡。如似一幅梦幻中的奇景！

拉美西斯二世,在13世纪曾统治埃与长达67年之久

金字塔参考资料：在尼罗河的西岸，从开罗附近的吉沙Giza到上埃与

的希拉康坡里斯一带，分布着大大小小近一百座金字塔.金字塔一词是

中国人对古埃与的角锥体陵墓的形象化的称呼，因为这种建筑物的外形

类似汉字中金字的外形.古埃与人称之卷麦尔Mr，意卷国王与其父太阳

神升天的地方.至於现代西方通用的Pyramid一词来源於古希腊文的

Pyramis,意卷小麦饼，因卷古希腊人见到金字塔，联想到他们吃惯的叁

角形小麦饼，故名之.最早建造的金字塔是第叁王朝名建筑师伊姆霍太

普(Imhotep)四其君主左塞王(Djoser)建造的，这就是有名的梯阶金字塔.

最早按标型设计的金字塔是第四王朝斯尼弗鲁王的金字塔，座落在达赫

舒尔（Dahshur）,不过，第一个并不成功，变成了弯曲金字塔，斯尼弗鲁

王不满意，后来又建造了第二个，这次成功了，因卷塔身用红色石灰石

覆盖，所以人们称之卷红色金字塔.斯尼弗鲁的儿子胡夫，在开罗近郊

尼罗河的西岸吉沙（Giza）建造金字塔，塔高原146.5米（现减损卷137.2

米），基底边长230.38米（现减损卷227.5米），角度卷51度51分，塔

身共计250层，以平均2.5吨重的230万块石材砌成，总计约570万吨重.

因卷这个金字塔最大，所以人们称卷大金字塔.在大金字塔的东西南面,

分彳布着一些王妃的金字塔与王室人员的马斯塔巴.距离胡夫大金字塔160

米处，有一座胡夫的儿子哈夫拉金字塔，这座金字塔着名处在於他有一

个举世闻名的狮身人面像相伴；在哈夫拉金字塔西南200米处，还有一座

孟考拉（Menkaure）金字塔，规模只有胡夫大金字塔的一半，这叁座金字

塔，人们通称之卷吉沙叁大金字塔.阿尔忒（te）弥斯神庙

数学名著一一《算经十书》

《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部著名数学著作，它们曾经是隋

唐时候国子监算学科（国家所设学校的数学科）的教科书。十部算书的名

字是：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《五曹算经》、《孙子算经》、

《夏侯阴算经》、《张丘建算经》、《五经算术》、《缉古算经》、《缀zhui术》。

这十部算书，以《周髀算经》为最早，不知道它的作者是谁，据考证，它

成书的年代当不晚于西汉后期（公元前一世纪）。《九章算术》，也不知道

确实的作者是谁，只知道西汉早期的著名数学家张苍（前201—前152）、

耿寿昌等人都曾经对它进行过增订删补。三国时期刘徽作过注。第三部是

《海岛算经》，它是刘徽（约225—约295）所作。《五曹算经》、《五经算

术》为［北周］甄鸾撰。《孙子算经》、《夏侯阴算经》、《张丘建算经》、《缉

古算经》为唐武德八年（625）王孝通撰，《缀zhui术》是南北朝时期著名

数学家祖冲之的著作。

宋元数学，从它的发展速度之快、数学著作出现之多和取得成就之高来看,

都可以说是中国古代数学史上最光辉的一页。

特别是公元十三世纪下半叶，在短短几十年的时间里，出现了秦九韶

（1202—1261）、李冶（1192—1279）、杨辉、朱世杰四位著名的数学家。

所谓宋元算书就指的是一直流传到现在的这四大家的数学著作，包括：秦

九韶著的《数书九章》（公元1247年）,李冶的《测圆海镜》（公元1248

年）和《益古演段》（公元1259年），杨辉的《详解九章算法》（公元1261

年）、《日用算法》（公元1262年）、《杨辉算法》（公元1274-1275年），朱

世杰的《算学启蒙》（公元1299年）和《四元玉鉴》（公元1303年）。

二、古代数学时期（公元前6世纪至公元16世纪末）

古代数学（即常量数学、初等数学）时期，数学研究的主要对象是常数、常

量和不变的图形。

公元前六世纪，希腊儿何学的出现成为第一个转折点，数学从此由具体

的、实验的阶段，过渡到抽象的、理论的阶段，开始创立初等数学。此后

又经过不断的发展和交流，最后形成了几何、算术、代数、三角等独立学

科。这一时期的成果大致相当于现在中小学数学课的主要内容。

1.希腊文明

古代希腊从地理疆城上讲，包括巴尔干半岛南部、小亚细亚半岛西部、意

大利半岛南部、西西里岛与爱琴海诸岛等地区。这里长期以来由许多大小

奴隶制城邦国组成，其发展可分为雅典时期和亚历山大时期两个阶段。

雅典时期各学派多以哲学探讨为主，但他们的研究活动极大地加强了希

腊数学的理论化色彩，这一时期始于泰勒斯为首的伊奥尼亚学派，其贡

献在于开创了命题的证明，为建立几何的演绎体系迈出了第一步。稍后有

毕达哥拉斯领导的学派，这是一个带有神秘色彩的政治、宗教、哲学团体,

以“万物皆数”作为信条，将数学理论从具体的事物中抽象出来，予数学

以特殊独立的地位。公元前480年以后，雅典成为希腊的政治、文化中心,

各种学术思想在雅典争奇斗妍，演说和辩论时有所见，在这种气氛下，

数学开始从个别学派闭塞的围墙里跳出来，来到更广阔的天地里。这个时

期出现了古希腊的四大学派，埃利亚学派提出四个著名的悖论，迫使哲

学家和数学家深入思考无穷的问题。智人学派提出几何作图的三大问题，

使希腊人的兴趣发展为从理论上去解决这些问题，是几何学从实际应用

向演绎体系靠拢的又一步。柏拉图在雅典创办著名的柏拉图学派，培养了

一大批数学家，成为早期毕氏学派和后来长期活跃的亚历山大学派之间

联系的纽带。柏拉图的学生亚里士多德是形式主义的奠基者，其逻辑思想

为日后将几何学整理在严密的逻辑体系之中开辟了道路。

约公元前325年，亚历山大大帝征服了希腊和近东、埃与，他在尼罗河口

附近建立了亚历山大里亚城，亚历山大大帝死后他创建的帝国分裂为三

个独立的王国，但仍联合在古希腊文化的约束下，史称希腊化国家。统治

了埃与的托勒密一世大力提倡学术，多方网罗人才，在亚历山大里亚建

立起一座空前宏伟的博物馆和图书馆，使这里取代雅典，一跃而成为古

代世界的学术文化中心。

由于地理位置和自然条件，古希腊受到埃与、巴比伦这些文明古国的许多

影响，成为欧洲最先创造文明的地区之一。从公元前775年左右，希腊人

开始发展他们的文化，随着古代西方世界的各条知识支流在希腊汇合起

来，经过古希腊哲学家和数学家的过滤和澄清，形成了长达千年的灿烂

的古希腊文化。从公元前6世纪到公元4世纪，古希腊成了数学发展的中

心。

2.论证数学的发端

（1）伊奥尼亚学派一泰勒斯

伊奥尼亚位于小亚细亚西岸，它比希腊其他地区更容易吸收巴比伦、埃与

等古国积累下来的经验和文化。在伊奥尼亚，氏族贵族政治为商人的统治

所代替，商人具有强烈的活动性，有利于思想自由而大胆地发展。城邦内

部的斗争，帮助摆脱传统信念。在希腊没有特殊的祭司阶层，也没有必须

遵守的教条，因此有相当程度的思想自由。这大大有助于科学和哲学从宗

教中分离开来。

米利都是伊奥尼亚的最大城市，也是泰勒斯的故乡。泰勒斯生于公元前

624年，是公认的希腊哲学鼻祖。早年是一个商人，曾游访巴比伦、埃与

等地，很快就学会古代流传下来的知识，并加以发扬。以后创立伊奥尼亚

哲学学派，摆脱宗教，从自然现象中去寻找真理，以水为万物的根源。

当时天文、数学和哲学是不可分的，泰勒斯同时也研究天文和数学。他曾

预测到一次日食，促使米太（在今黑海、里海之南）、吕底亚（今土耳其西

部）两国停止战争。多数学者认为该次日食发生在公元前585年5月28日。

他在埃与时曾利用日影与比例关系算出金字塔的高度，使法老大为惊讶。

泰勒斯在数学方面的贡献是开始了命题的证明，它标志着人们对客观事

物的认识从感性上升到理性，这在数学史上是一个不寻常的飞跃。伊奥尼

亚学派的著名学者还有阿纳克西曼德和阿纳克西米尼等。他们对后来的毕

达哥拉斯有很大的影响。

泰勒斯是演绎几何学的鼻祖，开数学证明之先河，据说他最先证明了如

下的定理：

1.圆被任一直径二等分；

2.等腰三角形的两底角相等；

3.两条直线相交，对顶角相等；

4.半圆的内接三角形，一定是直角三角形；

5.如果两个三角形有一条边以与这条边上的两个角对应相等，则

这两个三角形全等。

泰勒斯在天文学方面也曾有不同凡响的工作，据说他曾测知公元前

585年5月28日的一次日全食。当时正值战争之际，泰勒斯向世人宣告，

若不停战，到时天神震怒！到了那天下午，两派将士仍激战不已，霎时间,

太阳在天空中消失，星辰闪烁，大地一片漆黑。双方将士见此景象，砍太

阳神真的发怒了，要降罪于人类，于是立即罢兵休战，从此铸剑为犁，

和睦相处。

泰勒斯的墓碑上镌刻的颂辞：“他是一位圣贤，又是一位天文学家，在日

月星辰的王国里，他顶天立地、万古流芳”o

(2)毕达哥拉斯

在论证数学的方向上，泰勒斯迈出了第一步，但希腊数学著作的评

注者们还是倾向于将论证数学的成长归功于毕达哥拉斯与其创建的秘密

会社―毕达哥拉斯学派。

毕达哥拉斯公元前580年左右生于萨摩斯（今希腊东部小岛）。为了摆

脱暴政，移居意大利半岛南部的克洛托内，在那里组织一个政治、宗教、

哲学、数学合一的秘密团体。后来在政治斗争中遭到破坏，毕达哥拉斯被

杀害，但他的学派还继续存在两个世纪（约公元前500〜前300）之久。

毕达哥拉斯非常重视数学，企图用数来解释一切.这个学派不仅仅认

为万物都包含数，而且说万物都是“数这学派有一种习惯，就是一切

发明都归功于学派的领认而且常常是秘而不宣.所以后人很难知道究竟是

谁在什么时候发明的。

该学派发现并证明了勾股定理，这个学派最为尊崇的信条是“万物皆数二

这里的“数”仅指整数。分数则是两个整数之间的一种比值关系。他们认

为所有的数皆由1而生，并命之为“原因数二学派成员希帕苏斯是不可

公度线段的首位发现者，“无理数”深深困扰住了古希腊的数学家们。他

们所面临的这一逻辑困难，被称为“第一次数学危机，

毕达哥拉斯学派另一项几何成就是正多面体作图、“黄金分割”、首创地圆

说、音乐理论的始祖。

3.雅典时期

毕达哥拉斯学派在政治上倾向于贵族制，在希腊民主力量高涨时期

受到冲击并逐渐解体。毕达哥拉斯本人也逃离克洛托内，不久被杀。希腊

波斯战争（公元前490—前449）以后，雅典成为希腊民主政治与经济文

化的中心，希腊数学也随之走向繁荣。这时学术繁荣，学派林立，主要学

派有：

（1）爱利亚学派

爱利亚是公元前6世纪意大利南部城邦，爱利亚学派的主耍人物德莫克里

特提出原子论观点，他认为线段、面积和立体，是由有限个不可再分的原

子构成的.计算体积就等于将这些原子集合起来。

芝诺是这一学派的另一个主要人物，他第一次企图揭露运动的矛盾，提

出了四个违背常识的悖论：二分法、阿基里斯追龟、飞矢不动、运动场。

这些悖论给学术界以极大的骚动，余波至今未息。

（2）诡辩学派

公元前5世纪，雅典成为人文荟萃的中心，人们崇尚公开的精神。在公开

的讨论或辩论中，必须具有雄辩、修辞、哲学与数学等知识，于是“智人

学派”（诡辩学派、哲人学派）应运而生。他们以教授文法、逻辑、数学、

天文、修辞、雄辩等科目为业。在数学上，他们提出“三大问题”：

①三等分任意角；

②倍立方，即求作一立方体，使其体积是已知立方体的二倍；

③化圆为方，即求作一正方形，使其面积等于一已知圆。

问题的难处，是作图只许用直尺（没有刻度的尺）和圆规。希腊人的兴趣并

不在于图形的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题。

这是几何学从实际应用向系统理论过渡所迈出的重要的一步。这个学派的

安提丰（约公元前430）提出用“穷竭法”去解决化圆为方问题，是近代极

限理论的雏形。先作圆内接正方形，以后每次边数加倍，得8,16,

32、边形，这样继续下去，安提丰深信“最后”的多边形与圆的“差”

必会“穷竭”。这提供了求圆面积的近似方法，和中国的刘徽（约263年前

后）的割圆术思想不谋而合。

（3）柏拉图学派

公元前4000年，古希腊哲学进入系统化阶段，其代表人物有柏拉图和亚

里士多德。

公元前427年柏拉图生于雅典的一个名门望族。在雅典建立学派，创

办学园。他非常重视数学，主张通过几何的学习培养逻辑思维能力，因为

儿何能给人以强烈的直观印象，将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之

中。这个学派培养出不少数学家，如欧多克斯一创立了比例论，亚里士多

德一形式逻辑的奠基者。

柏拉图非常重视数学，传说在他的学园门口写着；“不但几何者不得入.

柏拉图在教学中为科学奠定了基础，坚持准确的定义、清楚的假设和逻辑

的证明.他对数学有很大的功劳.在他的倡导下，柏拉图学派中产生了

不少数学家.

欧多克斯曾一度是柏拉图的学生，在天文、几何、医学和法律方面都有值

得称道的成就。他是最早介绍球面天文和描述星座的希腊科学家，在数学

方面，最大的功劳是创立了比例论.欧几里得《几何原本》第5卷《比例

论》大部分来自欧多克萨期的工作。

（4）亚里士多德学派

亚里斯多德，古希腊著名哲学家、自然科学家，西方文艺理论的真正

奠基者。公元前384年生于爱琴海北岸的哈尔基迪凯半岛上的达吉罗斯,

其父是马其顿国王阿明塔斯二世的御医。母亲法伊斯提来自优卑亚岛的哈

尔基斯。亚里斯多德早年丧父，由监护人“抚养”。17岁赴雅典就读于柏

拉图的“学园”，受教20年。为学员中出类拔萃者。

柏拉图去世后，亚里斯多德曾受马其顿王之聘，教育太子亚历山大。

回雅典后，亚里斯多德自立学派一亚里士多德学派，专心教育和著述，

经常在走廊边走边讲授，后世称他为“逍遥学派”。恩格斯称他是古代“最

博学的人”。中世纪的人把他奉为圣人，其思想影响西方数千年之久.亚

里士多德是形式逻辑的莫基者，有名的逻辑推理“三段论”就是他提出来

的。他非常重视数学，他为希肥几何的公理化在逻辑思想上奠定了基础。

4.希腊数学的黄金时代一一亚历山大学派

埃与的亚历山大城，是东西海防交通的枢纽，又经过托勒密王的加意经

营，逐渐成为新的希腊文化渊泉，希腊本土这时已退居次要地位。

亚历山大前期是指从公元前4世纪到公元前146年古希腊灭亡，罗马成为

地中海区域的统治者为止.从这以后一直到公元641年阿拉伯人攻占亚历

山大为止，称为亚历山大后期，前后持续千年。

这两个时期的特点，是几何脱离了哲学而独立从用实验和观察以建立起

自己结果的经验科学，过渡为演绎的科学。从不多的几个原始命题（公理）

开始，作为逻辑推论而得到所要的结论.而公理是在千万代实践的基础

上得来的。这一时期另一个特点是高度的抽象化，数学至此达到全盛时

期。

希腊数学以亚历山大为中心，达到它的全盛时期。这里有巨大的图书馆和

浓厚的学术空气，各地学者云集在此进行教学和研究。其中成就最大的是

.亚历山大前期三大数学家欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯。

除了三大数学家以外，埃拉托斯特尼（约公元前276〜前195）的大地测量

和以他为名的“素数筛子”也很出名。天文学家喜帕恰斯（公元前2世纪）

制作“弦表”，是三角学的先导。

（1）欧几里得与《几何原本》

亚历山大前期第一个大数学家是欧几里得（euclid,约公元前330—275

年）.关于他的生平，现在知道的很少.猜想他早年在雅典受过教育，深

知柏拉图的几何学.公元前300年左右，在托勒密王的邀请下，来到亚历

山大教学。他是一个温良敦厚的教育家，对有志数学之士，总是循循善诱

地教导，但反对在学习上不肯刻苦钻研，投机取巧的作风。欧几里得也反

对急功近利的狭隘实用观点.斯托比亚斯记述一个故事，说有一个青年

学生，才开始学第一个命题就问欧几里得，他学了几何学之后将得到些

什么.欧几里得说：“给他三个钱币，因为他想在学习中获取实利.”

欧几里得写过不少数学、物理方面的著作，而最重要的是他的巨著《几何

原本》（elements）。从来没有一本科学书籍，象《几何原本》那样巩固

而长期地成为广大学生所传诵的读物。1482年到19世纪末，《几何原本》

的印刷本竞用各种文字出了一千版以上.在这以前，它的手抄本统御儿

何学也已达一千八百年之久.欧几里得的影响是如此深远，以致欧凡里

得和“几何学”变成了同义语.

自从公元前7世纪以来，希腊儿何集中了异常丰富的材料，简直令人眼花

缭乱，问题于是提出，怎样把它整理在严密的逻辑系统之中呢，这是一

项艰巨的任务.公元前5世纪的希波克拉提斯、前4世纪的西底斯

（thcudzus,约公元前360年）等学者都做过这样的综合整理工作，但当

欧儿里得集大成的《几何原本》出现的时候，这些工作都湮没无闻了.

《几何原本》的伟大历史意义在于它是用公理法建立起演绎的数学体

系的最早典范.

(2)阿基米德的数学成就

亚历山大学派第二个大数学家是阿基米德(archimedes),公元前287年生

于意大利半岛南端西西里岛的叙拉古Syracuse),公元前212年卒于同

地。他早年在亚历山大学习，以后和亚历山大的学者保持密切联系，因此

他算是亚历山大学派的成员.

后人对阿基米德给以极高的评价.近代数学史家认为：任何一张列出有

史以来三个最伟大的数学家的名单中，必定会包括阿基米德，另外两个

通常是牛顿和高斯，不过以他们的丰功伟绩和所处的时代背景来对比，

拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德•普利尼

称阿基米德为“数学之神”.反映了后入对阿基米德的崇敬.

阿基米德说任何重物都可以移动.并发出豪言壮语：“给我一个支点，我

可以移动这个地球！”阿基米德有一个被人们传诵了两千年的轶事：有一

次叙拉古的亥厄洛王叫金匠造一个纯金的皇冠，做成后国王怀疑那里面

掺有银子.便请素称多能的阿基米德来鉴定一下.阿基米德也一时想不出

好办法来.正在苦闷之际.他到公共浴室去洗澡，当浸入装满水的浴盆去

时候，水漫溢到盆外，而身体重量顿觉减轻.于是忽然想到不同质料的东

西，虽然重量相同，但因体积不同，排去的水必不相等。根据这一道理，

不仅可以判断王冠是否掺有杂质，而且知道偷去黄金的份量.这一发现非

同小可，它象闪电一般通过脑际.阿基米德高兴得跳了起来，飞奔到家中

准备试验，口中大呼“由力卡！由力卡！"（eureka,希腊语意思是“我

找到了”）经过仔细的实验，他终于发现了流体静力学的基本原理：“阿

基米德原理”一一物体在液体中减轻的重量，等于排去液体的重量，后来

总结在他的名著《论浮体》中。

第二次布匿战争时期，叙拉古和迦太基缔结同盟，因此成为罗马的仇敌.

马塞拉斯率领罗马大军围攻叙拉古.在这危急存亡之秋，阿基米德便献

出自己一切杰出的科学技术为祖国效劳。传说他用起重机抓起敌人的船只,

高举起来，摔得粉碎。用新发明的奇妙机器，射出大石锥枪，如同暴雨，

使罗马军心胆俱裂.有的希腊文献记载，当罗马兵船靠近城下，阿基米

德用巨大火镜反射E光使兵船焚烧.另一种说法是他用投火器，将燃烧

着的东西弹出去烧敌人的船.这些传说除了投石器、投火器较为可信之外,

其余的大多是夸张的说法.无论如何，阿基米德为了挽救自己的祖国，

曾竭尽自己的心智，给敌人以沉重的打击，这是无可怀疑的事实。就这样

顽抗了敌人的进攻.终于因粮食耗尽而陷落，阿基米德也光荣牺牲了.

罗马兵入城时，统帅马塞拉斯出于敬佩阿基米德的才能，下命令不准伤

害这位贤者.而阿基米德似乎并不知道城池已破，又重新沉迷在数学的

深思之中.一个罗马兵突然出现在他面前，命令他到马塞拉斯那里去，

遭到阿基米彼的严词拒绝.这样，他就不幸死在这个士兵的刀剑之下（这

故事出自普鲁塔克的记载），另一种说法是罗马兵闯入阿基米德的住宅.

看见一位老人在地上埋头作几何图形（还有一说是他在沙滩上画图），±

兵将图踩坏，阿基米德怒斥士兵：“不要弄坏我的图！”士兵拔出短剑，这

位旷世绝伦的大科学家，竞丧在愚蠢无知的罗马兵手中！后说颇为流行。

但以阿基米德的爱国热忱与智慧机智，似乎前说更为可信.

阿基米德的死，马塞拉斯颇感悲痛，除了将这士兵当作杀人犯处理外，

并为阿基米德立墓，聊表景仰之忱.在碑上刻着球内切于圆柱的图形，以

资纪念。

(3)阿波罗氾斯与圆锥曲线

阿波罗尼斯是亚历山大时期希腊数学史上的又一位杰出人物。他的贡献涉

与几何学和天文学，但最为重要的是他在前人工作的基础上创立了相当

完美的圆锥曲线论。他以欧几里得式的严谨风格所写就的传世之作《圆锥

曲线论》，在研究圆锥曲线上所达到的理论高度，直到笛卡尔、帕斯卡出

场之前，始终无人能够超越。

椭圆、抛物线、双曲线这些词的通用名称就是他在这部书中首先提出来的。

在使用统一的方式引出三种圆锥曲线后，他便展开了对它们性质的广泛

讨论，内容涉与圆锥曲线的直径、共物直径、切线、中心、双曲线的渐近

线、椭圆与双曲线的焦点、以与处在各种不同位置的圆锥曲线的交点数等

等。

坐标制的思想，在阿波罗尼斯的书中已见端倪。

5.亚历山大后期与希腊数学的衰落

公元前146年罗马灭亡了希腊，逐步统一了地中海一带.这时亚历山大的

数学仍能继承前期的成就，不断有所发明创造.这个时期叫做亚历山大

后期。这个时期的希腊学者在算术和代数方面颇有建树。

海伦的《量度》一书主要讨论各种几何图形的面积体积计算。其中包括后

来