数值分析习题集及答案

数值分析习题集

（适合课程《数值方法A》和《数值方法B》）

长沙理工大学

第一章绪论

I.设QOu的相对误差为久求Inx的误差.

2.设x的相对误差为2%,求炉的相对误差.

3.以下各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后•位的半个单位，试指出它们是几位

有效数字：

X：=1.1021,£=0.031,石=385.6,%；=56.430,%；=7x1.0.

4.利用公式（3.3）求以下各近似，直而误差限：

（i）x：+芯+E，（”）x"；£,（话）x；/x；,其中x：,£，dx；均为第3题所给的数.

5.计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R端允许的相对误差限是M少？

6.设以=28,按递推公式

Y=Y.---V783

"100(n=l,2,-)

计算到Yoo.假设取V783-27.982（五位有效数字），试问计算与⑷将有多大误差?

7.求方程X2-56X+1=0的两个根,使它至少具有四位有效数字（、幅比27.982）.

8.当加充分大时，怎样求加l+x“?

9.正方形的边长大约为100cm,应怎样测量才能使其面积误差不超过1cm2?

S=—gt2

10.设2假定g是准确的，而时t的测最有±0.1秒的误差,证明当「增加时S的绝对误差增加,

而相对误差却减小.

II.序列｛”｝满足递推关系”（"1,2,…），假设为=及"141（三位有效数字），计算到

,。时误差有多大?这个计算过程稳定吗？

计算/=（&-1）二取近才14,利用以下等式计算,哪一个得到的结果最好？

」，,（3-2封,,99-70&

（x/2+l）6（3+2V2）3

/a）=h［（x-二I）,求式30）的值.假设开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大?假设改用另

13.

一等价公式

ln(x-Jr-1)——ln(x+Jr+1)

计算.求对数时误差有多大?

(为+10%2=10?

|x,+x=2.

14.试用消元法解方程组I7假定只用三位数计算，问结果是否可靠?

s=—absinc,0<c<—

15.三角形面积2其中。为弧度，2，且测量,力,c的误差分别为Ac•证明面

积的误差加满足

△s△a\bAc

<十+

sabc

第二章插值法

1.根据(22)定义的范德蒙行列式，令

1%片…K

・・•・••••••・・•・•

匕。)=匕*0，不…，％，X)=12«

1Xx2...x〃

证明匕(X)是〃次多项式，它的根是与，…，X-，且

匕0)=匕_|(飞，.，・・・，/-1)(%一与卜・・(%—怎_])

2.当41,,2时]x)=0,-3,4，求/(x)的二次插值多项式.

3.给出？U)=lnx的数值表用线性插值及二次插值计算In0.54的近似值.

X0.40.5().60.70.8

Inx-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.223144

4.给出cosx,0°WxW90°的函数表，步长=(1/60)°,假设函数表具有5位有效数字，研究用线

性插值求cosX近似值时的总误差界.

丫_丫+khmax|/,(x)|

5,设占一/十即，依0,1,2,3,求珍分I

6.设勺为互异节点(户0,1,…,〃)，求证：

力*(x)三f(%=0』,…；

i)>=°

k

£(xy-x)(x)三0(攵=1,2,…,〃).

ii)六。

7.设J。)”/且加0寸3)=。,求证鸣火小赳3鸣夕⑹

8.在上给出的等距节点函数表，假设用二次插值求短的近似值，要使截断误差不

超过1,问使用函数表的步长〃应取多少？

9.假设尤=2",求”及甲尤.

10.如果了⑴是“次多项式，记V(幻=〃)-/«，证明/⑴的k阶差分AA/(A*)(0<k<m)是

〃?一女次多项式，并且""'八外二°”为正整数).

II,证明△(£&)=)题*+8小颂.

ZfM=/扁一/)&)-Z

12.证明ho«=0

2-l

13.证明六o

14.假设/(X)=《)+a\x+++有n个不同实根X，兀2，…，豆,证明

nxk(

、勺_I0,0<^<«-2;

£广(外尸可3

15.证明〃阶均差有以下性质：

i)假设/(©=4*),那么H%，斗，…，王卜内无。，%，…，斗］；

in假设/(久)=/a)+g(x),那么H不，x，’.，玉卜/国，不，一，怎］+引/，%，一，七］.

W/*)=』+x、3x+l,求/［2。,21..,27］及/［2。,21.,叫

17.证明两点三次埃尔米特席值余项是

(4)22

R3(x)=/(y(x-xk)(x-xt+1)/4!,^€(xk,xk+l)

并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.

18.求一个次数不高于4次的多项式尸⑺,使它满足尸(°)=尸(一&")并由此求出分段二次埃尔米特插

值的误差限.

19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式PJ),以便使它能够满足以下边界条件

尸(0)=户(0)=0P(1)=P(1)=1P(2)=l

，，・

20,设义幻£。心肉，把［"肉分为〃等分，试构造一个台阶形的零次分段插值函数R(x)并证明当

"-8时,牝⑴在［。，目上一致收敛到了(X)

21.设八用="(1+f),在-5。工5上取〃=10,按等距节点求分段线性插值函数43),计算各节点

间中点处的4(幻与"幻的值,并估计误差.

22.求/(X)=/在［a,b］上的分段线性插值函数/M),并估计误差.

23.求八幻=/在［兄句上的分段埃尔米特插值,并估计误差.

24.给定数据表如下：

0.250.300.390.450.53

Xj

0.50000.54770.62450.67080.7280

yj

试求三次样条插值SOO并满足条件

0S'(0.25)=1.0000,S'(0.53)=0.6868;

通S〃(0.25)=S〃(0.53)=0.

25.假设/&)G,?[6句,S(x)是三次样条函数，证明

-J：[S〃(切/=J：[f〃(x)-s〃*)]%,+2j：5〃(x)[/"(x)-S〃(©慎

H)假设/*J=s5)a=°J/),式中W为插值节点，且"/＜玉＜＜七=",那么

J：StfM[r(x)-S〃(x)依=S〃(匆rS)-SQ)]-S"(〃)[r⑷-Sf(a)]

26.编出口算三次样条函数S&）系数及其在插值节点中点的值的程序框图（S（“）可用（8.7）式的表达式）.

第三章函数逼近与计算

1.（a）利用区间变换推出区间为［0目的伯恩斯坦多项式.

（b）对〃x）=sinx在［。,7/2］上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形并与相应的马克劳林级数

局部和误差做比拟.

2.求证：

（a）当加《/（X）«M时严-B“（f，x）.M⑼当/（幻=x时,纥（/,%）=x.

3.在次数不超过6的多项式中，求/“）=sin4x在［0,2句的最正确一致逼近多项式

4.假设/（X）在上连续，求/*）的零次最正确一致逼近多项式.

max丁-ad

5.选取常数。，使o<x<i।।到达极小，又问这个解是否唯一？

6.求/Q）=sinx在［0，=/2］上的最正确一次逼近多项式，并，古计误差

7.求/（幻=/在1°』上的最正确一次逼近多项式.

8.如何选取J使P（x）=£+/•在［T,1］上与零偏差最小？厂是否唯一？

9.设=丁+3/-1,在［0,1］上求三次最正确逼近多项式.

10.令I⑺=1（21-1）,x£［0』求霏（x）,T；（x）,r（幻,"（A）

1

II.试证｛（（幻｝是在1°」］上带权dx-x2的正交多项式.

12.在［T1］上利用插值极小化求|/（x）=fg"x的三次近似最正确逼近多项式.

13.设=在［T』上的插值极小化近似最正确逼近多项式为假设17一人山有界证明对

任何〃之1,存在常数a”、瓦，使

|7；,+1（x）|<\f（x）-Ln（x）\<p„|7；,+1W|（-l<x<1）.

,、I1123.15165

riii（p（x）=1——x——x----x------x4-------x5/、

14.设在上2824384384（），试将①（式）降低到3次多项式并估计

误差.

15.在HJ］上利用辕级数项数求/。）=sinx的3次逼近多项式，使误差不超过0.005.

16./（“）是14句上的连续奇（偶）函数，证明不管〃是奇数或偶数，/（%）的最正确逼近多项式

也是奇（偶）函数.

17.求。、方使尸卬+八国间法

为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比拟.

18.〃幻、句，定义

（〃）（/,8）=J：r*）g’（用心s）（/',g）=J：r（x）g‘（K）公+/（a）g（〃）；

问它们是否构成内积？

,6

19.用许瓦兹不等式(4.5)估计J0l+x的上界，并用积分中值定理估计同一积分的上下界，并比拟其结

果.

20.选择〃，使以下积分取得最小值:)为工卜一⑪门.

21.设空间？=卯"〃｛1，@，牝二卯即｛“⑹｝,分别在取、内上求出一个元素，使得其为x%C[O/

的最正确平方逼近，并比拟其结果.

22.八外二凶在[-11]上，求在Q=5，加｛1"—｝上的最正确平方逼近.

()sin[(714-1)arccosA]

23.“Ji二下是第二类切比雪夫多项式，证明它有递推关系

〃向(x)=2w〃(x)—〃j(x)

24.将'("-sin]“在[-1』]上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开，求三次最正确平方逼近多项式

并画出误差图形，再计算均方误差.

25.把/(X)=^ccosx在[T，1]上展成切比雪夫级数.

26.用最小二乘法求一个形如)'=4+〃/的经验公式,使它与以下数据拟合，并求均方误差.

1925313844

X1

19.032.349.073.397.8

27.观测物体的直线运动，得出以下数据:

时间“秒)00.91.93.03.95.0

距离S(米)010305080110

求运动方程.

.在某不匕学反响里,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如1•

时间0510152025303540455055

浓度01.272.162.863.443.874.154.374.514.584.624.64

用最小二乘拟合求)'=/").

29.编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图.

30.编出改良FFT算法的程序框图.

31.现给出一张记录｛玉｝=｛4'321，°，1，2,3｝,试用改良FFT算法求出序列｛/｝的离散频谱

｛G｝(2=0]…,7).

第四章数值积分与数值微分

1.确定以下求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精

度：

1/(X)公BA_hf(-/i)+4/(0)+A/(/?)

j：k4Ji)+4/(。)+Af(h)

(2)J-2分;

l

Ji/(x)dr«[/(-l)4-2/(x1)4-3/(x2)]/3

(4)C八刈小工〃"(0)+八〃)]/1+"'(0)-/'(〃)]

2.分别用梯形公式和辛普森公式计算以下积分：

x2

f—〃=8e~)

〃二10

Jo2

(l)4+x⑵x

J；\[xdx,n=4(J八“9代〃二6

⑶

3.直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.

4.用辛普森公式求积分并计算误差.

5.推导以下三种矩形求积公式：

An)

Jf(x\b:=(b-a)f(a)+

⑴J"2

rbAn)

[f(x)dx=(b-a)f(b)-曲一61)

Q)J“2

rb

证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当〃-8时收敛到积分J”,8心.

6.

rb

用复化梯形公式求积分问要将积分区间["/]分成多少等分，才能保证误差不超过£(设不

7.

计舍入误差)？

^j=[e~xdx

8.用龙贝格方法计算积分J"，要求误差不超过I。'.

5=4/fiJl-(-)2sin20J0

9.卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是。，这里。是椭圆的半长轴,c

是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离，记〃为近地点距离，”为远地点距离，氏=6371公里为地

球半径，那么4=(2火+”+/?)/2,。=("一/?)/2我国第一颗人造卫星近地点距离/?=439公里,远

地点距离H=2384公里，试求卫星轨道的周长.

.兀冗3),

证明等式〃3"5!〃4试依据〃sm(万/〃)(〃=3,6/2)的值,用外推算法求万的近

似值.

用以下方法计算积分1)'并比拟结果.

II.

(|)龙贝格力法；

(2)三点及五点高斯公式；

(3)将积分区间分为四等分川复化两点高斯公式.

I

fM=

(l+x)?在和I?处的导数值，并估计误差./*)的

12.用三点公式和五点公式分别求

值由下表给出：

X1.01.11.21.31.4

0.25000.22680.20660.18900.1736

fM

第五章常微分方程数值解法

1.就初值问题、'二以+"义⑴二。分别导出尤拉方法和改良的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确

1，J

y=-ax~+bx

解2相比拟。

2.用改良的尤拉方法解初值问题

/=x+y,O<x<l:

3(0)=1，

取步长h=Ql计算，井与准确解y-TT+2/相比拟。

3.用改良的尤拉方法解

y'=x2+x-y;

\y(0)=0,

取步长h=o.i计算)'(05),并与准确解>=一二+/一x+1相比拟。

4.用梯形方法解初值问题

y'+y=0;

<y(0)=1,

证明其近似解为

「2-万丫

并证明当°时，它原初值问题的准确解)'二67。

5.利用尤拉方法计算积分

在点工=051,1.5,2的近似值，

6.取h=0.2,用四阶经典的龙格一库塔方法求解以下初值问题：

/=x+y,0<x<1;

I)y(0)=1,

y=3^/(l+x),0<x<l;

2))(。)=L

7.证明对任意参数t,以下龙格一库塔公式是二阶的：

h

)'向二)1+5(勺+&);

K、=f(xn.yttY

K?=f(xn+th,yn+fhKJ;

K3=〃x“+s+(iT)g

8.证明以下两种龙格一库塔方法是三阶的：

y“+i=N+%&+3K3);

K]=/(乙,先)；

K2=f(Xn+&KJ

22

舄=/6+小〃+产);

%+1=得+!(2匕+3《+4勺);

y

%=/(•“〃)；

Ilh

K2=f(xn+-,y^-K^

33

K3=f(xn+-h9yn+-hK2).

9.分别用二阶显式亚当姆斯方法和二阶隐式亚当姆斯方法解以下初值问题：

/=1-y,y（o）=o,

取人=0.2,,v0=0,y=0.⑻,计算），（1.0）并与准确解），=1-相比拟。

10.证明解V=/（x，）'）的以下差分公式

乂川=g(£+)+-(4/+i一6+3)%)

是二阶的，并求出截断误差的首项。

II.导出具有以下形式的三阶方法：

%+1=+%3+42yL2+岫6+b\+b2yL)•

12.将以下方程化为一阶方程组：

y"-3y'+2)，=(),

I)y(0)-l,/(0)-l;

/-0.1(l-y2)y+y=0,

2)y(0)=l,)/(())=0;

x"")二一'y"")=一_4"=J'+y2,

3)rr

x(0)=0.4,V(0)=0,y(0)=0,)«0)=2.

13.取h=0.25,用差分方法M边值问题

y〃+y=0;

义0)=0,刈=1.68.

14.对方程、〃=/“，）'）可建立差分公式

）'川=2y„-y_i2

n+hf（xBiyn\

试用这一公式求解初值问题

/=1；

y(0)=y(l)=0,

验证计算解恒等于准确解

2

15.取h=0.2用差分方法解边值问题

(1+x2)y*-xyr-3>7-6x—3;

)，(())-)，'(())=1,〉，⑴=2.

第六章方程求根

I.用二分法求方程1一1一1二°的正根，要求误差<0.05。

2.用比例求根法求/（x）=l-xsinx=°在区间©］］内的一个根，直到近似根4满足精度

"（4）|<0・005时终止计算。

3.为求方程/一--1=0在%=1$附近的一个根，设将方程改写成以下等价形式，并建立相应的迭

代公式。

x=\+\/x2迭代公式々+居；

1)ti=1+1/

32

2)X=l+x,迭代公式:

x2二1---------

^-1,迭代公式/x=1/J/—1。

3)

试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根。

4.比拟求e、+10x-2=0的根到三位小数所需的计算量；

I）在区间［0,1］内用二分法；

2）用迭代法"e=（2-/）/10,取初值%=0。

5.给定函数、〃幻，设对一切xJ'W存在且°V〃7W/'（X）WM,证明对于范围内0<4<2/M的任

意定数入，迭代过程占+|=4一〃（8）均收敛于/（幻的根/。

6.X=e（x）在区间［a,b］内只有i根，而当a<x<b时，

I"（X）|之2>1,

试问如何将x=。（幻化为适于迭代的形式？

将工=火犬化为适于迭代的形式，并求x=4.5（弧度）附近的根。

7.用以下方法求=°在/=2附近的根。根的准确值r=1.87938524…，要求计算

结果准确到四位有效数字。

1）用牛顿法；

2）用弦截法，取/=1，2=19；

3）用抛物线法，取/=1，*=3,々=2。

8.用二分法和牛顿法求工一次工二。的最小正根。

9.研究求右的牛顿公式

证明对一切儿=12--sx,>4ci且序列再,七,…是递减的。

io.对于/（制二°的牛顿公式%।证明

%=（8-占-1）心1-乙-2）

收敛到一/"（x*）/Q/'（£））,这里X•为/（%）=0的根。

11.试就以下函数讨论牛顿法的收敛性和收敛速度：

V7,A>o；

/W=

-x<0;

1)

VP",x>0;

fM=<

-\[x^,x<0.

2)

应用牛顿法于方程--。=0,导出求立方根痣的迭代公式，并讨论其收敛性。

应用牛顿法于方程’")一1一?一"，导出求右的迭代公式，并用此公式求J话的值。

13.

14.应用牛顿法于方程/(幻=/一〃=°和X"，分别导出求的迭代公式，并求

lim雨-x)/(后-8)2.

kfgk+l

15.证明迭代公式

YAA+3々)

川3xl

是计算右的三阶方法。假定初值/充分靠近根£,求

3

lim(Va-xk+i)/(y/a-xQ).

第七章解线性方程组的直接方法

1.考虑方程组:

0.4096x+0.1234X2+0.3678/+0.2943%=0.4043;

0.2246x+0.3872^2+0.4015x3+0.1129x4=0.1550;

0.3645x+0.1920x,+0.378+0.0643x,=0.4240;

0.1784x+0.4002X2+0.2786X3+0.3927%=-0.2557;

(a)用高斯消去法解此方程组(用四位小数计算)，

(b)用列主元消去法解上述方程组并且与(a)比拟结果。

2.(a)设A是对称阵且〃”0°,经过高斯消去法一步后，A约化为

卬

0A2_

证明A?是对称矩阵。

(b)用高斯消去法解对称方程处：

0.64282+0.3475叫-0.846阻=0.4127;

<0.3475$+1.8423x,+0.4759$=1.7321;

-0.8468%)+0.4759%+L2147必=-0.8621.

4.设A为n阶非奇异矩阵且有分解式A=LU,其中L为单位下三角阵，U为上三角阵，求证A的所有

顺序主子式均不为零。

5.由高斯消去法说明当△iN°"=L2,…，〃-1)时，那么A=LU,其中L为单位下三角阵，U为上三角

阵。

1%叵=12…

y-i

6.设A为n阶矩阵，如果称A为对角优势阵。证明：假设A是对角优势

阵，经过高斯消大法一步后，A具有形式

a\\a\

o4,

7.设A是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A约化为

_04_,

其中4=(%)“，人2=0⑵).1；

证明(1)A的对角元素%>0(，=12…,〃)；

(2)A2是对称正定矩阵；

⑶4丁)4%,(，=1,2,•••,〃)；

(4)A的绝对值最大的元素必在对角线上；

max|力力|<max|a；.|;

(5)2<iJ<nJ2<i,j<nJ

(6)从(2),(3),(5)推出，如果那么对所有k

I咪KL

8.设4为指标为k的初等下三角阳，即

1

Lk=

〃ki.k1

•・•・

-“以1」(除第k列对角元下元素外，和单位阵I相同)

求证当时，a也是一个指标为k的初等下三角阵，其中4为初等排列阵。

9.试推导矩阵A的Crout分解A=LU的计算公式，其中L为下三角阵，U为单位上三角阵。

10.设以二〃，其中U为三角矩阵。

(a)就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，病写出算法。

(b)计算解三角形方程组Ur=d的乘除法次数。

(c)设U为非奇异阵，试推导求0”的计算公式。

11.证明(a)如果A是对称正定阵，那么也是正定阵；

(b)如果A是对称正定阵，那么A可唯一写成A=其中L是具有正对角元的下三角阵。

12.用高斯一约当方法求A的逆阵：

-21-3-T

3107

4—

-124-2

10-15

13.用追赶法解三对角方程组=其中

2-10001

-12-1000

A=0-12-10,b=0

00-12-10

00()-120

14.用改良的平方根法解方程组

15.下述矩阵能否分解为LU（其中L为单位下三角阵，U为上三角阵）?假设能分解，那么分解是否

唯一？

26

515

1546

16.试划出局部选主元素三角分解法框图，并且用此法解方程组

17.如果方阵A有'-=O（|/-J，I>°,那么称A为带宽21+1的带状矩阵，设A满足三角分解条件，试

推导A=LU的计算公式，对r=1,2,…，几

r-1

l%=%一

])hfnaxQjT)(i=r,r4-l,---,min(72,r4-/)).

L=Sir-Eg4c

2)^=max(1u-Z)(/=7•+1,…，min(",r+/))

18.设

「0.60.5]

A=

[0.10.3

计算A的行范数，列范数，2.范数及F-范数。

19.求证

(a)IMILWIxIlW川1幻1叫

-^||A||F<||A||2<C2||A||F

(b)o

20.设PER"."且非奇异，又设IM"为配上一向量范数，定义

11刈1〃=11&11

试证明""Up是R”上的一种向量范数。

21.设AwR'"”为对称正定阵，定义

||x||广（A"严

试证明IIx以为R”上向量的一种范数。

22.设项均，…，芭尸，求证

lim(Yll.Il。)"。=maxxt=||x%

・、T8,=l\<i<n。

23.证明：当且尽当x和y线性相关且—》二°时，才有

llx+y||2=||x|l2+llJll2ft

24.分别描述斤中(画图)

5=UI||x||=l,xe/?2),(v=l,2,oo)

vvO

25.令M是R"(或C")上的任意一种范数，而P是任意非奇异实(或复)矩阵，定义范数1次『二11'",

证明IIA||'=IIPAP\I。

26.设“4L，llAIL为“以〃上任意两种矩阵算子范数，证明存在常数。，。2使对一切AEH’K"满

足

q||A||v<||A||r<c2MH,

27.设AEW,求证"A与A”特征值相等，即求证4(AZ)=〃A^)。

28.设A为非奇异矩阵，求证

1.ML

----；---=min-------

II"LIlylL

o

设A为非奇异矩阵，且IIA”|||阴||<1,求证(A+M)r存在且有估计

29.

IIMl

cond(A)

||A-1-(A+(>A)-1||IIA||

<----------

II―工IIIIMl.

1-cond(A)

IIA||

30.矩阵第一行乘以一数，成为

2/1

A二

11

九+2

证明当一一§时，有最小值。

31.设A为对称正定矩阵，且其分解为A=其中卬=。"2〃，求证

⑻cond(A)2=[ccmd((f))2^\

1

⑴)cond(A2)=cond(co)2cond(co)2.

32.设

F10099]

A二

9998

计算A的条件数.c、aH(A)W=2,8)

33.证明：如果A是正交阵，那么co〃"(A)2=1。

34.设ABER""且M为上矩阵的算子范数，证明

cond(AB)<cond(A)cond(B)

第八章解方程组的迭代法

1.设方程组

5七十2X24x3=-12

，一$+4X2+2X3=20

2x｝-3X2+10x3=3

(a)考察用雅可比迭代法，・高斯-塞德尔迭代法解此方程组的收敛性；

(b)用雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法解此方程组，要求当Ux("+，)-3"L<1°-4时迭代终止.

00

4=

2

2.设0_,证明:即使IIAIR4H8>1级数/+A++•••+?1*+…也收敛.

3.证明对于任意选择的A,序列

23!4!

收敛于零.

4.设方程组

%内+a}2x2=仇；

。2内+。22%2="2；(%],62工。)；

迭代公式为

求证：由上述迭代公式产生的向量序列｛入”'｝收敛的充要条件是

<1.

a”“22

5.设方程组

X+0.4X2+0.4X3=I

0.4X]十x2十().8X3=2

0.4x4-0.8X+x=3

(23(b)

试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-塞德尔迭代法的收敛性。

]imA—A

6.求证氏*k-的充要条件是对任何向量X,都有

liinAkx=Ax.

A—>00

7.设Av=〃，其中A对称正定，问解此方程组的雅可比迭代法是否一定收敛？试考察习题5(a)方程组。

8.设方程组

111

14-442

111

々TV；

11

丁一产+『；

11I

__XI__X2+X4="

(a)求解此方程组的雅可比迭代法的迭代矩阵段的谱半径；

(b)求解此方程组的高斯―塞德尔迭代法的迭代矩阵的谱半径;

(c)考察解此方程组的雅可比送代法及高斯―塞德尔送代法的收敛性。

9.用SOR方法解方程组(分别取松弛因子

411-x2=1;

〈一为+4X2-X3=4:

一+413=-3.

x*=(l1-1/.k6

精确解"一‘5'’5''要求当一。"％<5'10-6时迭代终止，并且对每一个①值确定迭代

次数。

10.用SOR方法解方程组(取0=0.9)

5X[+2X2+x3=-12;

，一1]+4.r2+2X3=20;

2X1-3X2+10x3=3.

要求当u®L<1L时迭代终止。

11.设有方程组=其中A为对称正定阵，迭代公式

产D=”+“S-Ax(k)),(k=0,1,2,…)

2

0<69<一

试证明当〃时上述迭代法收敛(其中°<口,〃4)04)。

12.用高斯―塞德尔方法解Ax二人，用七记工，的第i个分量，且

#=2-立㈤咐工％V)

j=lj=i0

尸(1)

丫(《+1)_(*).J___

4j一人vjI

(a)证明4；

(b)如果£")=x")-x",其中x”是方程组的精确解，求证：

/(Z)

£尸)=£,)_J___

''%

其中j=l六，0

(0设A是对称的，二次型

Q(£®)=(A-)

〃A«+l))2

。(—川)-Q(—))=——

证明j=]aiio

(d)由此推出，如果A是具有正对角元素的非奇异矩阵，且高斯-塞德尔方法对任意初始向量X0是收

敛的，那么