1.5相似三角形的性质 导学教学课件 2026-2027学年数学湘教版九年级上册

1.5相似三角形的性质逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2相似三角形对应线段的比相似三角形面积的比知识点相似三角形对应线段的比知1－讲11.已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k，由相似三角形的判定和性质可以证明：相似三角形对应线段的比等于相似比.具体见下表：知1－讲图形推理结论相似比相似比为k知1－讲图形推理结论对应边上的高的比AD，A′D′分别为△ABC和△A′B′C′的高对应边上的高的比等于相似比知1－讲图形推理结论对应角平分线的比AN，A′N′分别为△

ABC和△

A′B′C′的角平分线对应角平分线的比等于相似比知1－讲图形推理结论对应边上的中线的比AM，A′M′分别为△

ABC和△

A′B′C′的中线对应边上的中线的比等于相似比知1－讲相似三角形的性质定理1：相似三角形对应线段的比等于相似比.知1－讲2.相似三角形周长的比与相似比的关系性质：相似三角形的周长比等于相似比.已知△ABC∽△A′B′C′，由相似三角形的定义和比例的性质可以证明相似三角形的周长比等于相似比,具体如下表：知1－讲图形推理结论相似三角形的周长比相似三角形的周长比等于相似比知1－讲

知1－讲特别提醒在运用相似三角形对应线段的性质解题时，要注意前提条件：(1)两个三角形必须相似；(2)抓住“对应”二字，并不是相似三角形中任意高的比、中线的比、角平分线的比都等于相似比.知1－练[母题

教材P34练习T2]已知△ABC∽

△A'B'C'，BD和B'D'是它们的对应高，AE和A'E'是它们的对应角平分线.若BD=3cm，B'D'=6cm，A'E'=8cm，求AE的长.例1解题秘方：利用相似三角形中对应线段的性质得到有关对应线段的比例式，然后将相关数据代入求值.知1－练

知1－练感悟新知1-1.[母题

教材P36习题T1]两个相似三角形一组对应角平分线的长分别是2cm和5cm，那么这两个三角形的相似比是_______；如果在这两个三角形的一组对应中线中，较短的中线长3cm，那么较长的中线长_______cm.

知1－练[一题多解]△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的△DEF，其最长边为12，则△DEF

的周长是()A.54 B.36 C.27 D.21解题秘方：根据“相似三角形的对应边成比例”或“相似三角形的周长比等于相似比”列方程求解.例2

知1－练

答案：C知1－练感悟新知2-1.[期末·长沙开福区]已知两个三角形的相似比为1∶4，且它们的周长相差27cm，则较小的三角形的周长为_______.9cm知2－讲知识点相似三角形面积的比2相似三角形的性质定理2：相似三角形的面积比等于相似比的平方.已知△ABC∽△A'B'C'，且相似比为k，由比例的性质和等式的性质可以证明相似三角形的面积比等于相似比的平方.具体如下表：知2－讲图形推理结论相似比相似比为k面积比面积比等于相似比的平方知2－讲拓展相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.知2－讲特别提醒相似三角形的面积比等于相似比的平方，而不是等于相似比.相似比等于面积比的算术平方根.感悟新知知2－练如图1.5-2，△ABC∽△A′B′C′，BC=6，B′C′=4，AD⊥BC于点D，AD=4，求△A′B′C′的面积.例3解题秘方：利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解.知2－练感悟新知

知2－练感悟新知3-1.[期末·郴州北湖区]如图，在矩形ABCD

中，E

是AD

边上一点，且AE=2DE，BD

与CE

相交于点F，若△

DEF

的面积是3，则△

BCF

的面积是______.27相似三角形的性质相似三角形的性质性质定理1周长的比等于相似比性质定理2对应线段的比等于相似比面积的比等于相似比的平方题型利用相似三角形的性质求线段长1如图1.5-3，在

Rt△ABC中，AC=4，BC=3，∠C=90°，DE∥AB.(1)当△CDE的面积与四边形DABE的面积相等时，求DE的长；(2)当△CDE的周长与四边形DABE的周长相等时，求DE的长.例4解题秘方：紧扣“平行线构成的A型相似图形”的特征，用相似比与面积比、周长比的关系进行求解.解法提醒相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方；反之，两个三角形相似，相似比等于周长比，相似比等于面积比的算术平方根.

题型利用相似三角形的性质探究规律2[一题多解]如图1.5-4，△ABC是斜边长为3的等腰直角三角形(AB为斜边)，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1(点D1，E1在AB上，点A1，B1分别在AC，BC上)，再在△A1B1C内按同样的方法作第

2个内接正方形A2B2D2E2……如此下去，操作n

次，则第

n

个正方形AnBnDnEn的边长是_______.例5

思路导引：

题型利用相似三角形的性质解决实际问题3[情境题

生活应用]某小区的居民筹集资金1600元，计划在一块四边形空地ABCD上种植花卉(如图1.5-5)，其中AD∥BC，AD=10m，BC=20m.例6(1)种植太阳花的价格为8元/m2，在△AMD地带上种满太阳花(图1.5-5中阴影部分)共花了160元，请计算在△CMB地带上种满太阳花所需的费用；(2)若其余地带有玫瑰花和茉莉花两种花卉可供选择(仅种植一种)，价格分别为12元/m2和10元/m2，则选择种植哪种花卉可以刚好用完所筹集的资金？解题秘方：紧扣“相似三角形面积的比”的性质，建立相似三角形的模型求解.思路点拨(1)先证明△AMD

与△CMB

相似，然后根据相似三角形的性质求解；(2)根据(1)中求得的△AMD

和△CMB的面积，可求出△AMD

的边AD

上的高和△CMB

的边BC

上的高，由于梯形ABCD

的高为△AMD

的边AD

上的高与△CMB

的边BC

上的高之和，故可求得梯形的面积，从而求解.